Theorem mulgnngsum 13672

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnngsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnngsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9767	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋))
6		eqidd 2230	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑋 = 𝑋)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	fvmptd 5717	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = 𝑋)
11		elfznn 10258	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
12		fvconst2g 5857	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
13	8, 11, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
14	10, 13	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = ((ℕ × {𝑋})‘𝑖))
15		1zzd 9481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
16		nnz 9473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	15, 17	fzfigd 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19		mptexg 5868	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) ∈ V)
20	4, 19	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → 𝐹 ∈ V)
21	18, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ V)
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐹 ∈ V)
23		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
24		fvexg 5648	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝐹‘𝑎) ∈ V)
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑎) ∈ V)
26		nnex 9124	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
27	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		snexg 4268	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ∈ V)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → {𝑋} ∈ V)
30		xpexg 4833	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → (ℕ × {𝑋}) ∈ V)
31	26, 29, 30	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → (ℕ × {𝑋}) ∈ V)
32		fvexg 5648	. . . 4 ⊢ (((ℕ × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑎) ∈ V)
33	31, 23, 32	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑎) ∈ V)
34		mulgnngsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
35	34	basmex 13100	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
36	35	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
37		plusgslid 13153	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
38	37	slotex 13067	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
39	36, 38	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (+g‘𝐺) ∈ V)
40		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → 𝑏 ∈ V)
41		ovexg 6041	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V)
42	23, 39, 40, 41	mp3an2ani 1378	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V)
43	3, 14, 25, 33, 42	seq3fveq 10709	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
44		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	45, 4	fmptd 5791	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
47	34, 44, 36, 3, 46	gsumval2 13438	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
48		mulgnngsum.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
49		eqid 2229	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
50	34, 44, 48, 49	mulgnn 13671	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
51	43, 47, 50	3eqtr4rd 2273	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666   ↦ cmpt 4145   × cxp 4717  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  1c1 8008  ℕcn 9118  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ...cfz 10212  seqcseq 10677  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118   Σ_g cgsu 13298  ._gcmg 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-igsum 13300  df-minusg 13545  df-mulg 13665

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  13673