Theorem fperiodmul 46137

Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmul.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3		fperiodmul.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fperiodmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		fperiodmul.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
9	8	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10	2, 4, 5, 7, 9	fperiodmullem 46136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
11	6	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fperiodmul.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	3	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
16	11, 15	subnegd 11600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
17	13, 14	mulneg1d 11691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
18	17	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
19	18	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
20	16, 19	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
21	20	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
23	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
24	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25		znnn0nn 12732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
26	12, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
28	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
29	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	zred 12725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	renegcld 11665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
32	31, 24	remulcld 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
33	28, 32	resubcld 11666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34	8	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
35	23, 24, 27, 33, 34	fperiodmullem 46136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
36	28	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
38	37	negcld 11580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
39	24	recnd 11261	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	36, 40	npcand 11597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
42	41	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
43	22, 35, 42	3eqtr2d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
44	10, 43	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  fourierdlem89  47023  fourierdlem90  47024  fourierdlem91  47025  fourierdlem94  47028  fourierdlem97  47031  fourierdlem113  47047