Theorem nn0cnd 12444

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12443	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℂcc 11004  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13761  expaddzlem  14012  expaddz  14013  expmulz  14015  facdiv  14194  faclbnd4lem3  14202  bcp1n  14223  bcn2m1  14231  bcn2p1  14232  hashgadd  14284  hashdom  14286  hashun3  14291  hashssdif  14319  hashdifpr  14322  hashxplem  14340  hashmap  14342  hashreshashfun  14346  hashbclem  14359  hashf1lem2  14363  hashf1  14364  ccatval3  14486  ccatval21sw  14493  ccatlid  14494  ccatrid  14495  ccatass  14496  ccatrn  14497  lswccatn0lsw  14499  ccatalpha  14501  ccatws1lenp1b  14529  wrdlenccats1lenm1  14530  ccats1val2  14535  swrdccat2  14577  pfxfv  14590  addlenpfx  14598  pfxtrcfvl  14604  pfxpfx  14615  lenrevpfxcctswrd  14619  ccats1pfxeq  14621  ccatopth2  14624  cats1un  14628  swrdccat3b  14647  spllen  14661  splfv2a  14663  revccat  14673  cshwlen  14706  cshwidxmod  14710  repswcshw  14719  2cshwid  14721  cshweqdif2  14726  relexpaddg  14960  rtrclreclem3  14967  isercoll2  15576  iseraltlem3  15591  hash2iun1dif1  15731  binomlem  15736  bcxmas  15742  incexclem  15743  incexc  15744  incexc2  15745  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  arisum  15767  arisum2  15768  pwdif  15775  geomulcvg  15783  mertens  15793  risefacval2  15917  fallfacval2  15918  fallfacval3  15919  risefallfac  15931  risefacp1  15936  fallfacp1  15937  fallfacfwd  15943  binomfallfaclem1  15946  binomfallfaclem2  15947  binomrisefac  15949  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  bpoly4  15966  effsumlt  16020  dvdsexp  16239  nn0ob  16295  divalgmod  16317  bitsinv1lem  16352  sadcp1  16366  sadcaddlem  16368  sadadd2lem  16370  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  smupp1  16391  smumullem  16403  mulgcd  16459  absmulgcd  16460  mulgcdr  16461  gcddiv  16462  lcmgcd  16518  lcmid  16520  lcm1  16521  3lcm2e6woprm  16526  6lcm4e12  16527  mulgcddvds  16566  qredeu  16569  divgcdcoprm0  16576  divgcdcoprmex  16577  cncongr1  16578  cncongr2  16579  odzdvds  16707  powm2modprm  16715  coprimeprodsq  16720  pceulem  16757  pczpre  16759  pcqmul  16765  pcaddlem  16800  pcmpt  16804  pcmpt2  16805  sumhash  16808  oddprmdvds  16815  mul4sq  16866  4sqlem12  16868  vdwapun  16886  vdwlem2  16894  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem9  16901  ramub1lem2  16939  ramcl  16941  chnrev  18533  mulgnn0dir  19017  mulgnn0ass  19023  lagsubg2  19106  psgnunilem2  19407  odmodnn0  19452  odmulg  19468  odmulgeq  19469  odinv  19473  sylow1lem1  19510  sylow2a  19531  sylow2blem3  19534  sylow3lem3  19541  sylow3lem4  19542  efginvrel2  19639  efgsval2  19645  efgsp1  19649  efgredlemg  19654  efgredleme  19655  efgcpbllemb  19667  odadd2  19761  odadd  19762  torsubg  19766  frgpnabllem1  19785  pgpfaclem1  19995  fincygsubgodd  20026  omndmul2  20045  omndmul3  20046  srgbinomlem3  20146  srgbinomlem4  20147  nn0srg  21374  freshmansdream  21511  mplcoe5  21975  mhpmulcl  22064  mhppwdeg  22065  psdmplcl  22077  psdmul  22081  coe1tmmul2  22190  coe1tmmul2fv  22192  coe1pwmulfv  22194  mbfi1fseqlem3  25645  dvn2bss  25859  itgpowd  25984  tdeglem4  25992  tdeglem2  25993  mdegmullem  26010  coe1mul3  26031  ply1divex  26069  fta1glem1  26100  plyaddlem1  26145  plymullem1  26146  coeeulem  26156  coemulc  26187  dgrmulc  26204  dgrcolem2  26207  dgrco  26208  dvply1  26218  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  plydivlem4  26231  fta1lem  26242  vieta1lem1  26245  aareccl  26261  aaliou3lem8  26280  taylply2  26302  taylply2OLD  26303  dvtaylp  26305  dvntaylp  26306  dvntaylp0  26307  dvradcnv  26357  pserdvlem2  26365  advlogexp  26591  cxpeq  26694  atantayl3  26876  birthdaylem2  26889  harmonicbnd4  26948  dmgmaddnn0  26964  lgamucov  26975  wilthlem2  27006  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem5  27022  0sgm  27081  sgmppw  27135  chtublem  27149  chpval2  27156  sumdchr2  27208  bcp1ctr  27217  lgslem1  27235  gausslemma2dlem6  27310  gausslemma2d  27312  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  