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Theorem pellexlem2 16006

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9296	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11116	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11911	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2244	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6091	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1032	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9297	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11087	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9297	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9297	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11087	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8336	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8627	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9329	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 11021	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11939	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6091	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11925	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8344	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9112	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9150	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11102	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9296	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11776	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11907	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8344	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11086	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9116	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6093	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11061	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8335	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9333	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8698	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8344	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8337	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5694	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6091	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2279	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11938	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6091	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11925	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11925	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8346	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8346	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9559	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9658	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11114	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8346	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8346	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8331	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9353	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8346	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8345	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8345	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9255	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11778	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8839	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8947	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11843	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8910	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1282	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11117	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9176	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11094	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8344	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10962	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9103	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6090	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8334	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8467	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8558	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8335	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8467	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9411	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5694	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8345	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8344	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11925	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8344	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11925	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8345	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11940	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9373	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11910	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8939	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11911	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8443	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9204	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 9024	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8741	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8435	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8877	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8440	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8741	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4147	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4147	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4125

cfv 5372 (class class class)co 6075

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

c1 8170

caddc 8172

cmul 8174

clt 8350

cle 8351

cmin 8487

cneg 8488 # cap 8899

cdiv 8992

cn 9283

c2 9334

cn0 9542

cz 9623

cexp 10953

csqrt 11740

cabs 11741

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-rp 10034 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743

This theorem is referenced by: pellexlem3 16007

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