Theorem fperiodmul 45316

Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmul.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3		fperiodmul.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fperiodmul.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		fperiodmul.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
9	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10	2, 4, 5, 7, 9	fperiodmullem 45315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
11	6	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12		fperiodmul.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	3	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
16	11, 15	subnegd 11627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
17	13, 14	mulneg1d 11716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
18	17	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
19	18	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
20	16, 19	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
21	20	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
23	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
24	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25		znnn0nn 12729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
26	12, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
28	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
29	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	zred 12722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	renegcld 11690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
32	31, 24	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
33	28, 32	resubcld 11691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34	8	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
35	23, 24, 27, 33, 34	fperiodmullem 45315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
36	28	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
38	37	negcld 11607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
39	24	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	36, 40	npcand 11624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
42	41	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
43	22, 35, 42	3eqtr2d 2783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
44	10, 43	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem94  46215  fourierdlem97  46218  fourierdlem113  46234