Theorem nn0cnd 12225

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 10934	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℂcc 10800  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13505  expaddzlem  13754  expaddz  13755  expmulz  13757  facdiv  13929  faclbnd4lem3  13937  bcp1n  13958  bcn2m1  13966  bcn2p1  13967  hashgadd  14020  hashdom  14022  hashun3  14027  hashssdif  14055  hashdifpr  14058  hashxplem  14076  hashmap  14078  hashreshashfun  14082  hashbclem  14092  hashf1lem2  14098  hashf1  14099  ccatval3  14212  ccatval21sw  14218  ccatlid  14219  ccatrid  14220  ccatass  14221  ccatrn  14222  lswccatn0lsw  14224  ccatalpha  14226  ccatws1lenp1b  14254  wrdlenccats1lenm1  14255  ccats1val2  14262  swrdccat2  14310  pfxfv  14323  addlenpfx  14332  pfxtrcfvl  14338  pfxpfx  14349  ccats1pfxeq  14355  ccatopth2  14358  cats1un  14362  swrdccat3b  14381  spllen  14395  splfv2a  14397  revccat  14407  cshwlen  14440  cshwidxmod  14444  repswcshw  14453  2cshwid  14455  cshweqdif2  14460  relexpaddg  14692  rtrclreclem3  14699  isercoll2  15308  iseraltlem3  15323  hash2iun1dif1  15464  binomlem  15469  bcxmas  15475  incexclem  15476  incexc  15477  incexc2  15478  climcndslem1  15489  climcndslem2  15490  arisum  15500  arisum2  15501  pwdif  15508  geomulcvg  15516  mertens  15526  risefacval2  15648  fallfacval2  15649  fallfacval3  15650  risefallfac  15662  risefacp1  15667  fallfacp1  15668  fallfacfwd  15674  binomfallfaclem1  15677  binomfallfaclem2  15678  binomrisefac  15680  bpolycl  15690  bpolysum  15691  bpolydiflem  15692  fsumkthpow  15694  bpoly4  15697  effsumlt  15748  dvdsexp  15965  nn0ob  16021  divalgmod  16043  bitsinv1lem  16076  sadcp1  16090  sadcaddlem  16092  sadadd2lem  16094  sadadd3  16096  sadaddlem  16101  sadasslem  16105  smupp1  16115  smumullem  16127  mulgcd  16184  absmulgcd  16185  mulgcdr  16186  gcddiv  16187  lcmgcd  16240  lcmid  16242  lcm1  16243  3lcm2e6woprm  16248  6lcm4e12  16249  mulgcddvds  16288  qredeu  16291  divgcdcoprm0  16298  divgcdcoprmex  16299  cncongr1  16300  cncongr2  16301  odzdvds  16424  powm2modprm  16432  coprimeprodsq  16437  pceulem  16474  pczpre  16476  pcqmul  16482  pcaddlem  16517  pcmpt  16521  pcmpt2  16522  sumhash  16525  oddprmdvds  16532  mul4sq  16583  4sqlem12  16585  vdwapun  16603  vdwlem2  16611  vdwlem3  16612  vdwlem6  16615  vdwlem8  16617  vdwlem9  16618  ramub1lem2  16656  ramcl  16658  mulgnn0dir  18648  mulgnn0ass  18654  lagsubg2  18732  psgnunilem2  19018  odmodnn0  19063  odmulg  19078  odmulgeq  19079  odinv  19083  sylow1lem1  19118  sylow2a  19139  sylow2blem3  19142  sylow3lem3  19149  sylow3lem4  19150  efginvrel2  19248  efgsval2  19254  efgsp1  19258  efgredlemg  19263  efgredleme  19264  efgcpbllemb  19276  odadd2  19365  odadd  19366  torsubg  19370  frgpnabllem1  19389  pgpfaclem1  19599  fincygsubgodd  19630  srgbinomlem3  19693  srgbinomlem4  19694  nn0srg  20580  mplcoe5  21151  mhpmulcl  21249  mhppwdeg  21250  coe1tmmul2  21357  coe1tmmul2fv  21359  coe1pwmulfv  21361  mbfi1fseqlem3  24787  dvn2bss  24999  itgpowd  25119  tdeglem4  25129  tdeglem4OLD  25130  tdeglem2  25131  mdegmullem  25148  coe1mul3  25169  ply1divex  25206  fta1glem1  25235  plyaddlem1  25279  plymullem1  25280  coeeulem  25290  coemulc  25321  dgrmulc  25337  dgrcolem2  25340  dgrco  25341  dvply1  25349  dvply2g  25350  plydivlem4  25361  fta1lem  25372  vieta1lem1  25375  aareccl  25391  aaliou3lem8  25410  taylply2  25432  dvtaylp  25434  dvntaylp  25435  dvntaylp0  25436  dvradcnv  25485  pserdvlem2  25492  advlogexp  25715  cxpeq  25815  atantayl3  25994  birthdaylem2  26007  harmonicbnd4  26065  dmgmaddnn0  26081  lgamucov  26092  wilthlem2  26123  basellem2  26136  basellem3  26137  basellem5  26139  0sgm  26198  sgmppw  26250  chtublem  26264  chpval2  26271  sumdchr2  26323  bcp1ctr  26332  lgslem1  26350  gausslemma2dlem6  26425  gausslemma2d  