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Theorem pellexlem2 15838

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1029	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11061	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11848	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2238	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6065	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9250	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9250	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9250	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11032	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8293	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8583	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9282	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 10967	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11876	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2268	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11862	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8301	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9103	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11047	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2238	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9552	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9555	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11713	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11844	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11031	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9069	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6067	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9063	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11007	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8292	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9249	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9286	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8653	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8294	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2265	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2269	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5673	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2273	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11875	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11862	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11862	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8303	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8303	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9512	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9611	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11059	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8303	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8303	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8288	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9306	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8303	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8302	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9280	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9280	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9208	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9280	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11715	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8794	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8902	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11780	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8865	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11062	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9129	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11039	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8301	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8257	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2238	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10908	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2265	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6064	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8291	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2269	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8423	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8514	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8292	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8423	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9364	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5673	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11862	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11862	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8302	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11877	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9326	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11847	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8894	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11848	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9157	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 8977	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4149	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8696	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8391	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8832	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4130	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8396	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4130	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4130	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8696	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4130	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4130	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203 class class class wbr 4108

cfv 5351 (class class class)co 6049

cc 8124

cr 8125

cc0 8126

c1 8127

caddc 8129

cmul 8131

clt 8307

cle 8308

cmin 8443

cneg 8444 # cap 8854

cdiv 8945

cn 9236

c2 9287

cn0 9495

cz 9576

cexp 10899

csqrt 11677

cabs 11678

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8217 ax-resscn 8218 ax-1cn 8219 ax-1re 8220 ax-icn 8221 ax-addcl 8222 ax-addrcl 8223 ax-mulcl 8224 ax-mulrcl 8225 ax-addcom 8226 ax-mulcom 8227 ax-addass 8228 ax-mulass 8229 ax-distr 8230 ax-i2m1 8231 ax-0lt1 8232 ax-1rid 8233 ax-0id 8234 ax-rnegex 8235 ax-precex 8236 ax-cnre 8237 ax-pre-ltirr 8238 ax-pre-ltwlin 8239 ax-pre-lttrn 8240 ax-pre-apti 8241 ax-pre-ltadd 8242 ax-pre-mulgt0 8243 ax-pre-mulext 8244 ax-arch 8245 ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-frec 6621 df-pnf 8309 df-mnf 8310 df-xr 8311 df-ltxr 8312 df-le 8313 df-sub 8445 df-neg 8446 df-reap 8848 df-ap 8855 df-div 8946 df-inn 9237 df-2 9295 df-3 9296 df-4 9297 df-n0 9496 df-z 9577 df-uz 9853 df-rp 9986 df-seqfrec 10809 df-exp 10900 df-cj 11523 df-re 11524 df-im 11525 df-rsqrt 11679 df-abs 11680

This theorem is referenced by: pellexlem3 15839

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