Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmul 43443
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3 fperiodmul.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 43442 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
116recnd 11141 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zcnd 12566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
143recnd 11141 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 11133 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
1611, 15subnegd 11477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 11566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
1817eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
1918oveq2d 7367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2120fveq2d 6843 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
2221adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
231adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
243adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 12572 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2612, 25sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12431 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
286adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zred 12565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 11540 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 11143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 11541 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 43442 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
3628recnd 11141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
3730recnd 11141 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3837negcld 11457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
3924recnd 11141 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 11133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
4136, 40npcand 11474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6843 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4322, 35, 423eqtr2d 2783 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4410, 43pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008   + caddc 11012   · cmul 11014  cmin 11343  -cneg 11344  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  44337  fourierdlem90  44338  fourierdlem91  44339  fourierdlem94  44342  fourierdlem97  44345  fourierdlem113  44361
  Copyright terms: Public domain W3C validator