26427  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  lgsquad2lem2  26438  m1lgs  26441  2lgslem1c  26446  2lgslem3a  26449  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  2sqlem8  26479  2sq2  26486  2sqmod  26489  dchrisumlem1  26542  dchrisum0flblem2  26562  rpvmasum2  26565  mulogsumlem  26584  selberg2lem  26603  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem4  26633  finsumvtxdg2ssteplem4  27818  vtxdgoddnumeven  27823  wlklenvm1  27891  wlklenvclwlk  27924  crctcshlem4  28086  crctcsh  28090  wlklnwwlkln2lem  28148  wlknwwlksnbij  28154  wwlksnred  28158  wwlksnext  28159  wwlksnextbi  28160  wwlksnredwwlkn  28161  wwlksnextproplem2  28176  rusgrnumwwlks  28240  rusgrnumwwlk  28241  clwwlkccatlem  28254  clwlkclwwlk  28267  clwwlkwwlksb  28319  eupth2lem3lem3  28495  eupth2lem3lem6  28498  fusgreghash2wsp  28603  frrusgrord0lem  28604  numclwwlk1  28626  numclwwlk3  28650  ex-lcm  28723  ex-ind-dvds  28726  nnmulge  30975  divnumden2  31034  ccatf1  31125  pfxlsw2ccat  31126  wrdt2ind  31127  omndmul2  31240  omndmul3  31241  cycpmco2lem2  31296  cycpmco2lem3  31297  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2lem7  31301  cycpmco2  31302  archiabllem1a  31347  freshmansdream  31386  oddpwdc  32221  eulerpartlemsv2  32225  eulerpartlems  32227  eulerpartlemsv3  32228  eulerpartlemv  32231  eulerpartlemb  32235  iwrdsplit  32254  ballotlemgun  32391  ccatmulgnn0dir  32421  ofcccat  32422  signsplypnf  32429  signslema  32441  signstfvn  32448  signstfveq0  32456  signsvtp  32462  signsvtn  32463  signlem0  32466  signshf  32467  fsum2dsub  32487  hashreprin  32500  breprexp  32513  circlemeth  32520  lpadlem2  32560  lpadlen2  32561  revpfxsfxrev  32977  revwlk  32986  subfacp1lem6  33047  subfacval2  33049  subfaclim  33050  cvmliftlem7  33153  elmrsubrn  33382  bcprod  33610  bccolsum  33611  faclimlem1  33615  faclim2  33620  fwddifnp1  34394  knoppndvlem6  34624  knoppndvlem14  34632  poimirlem4  35708  poimirlem5  35709  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem10  35714  poimirlem11  35715  poimirlem12  35716  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem22  35726  poimirlem24  35728  poimirlem25  35729  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  lcmineqlem1  39965  lcmineqlem2  39966  lcmineqlem12  39976  lcmineqlem17  39981  2np3bcnp1  40028  2ap1caineq  40029  sticksstones7  40036  sticksstones9  40038  sticksstones10  40039  sticksstones11  40040  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  sticksstones22  40052  ccatcan2d  40145  frlmvscadiccat  40163  fltnltalem  40415  3cubeslem3l  40424  3cubeslem3r  40425  rmxyneg  40658  rmxyadd  40659  rmyp1  40671  rmxm1  40672  rmym1  40673  rmxluc  40674  rmyluc  40675  rmxdbl  40677  rmydbl  40678  jm2.18  40726  jm2.19lem1  40727  jm2.19lem2  40728  jm2.22  40733  jm2.23  40734  jm2.25  40737  jm2.27c  40745  rmxdiophlem  40753  expdioph  40761  hbtlem4  40867  relexpmulg  41207  radcnvrat  41821  nzprmdif  41826  bcc0  41847  bccp1k  41848  bccbc  41852  binomcxplemnn0  41856  binomcxplemrat  41857  binomcxplemfrat  41858  binomcxplemnotnn0  41863  fzisoeu  42729  mccllem  43028  dvxpaek  43371  dvnxpaek  43373  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  stoweidlem24  43455  stirlinglem3  43507  stirlinglem7  43511  fourierdlem36  43574  fourierdlem47  43584  etransclem23  43688  etransclem32  43697  etransclem48  43713  fz0addcom  44697  fmtnom1nn  44872  fmtnof1  44875  fmtnorec1  44877  sqrtpwpw2p  44878  fmtnorec2lem  44882  fmtnorec3  44888  fmtnofac2lem  44908  fmtnofac2  44909  fmtnofac1  44910  lighneallem3  44947  lighneallem4b  44949  altgsumbc  45576  altgsumbcALT  45577  nnpw2pmod  45817  dignn0ehalf  45851  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  nn0sumshdiglem2  45856  nn0mullong  45859  itcovalpclem2  45905  itcovalt2lem2lem2  45908  itcovalt2lem1  45909  aacllem  46391