Theorem nn0cnd 12534

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12533	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11242	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℂcc 11108  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13822  expaddzlem  14071  expaddz  14072  expmulz  14074  facdiv  14247  faclbnd4lem3  14255  bcp1n  14276  bcn2m1  14284  bcn2p1  14285  hashgadd  14337  hashdom  14339  hashun3  14344  hashssdif  14372  hashdifpr  14375  hashxplem  14393  hashmap  14395  hashreshashfun  14399  hashbclem  14411  hashf1lem2  14417  hashf1  14418  ccatval3  14529  ccatval21sw  14535  ccatlid  14536  ccatrid  14537  ccatass  14538  ccatrn  14539  lswccatn0lsw  14541  ccatalpha  14543  ccatws1lenp1b  14571  wrdlenccats1lenm1  14572  ccats1val2  14577  swrdccat2  14619  pfxfv  14632  addlenpfx  14641  pfxtrcfvl  14647  pfxpfx  14658  ccats1pfxeq  14664  ccatopth2  14667  cats1un  14671  swrdccat3b  14690  spllen  14704  splfv2a  14706  revccat  14716  cshwlen  14749  cshwidxmod  14753  repswcshw  14762  2cshwid  14764  cshweqdif2  14769  relexpaddg  15000  rtrclreclem3  15007  isercoll2  15615  iseraltlem3  15630  hash2iun1dif1  15770  binomlem  15775  bcxmas  15781  incexclem  15782  incexc  15783  incexc2  15784  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  arisum  15806  arisum2  15807  pwdif  15814  geomulcvg  15822  mertens  15832  risefacval2  15954  fallfacval2  15955  fallfacval3  15956  risefallfac  15968  risefacp1  15973  fallfacp1  15974  fallfacfwd  15980  binomfallfaclem1  15983  binomfallfaclem2  15984  binomrisefac  15986  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  fsumkthpow  16000  bpoly4  16003  effsumlt  16054  dvdsexp  16271  nn0ob  16327  divalgmod  16349  bitsinv1lem  16382  sadcp1  16396  sadcaddlem  16398  sadadd2lem  16400  sadadd3  16402  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  smupp1  16421  smumullem  16433  mulgcd  16490  absmulgcd  16491  mulgcdr  16492  gcddiv  16493  lcmgcd  16544  lcmid  16546  lcm1  16547  3lcm2e6woprm  16552  6lcm4e12  16553  mulgcddvds  16592  qredeu  16595  divgcdcoprm0  16602  divgcdcoprmex  16603  cncongr1  16604  cncongr2  16605  odzdvds  16728  powm2modprm  16736  coprimeprodsq  16741  pceulem  16778  pczpre  16780  pcqmul  16786  pcaddlem  16821  pcmpt  16825  pcmpt2  16826  sumhash  16829  oddprmdvds  16836  mul4sq  16887  4sqlem12  16889  vdwapun  16907  vdwlem2  16915  vdwlem3  16916  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  vdwlem9  16922  ramub1lem2  16960  ramcl  16962  mulgnn0dir  18984  mulgnn0ass  18990  lagsubg2  19071  psgnunilem2  19363  odmodnn0  19408  odmulg  19424  odmulgeq  19425  odinv  19429  sylow1lem1  19466  sylow2a  19487  sylow2blem3  19490  sylow3lem3  19497  sylow3lem4  19498  efginvrel2  19595  efgsval2  19601  efgsp1  19605  efgredlemg  19610  efgredleme  19611  efgcpbllemb  19623  odadd2  19717  odadd  19718  torsubg  19722  frgpnabllem1  19741  pgpfaclem1  19951  fincygsubgodd  19982  srgbinomlem3  20051  srgbinomlem4  20052  nn0srg  21015  mplcoe5  21595  mhpmulcl  21692  mhppwdeg  21693  coe1tmmul2  21798  coe1tmmul2fv  21800  coe1pwmulfv  21802  mbfi1fseqlem3  25235  dvn2bss  25447  itgpowd  25567  tdeglem4  25577  tdeglem4OLD  25578  tdeglem2  25579  mdegmullem  25596  coe1mul3  25617  ply1divex  25654  fta1glem1  25683  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  coeeulem  25738  coemulc  25769  dgrmulc  25785  dgrcolem2  25788  dgrco  25789  dvply1  25797  dvply2g  25798  plydivlem4  25809  fta1lem  25820  vieta1lem1  25823  aareccl  25839  aaliou3lem8  25858  taylply2  25880  dvtaylp  25882  dvntaylp  25883  dvntaylp0  25884  dvradcnv  25933  pserdvlem2  25940  advlogexp  26163  cxpeq  26265  atantayl3  26444  birthdaylem2  26457  harmonicbnd4  26515  dmgmaddnn0  26531  lgamucov  26542  wilthlem2  26573  basellem2  26586  basellem3  26587  basellem5  26589  0sgm  26648  sgmppw  26700  chtublem  26714  chpval2  26721  sumdchr2  26773  bcp1ctr  26782  lgslem1  26800  gausslemma2dlem6  26875  gausslemma2d  