Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fperiodmul 44314
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fperiodmul.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
fperiodmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3 fperiodmul.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
98adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 44313 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
116recnd 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1312zcnd 12672 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
143recnd 11247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
1611, 15subnegd 11583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ -(𝑁 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 11672 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-𝑁 Β· 𝑇) = -(𝑁 Β· 𝑇))
1817eqcomd 2737 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(𝑁 Β· 𝑇) = (-𝑁 Β· 𝑇))
1918oveq2d 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ -(𝑁 Β· 𝑇)) = (𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇)) = (𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)))
2120fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇))))
2221adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇))))
231adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
243adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 12678 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„•)
2612, 25sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„•)
2726nnnn0d 12537 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
286adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3029zred 12671 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 11646 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 11249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 11647 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 44313 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)) + (-𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇))))
3628recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3730recnd 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3837negcld 11563 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
3924recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4038, 39mulcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4136, 40npcand 11580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)) + (-𝑁 Β· 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 βˆ’ (-𝑁 Β· 𝑇)) + (-𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
4322, 35, 423eqtr2d 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
4410, 43pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  45211  fourierdlem90  45212  fourierdlem91  45213  fourierdlem94  45216  fourierdlem97  45219  fourierdlem113  45235
  Copyright terms: Public domain W3C validator