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Theorem pellexlem2 16098

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9318	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11139	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11140	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11935	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2244	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6101	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1032	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9319	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11111	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9319	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9319	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11111	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8346	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8637	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9351	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 11045	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11963	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11949	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8354	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9123	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9161	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11126	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9318	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9622	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9625	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11800	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11931	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8354	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9127	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6103	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9121	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11085	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8345	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9318	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9355	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8708	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8354	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8347	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5699	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2279	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11962	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11949	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11949	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8356	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8356	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9582	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9681	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11138	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8356	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8356	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8341	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9375	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8356	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8355	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9349	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9349	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9266	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9349	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11802	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8849	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8958	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11867	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8921	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1282	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11141	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9187	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11118	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8354	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8310	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10986	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6100	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8344	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8568	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8345	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9433	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5699	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8354	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11949	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8354	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11949	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8355	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11964	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9395	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11934	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8950	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11935	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9348	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8453	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9215	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 9035	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4171	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8887	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4152	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4152	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8751	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4152	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4152	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4130

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cmin 8497

cneg 8498 # cap 8910

cdiv 9003

cn 9305

c2 9356

cn0 9565

cz 9646

cexp 10977

csqrt 11764

cabs 11765

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-rp 10057 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-cj 11609 df-re 11610 df-im 11611 df-rsqrt 11766 df-abs 11767

This theorem is used by: pellexlem3 16099

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