Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fllogbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fllogbd 44917
 Description: A real number is between the base of a logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number and the base of the logarithm to the power of the floor of the logarithm of the number plus one. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fllogbd.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
fllogbd.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fllogbd.e 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fllogbd (𝜑 → ((𝐵𝐸) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))

Proof of Theorem fllogbd
StepHypRef Expression
1 fllogbd.e . . . . 5 𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋))
2 fllogbd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
3 fllogbd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
4 relogbzcl 25358 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
6 flle 13164 . . . . . 6 ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ≤ (𝐵 logb 𝑋))
81, 7eqbrtrid 5077 . . . 4 (𝜑𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋))
9 eluzelz 12241 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
102, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
1110zred 12075 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 eluz2b1 12307 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐵))
1312simprbi 500 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐵)
155flcld 13163 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
161, 15eqeltrid 2918 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
1716zred 12075 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1811, 14, 17, 5cxpled 25309 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ≤ (𝐵 logb 𝑋) ↔ (𝐵𝑐𝐸) ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋))))
198, 18mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐸) ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2010zcnd 12076 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
21 eluz2nn 12272 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
222, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2322nnne0d 11675 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
2420, 23, 16cxpexpzd 25300 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐸) = (𝐵𝐸))
25 eluz2cnn0n1 44863 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
262, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
27 rpcnne0 12395 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
28 eldifsn 4693 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
2927, 28sylibr 237 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
303, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
31 cxplogb 25370 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3226, 30, 31syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3319, 24, 323brtr3d 5073 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐸) ≤ 𝑋)
34 flltp1 13165 . . . . . 6 ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
355, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
361a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐸 = (⌊‘(𝐵 logb 𝑋)))
3736oveq1d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 1) = ((⌊‘(𝐵 logb 𝑋)) + 1))
3835, 37breqtrrd 5070 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1))
3916peano2zd 12078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℤ)
4039zred 12075 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 1) ∈ ℝ)
4111, 14, 5, 40cxpltd 25308 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) < (𝐸 + 1) ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵𝑐(𝐸 + 1))))
4238, 41mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) < (𝐵𝑐(𝐸 + 1)))
4320, 23, 39cxpexpzd 25300 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐸 + 1)) = (𝐵↑(𝐸 + 1)))
4442, 32, 433brtr3d 5073 . 2 (𝜑𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1)))
4533, 44jca 515 1 (𝜑 → ((𝐵𝐸) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐵↑(𝐸 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   ∖ cdif 3905  {csn 4539  {cpr 4541   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  2c2 11680  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  ℝ+crp 12377  ⌊cfl 13155  ↑cexp 13425  ↑𝑐ccxp 25145   logb clogb 25348 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-cxp 25147  df-logb 25349 This theorem is referenced by:  fldivexpfllog2  44922
 Copyright terms: Public domain W3C validator