Theorem fllogbd 49218

Description: A real number is between the base of a logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number and the base of the logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number plus one. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fllogbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
fllogbd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
fllogbd.e	⊢ 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fllogbd	⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))

Proof of Theorem fllogbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllogbd.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))
2		fllogbd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		fllogbd.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
4		relogbzcl 26901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
6		flle 13828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
8	1, 7	eqbrtrid 5147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋))
9		eluzelz 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zred 12696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2b1 12939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐵))
13	12	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
15	5	flcld 13827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
16	1, 15	eqeltrid 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
17	16	zred 12696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
18	11, 14, 17, 5	cxpled 26847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋) ↔ (𝐵↑𝑐𝐸) ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))))
19	8, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐸) ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
20	10	zcnd 12697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21		eluz2nn 12908	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
22	2, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
23	22	nnne0d 12282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
24	20, 23, 16	cxpexpzd 26838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐸) = (𝐵↑𝐸))
25		eluz2cnn0n1 49169	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
26	2, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
27		rpcnne0 13031	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
28		eldifsn 4755	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30	3, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
31		cxplogb 26913	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
32	26, 30, 31	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
33	19, 24, 32	3brtr3d 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋)
34		flltp1 13829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
35	5, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
36	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)))
37	36	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) = ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
38	35, 37	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1))
39	16	peano2zd 12699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
40	39	zred 12696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℝ)
41	11, 14, 5, 40	cxpltd 26846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1))))
42	38, 41	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1)))
43	20, 23, 39	cxpexpzd 26838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐸 + 1)) = (𝐵↑(𝐸 + 1)))
44	42, 32, 43	3brtr3d 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1)))
45	33, 44	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝐸) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  2c2 12291  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  ↑_𝑐ccxp 26682   log_b clogb 26891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-cxp 26684  df-logb 26892

This theorem is referenced by:  fldivexpfllog2  49223