Theorem clwwlkn0 16563

Description: There is no closed walk of length 0 (i.e. a closed walk without any edge) represented by a word of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn0	⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Proof of Theorem clwwlkn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlkn 16559	. . . 4 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
2	1	elmpocl2 6276	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 655	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝐺 ∈ V)
5		0nn0 9557	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		clwwlkng 16560	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
7	5, 6	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
8		rabeq0 3552	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 0)
9		0re 8316	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9	ltnri 8408	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < 0
11		breq2 4129	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 0))
12	10, 11	mtbiri 686	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ 0 < (♯‘𝑤))
13		clwwlkgt0 16551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑤))
14	12, 13	nsyl3 635	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 0)
15	8, 14	mprgbir 2608	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅
16	7, 15	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
17	16	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
18	2, 4, 17	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
19	18	eqriv 2235	1 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169   < clt 8350  ℕ₀cn0 9542  ♯chash 11192  ClWWalkscclwwlk 16546   ClWWalksN cclwwlkn 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169  df-clwwlk 16547  df-clwwlkn 16559

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  16567  clwwlk0on0  16586