MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrfn 28925
Description: The edge function of an undirected multigraph is a function into unordered pairs of vertices. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isumgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isumgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgrfn ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrfn
StepHypRef Expression
1 isumgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isumgr.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2umgrf 28924 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 fndm 6657 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐴 → dom 𝐸 = 𝐴)
54feq2d 6708 . . 3 (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
63, 5syl5ibcom 244 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐸 Fn 𝐴𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
76imp 406 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5678   Fn wfn 6543  wf 6544  cfv 6548  2c2 12298  chash 14322  Vtxcvtx 28822  iEdgciedg 28823  UMGraphcumgr 28907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-umgr 28909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator