Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmul 45255
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3 fperiodmul.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 45254 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
116recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
143recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
1611, 15subnegd 11625 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 11714 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
1817eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
1918oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2120fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
2221adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
231adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
243adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 12727 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2612, 25sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zred 12720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 11688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 11289 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 11689 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 45254 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
3628recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
3730recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3837negcld 11605 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
3924recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 11279 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
4136, 40npcand 11622 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4322, 35, 423eqtr2d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4410, 43pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem94  46156  fourierdlem97  46159  fourierdlem113  46175
  Copyright terms: Public domain W3C validator