Theorem clwwlkn0 16349

Description: There is no closed walk of length 0 (i.e. a closed walk without any edge) represented by a word of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn0	⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Proof of Theorem clwwlkn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlkn 16345	. . . 4 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
2	1	elmpocl2 6229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
3		noel 3500	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝐺 ∈ V)
5		0nn0 9476	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		clwwlkng 16346	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0})
8		rabeq0 3526	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 0)
9		0re 8239	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9	ltnri 8331	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < 0
11		breq2 4097	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 0))
12	10, 11	mtbiri 682	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ 0 < (♯‘𝑤))
13		clwwlkgt0 16337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑤))
14	12, 13	nsyl3 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 0)
15	8, 14	mprgbir 2591	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅
16	7, 15	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
17	16	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
18	2, 4, 17	pm5.21nii 712	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
19	18	eqriv 2228	1 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  Vcvv 2803  ∅c0 3496   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8092   < clt 8273  ℕ₀cn0 9461  ♯chash 11100  ClWWalkscclwwlk 16332   ClWWalksN cclwwlkn 16344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-vtx 15955  df-clwwlk 16333  df-clwwlkn 16345

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  16353  clwwlk0on0  16372