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Theorem pellexlem2 15958

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1029	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9267	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11086	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11087	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11877	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2240	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6074	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9268	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11058	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9268	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11058	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8310	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8600	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9300	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 10992	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11905	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6074	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11891	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8318	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9083	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9121	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11073	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2240	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9267	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11742	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11873	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8318	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11057	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9087	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2278	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6076	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9081	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11032	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8309	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8671	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8318	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8311	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2267	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5679	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6074	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2275	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11904	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6074	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11891	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11891	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8320	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8320	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9530	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9629	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11085	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8320	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8320	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8305	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9324	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8320	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8319	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8319	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9226	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11744	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8812	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8920	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11809	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8883	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11088	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11065	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8318	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2240	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10933	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9074	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2267	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6073	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8308	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8440	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8309	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8440	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9382	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5679	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8319	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8318	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11891	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8318	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11891	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8319	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11906	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9344	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8912	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11877	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8416	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9175	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 8995	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4155	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8714	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8408	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8850	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4136	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8413	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4136	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4136	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4136	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4136	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

clt 8324

cle 8325

cmin 8460

cneg 8461 # cap 8872

cdiv 8963

cn 9254

c2 9305

cn0 9513

cz 9594

cexp 10924

csqrt 11706

cabs 11707

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-rp 10005 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709

This theorem is referenced by: pellexlem3 15959

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