Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmul 45316
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3 fperiodmul.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 45315 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
116recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zcnd 12723 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
143recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
1611, 15subnegd 11627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 11716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
1817eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
1918oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2120fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
2221adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
231adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
243adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 12729 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2612, 25sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zred 12722 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 11690 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 11691 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 45315 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
3628recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
3730recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3837negcld 11607 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
3924recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 11281 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
4136, 40npcand 11624 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4322, 35, 423eqtr2d 2783 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4410, 43pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem94  46215  fourierdlem97  46218  fourierdlem113  46234
  Copyright terms: Public domain W3C validator