Theorem clwwlkn0 16632

Description: There is no closed walk of length 0 (i.e. a closed walk without any edge) represented by a word of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn0	⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Proof of Theorem clwwlkn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlkn 16628	. . . 4 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
2	1	elmpocl2 6280	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 655	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝐺 ∈ V)
5		0nn0 9561	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		clwwlkng 16629	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
7	5, 6	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
8		rabeq0 3552	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 0)
9		0re 8320	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9	ltnri 8412	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < 0
11		breq2 4132	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 0))
12	10, 11	mtbiri 686	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ 0 < (♯‘𝑤))
13		clwwlkgt0 16620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑤))
14	12, 13	nsyl3 635	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 0)
15	8, 14	mprgbir 2608	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅
16	7, 15	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
17	16	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
18	2, 4, 17	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
19	18	eqriv 2235	1 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  0cc0 8173   < clt 8354  ℕ₀cn0 9546  ♯chash 11197  ClWWalkscclwwlk 16615   ClWWalksN cclwwlkn 16627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-vtx 16238  df-clwwlk 16616  df-clwwlkn 16628

This theorem is used by:  clwwlknnn  16636  clwwlk0on0  16655