Theorem fperiodmul 45468

Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmul.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3		fperiodmul.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fperiodmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		fperiodmul.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
9	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10	2, 4, 5, 7, 9	fperiodmullem 45467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
11	6	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fperiodmul.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	3	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
16	11, 15	subnegd 11490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
17	13, 14	mulneg1d 11581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
18	17	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
19	18	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
20	16, 19	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
21	20	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
23	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
24	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25		znnn0nn 12594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
26	12, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
28	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
29	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	zred 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	renegcld 11555	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
32	31, 24	remulcld 11153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
33	28, 32	resubcld 11556	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34	8	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
35	23, 24, 27, 33, 34	fperiodmullem 45467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
36	28	recnd 11151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
38	37	negcld 11470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
39	24	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	36, 40	npcand 11487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
42	41	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
43	22, 35, 42	3eqtr2d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
44	10, 43	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355  -cneg 11356  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480

This theorem is referenced by:  fourierdlem89  46355  fourierdlem90  46356  fourierdlem91  46357  fourierdlem94  46360  fourierdlem97  46363  fourierdlem113  46379