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Theorem pellexlem2 16152

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9320	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11151	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11152	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11949	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2244	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6101	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1032	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9321	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 11123	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9321	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9321	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 11123	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8347	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8639	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9353	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 11057	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11977	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11963	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8355	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9125	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9163	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 11138	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9320	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9625	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9628	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11813	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11945	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 11122	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9129	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6103	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9123	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 11097	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8346	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9357	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8710	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8355	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8348	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5699	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2279	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11976	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6101	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11963	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11963	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8357	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8357	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9585	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9684	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11150	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8357	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8357	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8342	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9377	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8357	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8356	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8356	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9351	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9351	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9268	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9351	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11815	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8851	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8960	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11881	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8923	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1282	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11153	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9189	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 11130	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8355	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8311	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10998	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9116	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6100	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8345	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8570	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8346	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8479	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9435	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5699	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8356	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8355	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11963	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11963	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8356	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11978	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9397	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11948	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8952	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11949	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9217	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 9037	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4171	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8753	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8447	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8889	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4152	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8452	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4152	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8753	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4152	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4152	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4130

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8178

cr 8179

cc0 8180

c1 8181

caddc 8183

cmul 8185

clt 8361

cle 8362

cmin 8499

cneg 8500 # cap 8912

cdiv 9005

cn 9307

c2 9358

cn0 9568

cz 9649

cexp 10989

csqrt 11777

cabs 11778

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-n0 9569 df-z 9650 df-uz 9932 df-rp 10066 df-seqfrec 10899 df-exp 10990 df-cj 11622 df-re 11623 df-im 11624 df-rsqrt 11779 df-abs 11780

This theorem is used by: pellexlem3 16153

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