Theorem fllogbd 47503

Description: A real number is between the base of a logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number and the base of the logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number plus one. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fllogbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
fllogbd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
fllogbd.e	⊢ 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fllogbd	⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))

Proof of Theorem fllogbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllogbd.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))
2		fllogbd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		fllogbd.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
4		relogbzcl 26656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
6		flle 13767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
8	1, 7	eqbrtrid 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋))
9		eluzelz 12833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zred 12667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2b1 12904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐵))
13	12	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
15	5	flcld 13766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
16	1, 15	eqeltrid 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
17	16	zred 12667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
18	11, 14, 17, 5	cxpled 26604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋) ↔ (𝐵↑𝑐𝐸) ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))))
19	8, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐸) ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
20	10	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21		eluz2nn 12869	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
22	2, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
24	20, 23, 16	cxpexpzd 26595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐸) = (𝐵↑𝐸))
25		eluz2cnn0n1 47449	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
26	2, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
27		rpcnne0 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
28		eldifsn 4785	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30	3, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
31		cxplogb 26668	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
32	26, 30, 31	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
33	19, 24, 32	3brtr3d 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋)
34		flltp1 13768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
35	5, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
36	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)))
37	36	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) = ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
38	35, 37	breqtrrd 5169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1))
39	16	peano2zd 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
40	39	zred 12667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℝ)
41	11, 14, 5, 40	cxpltd 26603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1))))
42	38, 41	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1)))
43	20, 23, 39	cxpexpzd 26595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1)) = (𝐵↑(𝐸 + 1)))
44	42, 32, 43	3brtr3d 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1)))
45	33, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12213  2c2 12268  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ℝ⁺crp 12977  ⌊cfl 13758  ↑cexp 14029  ↑_𝑐ccxp 26439   log_b clogb 26646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-cxp 26441  df-logb 26647

This theorem is referenced by:  fldivexpfllog2  47508