26877  lgseisenlem2  26879  lgseisenlem3  26880  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  lgsquad2lem2  26888  m1lgs  26891  2lgslem1c  26896  2lgslem3a  26899  2lgslem3b  26900  2lgslem3c  26901  2lgslem3d  26902  2sqlem8  26929  2sq2  26936  2sqmod  26939  dchrisumlem1  26992  dchrisum0flblem2  27012  rpvmasum2  27015  mulogsumlem  27034  selberg2lem  27053  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem4  27083  finsumvtxdg2ssteplem4  28836  vtxdgoddnumeven  28841  wlklenvm1  28910  wlklenvclwlk  28943  crctcshlem4  29105  crctcsh  29109  wlklnwwlkln2lem  29167  wlknwwlksnbij  29173  wwlksnred  29177  wwlksnext  29178  wwlksnextbi  29179  wwlksnredwwlkn  29180  wwlksnextproplem2  29195  rusgrnumwwlks  29259  rusgrnumwwlk  29260  clwwlkccatlem  29273  clwlkclwwlk  29286  clwwlkwwlksb  29338  eupth2lem3lem3  29514  eupth2lem3lem6  29517  fusgreghash2wsp  29622  frrusgrord0lem  29623  numclwwlk1  29645  numclwwlk3  29669  ex-lcm  29742  ex-ind-dvds  29745  nnmulge  31994  divnumden2  32055  ccatf1  32146  pfxlsw2ccat  32147  wrdt2ind  32148  omndmul2  32261  omndmul3  32262  cycpmco2lem2  32317  cycpmco2lem3  32318  cycpmco2lem4  32319  cycpmco2lem5  32320  cycpmco2lem6  32321  cycpmco2lem7  32322  cycpmco2  32323  archiabllem1a  32368  freshmansdream  32412  oddpwdc  33384  eulerpartlemsv2  33388  eulerpartlems  33390  eulerpartlemsv3  33391  eulerpartlemv  33394  eulerpartlemb  33398  iwrdsplit  33417  ballotlemgun  33554  ccatmulgnn0dir  33584  ofcccat  33585  signsplypnf  33592  signslema  33604  signstfvn  33611  signstfveq0  33619  signsvtp  33625  signsvtn  33626  signlem0  33629  signshf  33630  fsum2dsub  33650  hashreprin  33663  breprexp  33676  circlemeth  33683  lpadlem2  33723  lpadlen2  33724  revpfxsfxrev  34137  revwlk  34146  subfacp1lem6  34207  subfacval2  34209  subfaclim  34210  cvmliftlem7  34313  elmrsubrn  34542  bcprod  34739  bccolsum  34740  faclimlem1  34744  faclim2  34749  fwddifnp1  35168  knoppndvlem6  35441  knoppndvlem14  35449  poimirlem4  36540  poimirlem5  36541  poimirlem6  36542  poimirlem7  36543  poimirlem10  36546  poimirlem11  36547  poimirlem12  36548  poimirlem16  36552  poimirlem17  36553  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem22  36558  poimirlem24  36560  poimirlem25  36561  poimirlem29  36565  poimirlem31  36567  lcmineqlem1  40942  lcmineqlem2  40943  lcmineqlem12  40953  lcmineqlem17  40958  aks6d1c2p2  41005  2np3bcnp1  41008  2ap1caineq  41009  sticksstones7  41016  sticksstones9  41018  sticksstones10  41019  sticksstones11  41020  sticksstones12a  41021  sticksstones12  41022  sticksstones22  41032  ccatcan2d  41117  frlmvscadiccat  41128  fz1sump1  41256  sumcubes  41259  zaddcomlem  41372  fltnltalem  41452  3cubeslem3l  41472  3cubeslem3r  41473  rmxyneg  41707  rmxyadd  41708  rmyp1  41720  rmxm1  41721  rmym1  41722  rmxluc  41723  rmyluc  41724  rmxdbl  41726  rmydbl  41727  jm2.18  41775  jm2.19lem1  41776  jm2.19lem2  41777  jm2.22  41782  jm2.23  41783  jm2.25  41786  jm2.27c  41794  rmxdiophlem  41802  expdioph  41810  hbtlem4  41916  relexpmulg  42509  radcnvrat  43121  nzprmdif  43126  bcc0  43147  bccp1k  43148  bccbc  43152  binomcxplemnn0  43156  binomcxplemrat  43157  binomcxplemfrat  43158  binomcxplemnotnn0  43163  fzisoeu  44058  mccllem  44361  dvxpaek  44704  dvnxpaek  44706  dvnmul  44707  dvnprodlem1  44710  dvnprodlem2  44711  stoweidlem24  44788  stirlinglem3  44840  stirlinglem7  44844  fourierdlem36  44907  fourierdlem47  44917  etransclem23  45021  etransclem32  45030  etransclem48  45046  fz0addcom  46073  fmtnom1nn  46248  fmtnof1  46251  fmtnorec1  46253  sqrtpwpw2p  46254  fmtnorec2lem  46258  fmtnorec3  46264  fmtnofac2lem  46284  fmtnofac2  46285  fmtnofac1  46286  lighneallem3  46323  lighneallem4b  46325  altgsumbc  47076  altgsumbcALT  47077  nnpw2pmod  47317  dignn0ehalf  47351  nn0sumshdiglemA  47353  nn0sumshdiglemB  47354  nn0sumshdiglem2  47356  nn0mullong  47359  itcovalpclem2  47405  itcovalt2lem2lem2  47408  itcovalt2lem1  47409  aacllem  47896