Theorem clwwlkng 16646

Description: The set of closed walks of a fixed length 𝑁 as words over the set of vertices in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem clwwlkng

Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
5		clwwlkex 16639	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (ClWWalks‘𝐺) ∈ V)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (ClWWalks‘𝐺) ∈ V)
7	4, 6	rabexd 4281	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V)
8		fveq2 5695	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
10		eqeq2 2248	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
12	9, 11	rabeqbidv 2816	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
13		df-clwwlkn 16645	. . 3 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
14	12, 13	ovmpoga 6218	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
15	1, 3, 7, 14	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℕ₀cn0 9563  ♯chash 11214  ClWWalkscclwwlk 16632   ClWWalksN cclwwlkn 16644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-vtx 16255  df-clwwlk 16633  df-clwwlkn 16645

This theorem is used by:  isclwwlkng  16647  clwwlkn0  16649