Theorem mulgnngsum 13507

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnngsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnngsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9692	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋))
6		eqidd 2207	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑋 = 𝑋)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	fvmptd 5667	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = 𝑋)
11		elfznn 10183	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
12		fvconst2g 5805	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
13	8, 11, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
14	10, 13	eqtr4d 2242	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = ((ℕ × {𝑋})‘𝑖))
15		1zzd 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
16		nnz 9398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	15, 17	fzfigd 10583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19		mptexg 5816	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) ∈ V)
20	4, 19	eqeltrid 2293	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → 𝐹 ∈ V)
21	18, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ V)
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐹 ∈ V)
23		vex 2776	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
24		fvexg 5602	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝐹‘𝑎) ∈ V)
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑎) ∈ V)
26		nnex 9049	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
27	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		snexg 4232	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ∈ V)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → {𝑋} ∈ V)
30		xpexg 4793	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → (ℕ × {𝑋}) ∈ V)
31	26, 29, 30	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → (ℕ × {𝑋}) ∈ V)
32		fvexg 5602	. . . 4 ⊢ (((ℕ × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑎) ∈ V)
33	31, 23, 32	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑎) ∈ V)
34		mulgnngsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
35	34	basmex 12935	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
36	35	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
37		plusgslid 12988	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
38	37	slotex 12903	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
39	36, 38	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (+g‘𝐺) ∈ V)
40		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → 𝑏 ∈ V)
41		ovexg 5985	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V)
42	23, 39, 40, 41	mp3an2ani 1357	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V)
43	3, 14, 25, 33, 42	seq3fveq 10631	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
44		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	45, 4	fmptd 5741	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
47	34, 44, 36, 3, 46	gsumval2 13273	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
48		mulgnngsum.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
49		eqid 2206	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
50	34, 44, 48, 49	mulgnn 13506	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
51	43, 47, 50	3eqtr4rd 2250	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3634   ↦ cmpt 4109   × cxp 4677  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Fincfn 6834  1c1 7933  ℕcn 9043  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ...cfz 10137  seqcseq 10599  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953   Σ_g cgsu 13133  ._gcmg 13499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-igsum 13135  df-minusg 13380  df-mulg 13500

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  13508