MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkocnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkocnv 23309
Description: The inverse of the "currying" function 𝐹 is the uncurrying function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkohmeo.x (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
xkohmeo.y (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
xkohmeo.f 𝐹 = (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
xkohmeo.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally Comp)
xkohmeo.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Comp)
xkohmeo.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
Assertion
Ref Expression
xkocnv (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑓,𝐾,𝑔,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐿,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑓,𝑋,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem xkocnv
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
2 xkohmeo.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
32adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 xkohmeo.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6 txtopon 23086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
72, 4, 6syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
9 xkohmeo.l . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
10 toptopon2 22411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
14 cnf2 22744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿) ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝑓:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝐿)
158, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝑓:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝐿)
1615ffnd 6715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝑓 Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
17 fnov 7536 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
1918, 13eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
203, 5, 19cnmpt2k 23183 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
2120adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
221, 21eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
2318adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 𝑋 = 𝑋
25 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯πœ‘
26 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)
27 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
2827nfeq2 2920 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
2926, 28nfan 1902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
3025, 29nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))))
31 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦πœ‘
32 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)
33 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑦𝑋
34 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))
3533, 34nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
3635nfeq2 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
3732, 36nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
3831, 37nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))))
39 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝑋
4038, 39nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
4241fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))β€˜π‘₯))
43 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
44 toponmax 22419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
4746mptexd 7222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) ∈ V)
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
4948fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
5043, 47, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
5142, 50eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
5251fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))β€˜π‘¦))
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
54 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯𝑓𝑦) ∈ V
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))
5655fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯𝑓𝑦) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))
5753, 54, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))
5852, 57eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))
5958expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦)))
6040, 59ralrimi 3254 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = π‘Œ
6260, 61jctil 520 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œ = π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦)))
6362ex 413 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (π‘Œ = π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))))
6430, 63ralrimi 3254 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œ = π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦)))
65 mpoeq123 7477 . . . . . . 7 ((𝑋 = 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œ = π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) = (π‘₯𝑓𝑦))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
6624, 64, 65sylancr 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))
6723, 66eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
6822, 67jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))) β†’ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
69 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
702adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
714adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
7211adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
73 xkohmeo.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Comp)
7473adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Comp)
75 nllytop 22968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ 𝑛-Locally Comp β†’ 𝐾 ∈ Top)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
779adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝐿 ∈ Top)
78 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ↑ko 𝐾) = (𝐿 ↑ko 𝐾)
7978xkotopon 23095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
8076, 77, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
82 cnf2 22744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
8370, 80, 81, 82syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
8483feqmptd 6957 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
854ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
8611ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
8783ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
88 cnf2 22744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
8985, 86, 87, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘₯):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
9089feqmptd 6957 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
9190mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
9284, 91eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
9392, 81eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
9470, 71, 72, 74, 93cnmptk2 23181 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
9594adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
9669, 95eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
9792adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
98 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))
99 nfmpo1 7485 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
10099nfeq2 2920 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
10198, 100nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
10225, 101nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
103 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))
104 nfmpo2 7486 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
105104nfeq2 2920 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
106103, 105nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
10731, 106nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
108107, 39nfan 1902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
10969oveqd 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ (π‘₯𝑓𝑦) = (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))𝑦))
110 fvex 6901 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ V
111 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
112111ovmpt4g 7551 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ V) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
113110, 112mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
114109, 113sylan9eq 2792 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑓𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
115114expr 457 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ (π‘₯𝑓𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
116108, 115ralrimi 3254 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑓𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))
117 mpteq12 5239 . . . . . . . 8 ((π‘Œ = π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑓𝑦) = ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
11861, 116, 117sylancr 587 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))
119102, 118mpteq2da 5245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
12097, 119eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
12196, 120jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))) β†’ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))))
12268, 121impbida 799 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))) ↔ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))))
123122opabbidv 5213 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))} = {βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∣ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))})
124 xkohmeo.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))
125 df-mpt 5231 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦)))) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))}
126124, 125eqtri 2760 . . . 4 𝐹 = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))}
127126cnveqi 5872 . . 3 ◑𝐹 = β—‘{βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))}
128 cnvopab 6135 . . 3 β—‘{βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))} = {βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))}
129127, 128eqtri 2760 . 2 ◑𝐹 = {βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ 𝑔 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯𝑓𝑦))))}
130 df-mpt 5231 . 2 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))) = {βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∣ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦)))}
131123, 129, 1303eqtr4g 2797 1 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = (𝑔 ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)β€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βˆͺ cuni 4907  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  Compccmp 22881  π‘›-Locally cnlly 22960   Γ—t ctx 23055   ↑ko cxko 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-nlly 22962  df-tx 23057  df-xko 23058
This theorem is referenced by:  xkohmeo  23310
  Copyright terms: Public domain W3C validator