lgsquad2lem2  27323  m1lgs  27326  2lgslem1c  27331  2lgslem3a  27334  2lgslem3b  27335  2lgslem3c  27336  2lgslem3d  27337  2sqlem8  27364  2sq2  27371  2sqmod  27374  dchrisumlem1  27427  dchrisum0flblem2  27447  rpvmasum2  27450  mulogsumlem  27469  selberg2lem  27488  pntrsumo1  27503  pntrlog2bndlem4  27518  finsumvtxdg2ssteplem4  29527  vtxdgoddnumeven  29532  wlklenvm1  29600  wlklenvclwlk  29632  crctcshlem4  29798  crctcsh  29802  wlklnwwlkln2lem  29860  wlknwwlksnbij  29866  wwlksnred  29870  wwlksnext  29871  wwlksnextbi  29872  wwlksnredwwlkn  29873  wwlksnextproplem2  29888  rusgrnumwwlks  29955  rusgrnumwwlk  29956  clwwlkccatlem  29969  clwlkclwwlk  29982  clwwlkwwlksb  30034  eupth2lem3lem3  30210  eupth2lem3lem6  30213  fusgreghash2wsp  30318  frrusgrord0lem  30319  numclwwlk1  30341  numclwwlk3  30365  ex-lcm  30438  ex-ind-dvds  30441  nnmulge  32722  elq2  32794  divnumden2  32798  ccatf1  32930  pfxlsw2ccat  32931  ccatws1f1o  32932  wrdt2ind  32934  cycpmco2lem2  33096  cycpmco2lem3  33097  cycpmco2lem4  33098  cycpmco2lem5  33099  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  cycpmco2  33102  archiabllem1a  33160  gsumind  33310  ply1dg3rt0irred  33546  iconstr  33779  cos9thpiminplylem1  33795  oddpwdc  34367  eulerpartlemsv2  34371  eulerpartlems  34373  eulerpartlemsv3  34374  eulerpartlemv  34377  eulerpartlemb  34381  iwrdsplit  34400  ballotlemgun  34538  ccatmulgnn0dir  34555  ofcccat  34556  signsplypnf  34563  signslema  34575  signstfvn  34582  signstfveq0  34590  signsvtp  34596  signsvtn  34597  signlem0  34600  signshf  34601  fsum2dsub  34620  hashreprin  34633  breprexp  34646  circlemeth  34653  lpadlem2  34693  lpadlen2  34694  revpfxsfxrev  35160  revwlk  35169  subfacp1lem6  35229  subfacval2  35231  subfaclim  35232  cvmliftlem7  35335  elmrsubrn  35564  bcprod  35782  bccolsum  35783  faclimlem1  35787  faclim2  35792  fwddifnp1  36209  knoppndvlem6  36561  knoppndvlem14  36569  poimirlem4  37674  poimirlem5  37675  poimirlem6  37676  poimirlem7  37677  poimirlem10  37680  poimirlem11  37681  poimirlem12  37682  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  poimirlem22  37692  poimirlem24  37694  poimirlem25  37695  poimirlem29  37699  poimirlem31  37701  lcmineqlem1  42132  lcmineqlem2  42133  lcmineqlem12  42143  lcmineqlem17  42148  primrootscoprmpow  42202  aks6d1c2p2  42222  deg1gprod  42243  deg1pow  42244  2np3bcnp1  42247  2ap1caineq  42248  sticksstones7  42255  sticksstones9  42257  sticksstones10  42258  sticksstones11  42259  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  sticksstones22  42271  aks6d1c6lem1  42273  aks6d1c6lem3  42275  bcled  42281  bcle2d  42282  aks6d1c7lem1  42283  unitscyglem2  42299  unitscyglem4  42301  ccatcan2d  42354  fz1sump1  42413  sumcubes  42416  zaddcomlem  42566  frlmvscadiccat  42609  fltnltalem  42765  3cubeslem3l  42789  3cubeslem3r  42790  rmxyneg  43023  rmxyadd  43024  rmyp1  43036  rmxm1  43037  rmym1  43038  rmxluc  43039  rmyluc  43040  rmxdbl  43042  rmydbl  43043  jm2.18  43091  jm2.19lem1  43092  jm2.19lem2  43093  jm2.22  43098  jm2.23  43099  jm2.25  43102  jm2.27c  43110  rmxdiophlem  43118  expdioph  43126  hbtlem4  43229  relexpmulg  43813  radcnvrat  44417  nzprmdif  44422  bcc0  44443  bccp1k  44444  bccbc  44448  binomcxplemnn0  44452  binomcxplemrat  44453  binomcxplemfrat  44454  binomcxplemnotnn0  44459  fzisoeu  45411  mccllem  45707  dvxpaek  46048  dvnxpaek  46050  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  stoweidlem24  46132  stirlinglem3  46184  stirlinglem7  46188  fourierdlem36  46251  fourierdlem47  46261  etransclem23  46365  etransclem32  46374  etransclem48  46390  fz0addcom  47427  fmtnom1nn  47642  fmtnof1  47645  fmtnorec1  47647  sqrtpwpw2p  47648  fmtnorec2lem  47652  fmtnorec3  47658  fmtnofac2lem  47678  fmtnofac2  47679  fmtnofac1  47680  lighneallem3  47717  lighneallem4b  47719  altgsumbc  48462  altgsumbcALT  48463  nnpw2pmod  48694  dignn0ehalf  48728  nn0sumshdiglemA  48730  nn0sumshdiglemB  48731  nn0sumshdiglem2  48733  nn0mullong  48736  itcovalpclem2  48782  itcovalt2lem2lem2  48785  itcovalt2lem1  48786  aacllem  49912