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Theorem pellexlem2 15772

Description: Lemma for pellex . Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem2	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pellexlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1029	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
2	1	nnred 9199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	resqcld 11005	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
4	2	sqge0d 11006	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	absidd 11788	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	eqcomd 2237	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
7	6	oveq2d 6044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	nncnd 9200	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10	9	sqcld 10977	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
11		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	nncnd 9200	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
13	1	nncnd 9200	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	sqcld 10977	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	12, 14	mulcld 8243	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 15	subcld 8533	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	1	nnap0d 9232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ #
18		sqap0 10912	. . . . . . . 8 # #
19	18	biimpar 297	. . . . . . 7 $/\$ # #
20	13, 17, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ #
21	16, 14, 20	absdivapd 11816	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	7, 21	eqtr4d 2267	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	oveq2d 6044	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
24	16	abscld 11802	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	recnd 8251	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 14, 20	divcanap2d 9015	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
27	10, 15, 14, 20	divsubdirapd 9053	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
28	9, 13, 17	sqdivapd 10992	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eqcomd 2237	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
30	11	nnred 9199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	11	nnnn0d 9498	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nn0ge0d 9501	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		remsqsqrt 11653	. . . . . . . . 9 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35	30, 32	resqrtcld 11784	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	recnd 8251	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	sqvald 10976	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	12, 14, 20	divcanap4d 9019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 39	oveq12d 6046	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	9, 13, 17	divclapd 9013	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42		subsq 10952	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 36, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 36	addcld 8242	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45	8	nnred 9199	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	45, 1	nndivred 9236	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 35	resubcld 8603	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 8251	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
49	44, 48	mulcomd 8244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	eqtrd 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 40, 50	3eqtrd 2268	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	fveq2d 5652	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6044	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54	23, 26, 53	3eqtr3d 2272	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
55	48, 44	absmuld 11815	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6044	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
57	48	abscld 11802	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58	44	abscld 11802	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	remulcld 8253	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	3, 59	remulcld 8253	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
61		2nn0 9462	. . . . . . . . 9
62	61	nn0negzi 9557	. . . . . . . 8
63	62	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
64	2, 17, 63	reexpclzapd 11004	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 58	remulcld 8253	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 65	remulcld 8253	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
67		1red 8237	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
68		2re 9256	. . . . . . 7
69	68	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 35	remulcld 8253	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	67, 70	readdcld 8252	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpr 110	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	46, 35	readdcld 8252	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
74	8	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	1	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76	45, 2, 74, 75	divgt0d 9158	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	11	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		sqrtgt0 11655	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	30, 77, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	46, 35, 76, 79	addgt0d 8744	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	73, 80	gt0ap0d 8852	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ #
82		absgt0ap 11720	. . . . . . . . 9 #
83	82	biimpa 296	. . . . . . . 8 $/\$ #
84	44, 81, 83	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
85		ltmul1 8815	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 64, 58, 84, 85	syl112anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
88	2, 17	sqgt0apd 11007	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		ltmul2 9079	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
90	59, 65, 3, 88, 89	syl112anc 1278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	87, 90	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
92	13, 17, 63	expclzapd 10984	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
93	58	recnd 8251	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
94		mulass 8206	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	94	eqcomd 2237	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
96	14, 92, 93, 95	syl3anc 1274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	61	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98		expnegap0 10853	. . . . . . . . . 10 $/\$ # $/\$
99	13, 17, 97, 98	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	14, 20	recidapd 9006	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6043	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
104	93	mullidd 8240	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
105	96, 103, 104	3eqtrd 2268	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
106	41, 36	addcomd 8373	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107		ppncan 8464	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
108	107	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109	36, 36, 41, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
110	36, 36	addcld 8242	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110, 48	addcomd 8373	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112		2times 9314	. . . . . . . . . . . 12
113	112	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . 11
114	36, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	111, 115	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
117	106, 109, 116	3eqtrd 2268	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	fveq2d 5652	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
119	47, 70	readdcld 8252	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	recnd 8251	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	abscld 11802	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	70	recnd 8251	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	abscld 11802	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
124	57, 123	readdcld 8252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	48, 122	abstrid 11817	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126		0le2 9276	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	30, 32	sqrtge0d 11787	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129	69, 35, 127, 128	mulge0d 8844	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
130	70, 129	absidd 11788	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
132	1	nnsqcld 11000	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnge1d 9229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		0lt1 8349	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		lerec 9107	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137	67, 135, 3, 88, 136	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	133, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139		1div1e1 8927	. . . . . . . . . . . . 13
140	138, 139	breqtrdi 4134	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141	99, 140	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
142	57, 64, 67, 72, 141	ltletrd 8646	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
143	57, 67, 142	ltled 8341	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
144	57, 67, 70, 143	leadd1dd 8782	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145	131, 144	eqbrtrd 4115	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
146	121, 124, 71, 125, 145	letrd 8346	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
147	118, 146	eqbrtrd 4115	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	105, 147	eqbrtrd 4115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	60, 66, 71, 91, 148	ltletrd 8646	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	56, 149	eqbrtrd 4115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
151	54, 150	eqbrtrd 4115	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8257

cle 8258

cmin 8393

cneg 8394 # cap 8804

cdiv 8895

cn 9186

c2 9237

cn0 9445

cz 9522

cexp 10844

csqrt 11617

cabs 11618

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263 df-sub 8395 df-neg 8396 df-reap 8798 df-ap 8805 df-div 8896 df-inn 9187 df-2 9245 df-3 9246 df-4 9247 df-n0 9446 df-z 9523 df-uz 9799 df-rp 9932 df-seqfrec 10754 df-exp 10845 df-cj 11463 df-re 11464 df-im 11465 df-rsqrt 11619 df-abs 11620

This theorem is referenced by: pellexlem3 15773

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