Theorem absreimsq 11648

Description: Square of the absolute value of a number that has been decomposed into real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absreimsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem absreimsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8130	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 8168	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 8162	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 8160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		absvalsq2 11635	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
10		crre 11438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
11	10	oveq1d 6036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
12		crim 11439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
13	12	oveq1d 6036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
14	11, 13	oveq12d 6039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	9, 14	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  ℂcc 8033  ℝcr 8034  ici 8037   + caddc 8038   · cmul 8040  2c2 9197  ↑cexp 10804  ℜcre 11421  ℑcim 11422  abscabs 11578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154  ax-caucvg 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-rp 9892  df-seqfrec 10714  df-exp 10805  df-cj 11423  df-re 11424  df-im 11425  df-rsqrt 11579  df-abs 11580

This theorem is referenced by:  absreim  11649