Theorem fperiodmul 46427

Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmul.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3		fperiodmul.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fperiodmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		fperiodmul.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
9	8	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10	2, 4, 5, 7, 9	fperiodmullem 46426	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
11	6	recnd 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fperiodmul.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	3	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
16	11, 15	subnegd 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
17	13, 14	mulneg1d 11774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( -𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
18	17	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = ( -𝑁 · 𝑇))
19	18	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)))
20	16, 19	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)))
21	20	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇))))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇))))
23	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
24	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25		znnn0nn 12815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
26	12, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12672	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
28	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
29	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	zred 12808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	renegcld 11748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
32	31, 24	remulcld 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
33	28, 32	resubcld 11749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34	8	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
35	23, 24, 27, 33, 34	fperiodmullem 46426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)) + ( -𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇))))
36	28	recnd 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30	recnd 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
38	37	negcld 11661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
39	24	recnd 11342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	36, 40	npcand 11678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)) + ( -𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
42	41	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − ( -𝑁 · 𝑇)) + ( -𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
43	22, 35, 42	3eqtr2d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
44	10, 43	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699

This theorem is used by:  fourierdlem89  47312  fourierdlem90  47313  fourierdlem91  47314  fourierdlem94  47317  fourierdlem97  47320  fourierdlem113  47336