ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmininf GIF version

Theorem ltmininf 11227
Description: Two ways of saying a number is less than the minimum of two others. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
ltmininf ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))

Proof of Theorem ltmininf
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
21renegcld 8327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
3 simp3 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
43renegcld 8327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
5 simp1 997 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
65renegcld 8327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
7 maxltsup 11211 . . 3 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴 ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1238 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴 ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
9 minmax 11222 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ))
109breq2d 4012 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ 𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < )))
11103adant1 1015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ 𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < )))
12 maxcl 11203 . . . . 5 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
132, 4, 12syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14 ltnegcon2 8411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
155, 13, 14syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
1611, 15bitrd 188 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
175, 1ltnegd 8470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
185, 3ltnegd 8470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
1917, 18anbi12d 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶) ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
208, 16, 193bitr4d 220 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148  {cpr 3592   class class class wbr 4000  supcsup 6975  infcinf 6976  cr 7801   < clt 7982  -cneg 8119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  rpmincl  11230  mul0inf  11233  reccn2ap  11305  addcncntoplem  13718  mulcncflem  13757  suplociccreex  13769  dveflem  13854
  Copyright terms: Public domain W3C validator