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Theorem pellexlem2 16075

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11120	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11121	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11916	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2244	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6095	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1032	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11092	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11092	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8340	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8631	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9333	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 11026	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11944	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6095	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11930	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8348	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9116	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11107	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9606	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11781	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11912	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8348	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11091	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9120	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6097	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11066	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8339	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9300	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9337	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8702	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8348	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8341	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5697	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6095	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2279	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11943	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6095	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11930	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11930	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8350	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8350	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9563	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9662	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11119	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8350	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8350	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8335	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9357	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8350	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8349	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8349	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9259	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11783	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8843	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8951	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11848	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8914	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1282	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11122	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9180	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11099	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8348	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8304	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10967	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6095	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9107	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6094	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8338	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8471	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8562	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8339	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8471	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9415	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6095	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5697	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8349	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8348	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11930	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8348	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11930	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8349	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11945	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9377	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11915	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8943	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11916	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6095	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11115	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8447	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 9028	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4150	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8745	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8439	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8881	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4150	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8444	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4150	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4150	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8745	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4150	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4150	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4128

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cr 8172

cc0 8173

c1 8174

caddc 8176

cmul 8178

clt 8354

cle 8355

cmin 8491

cneg 8492 # cap 8903

cdiv 8996

cn 9287

c2 9338

cn0 9546

cz 9627

cexp 10958

csqrt 11745

cabs 11746

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-rp 10038 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748

This theorem is referenced by: pellexlem3 16076

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