Theorem 2lgsoddprmlem1 14456

Description: Lemma 1 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5882	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
2	1	3ad2ant3 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (𝑁↑2) = (((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2))
3	2	oveq1d 5890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → ((𝑁↑2) − 1) = ((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1))
4	3	oveq1d 5890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8))
5		zcn 9258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		zcn 9258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 7973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
10		8cn 9005	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		8re 9004	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
12		8pos 9022	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 8
13	11, 12	gt0ap0ii 8585	. . . . . 6 ⊢ 8 # 0
14	10, 13	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℂ ∧ 8 # 0)
15	14	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (8 ∈ ℂ ∧ 8 # 0))
16		mulsubdivbinom2ap 10691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 # 0)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
17	6, 8, 9, 15, 16	syl31anc 1241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
18	17	3adant3 1017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((((8 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))
19	4, 18	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝐴) + 𝐵)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 1) / 8)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816   − cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  8c8 8976  ℤcz 9253  ↑cexp 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  14457