Theorem ltmininf 11928

Description: Two ways of saying a number is less than the minimum of two others. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ltmininf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐶)))

Proof of Theorem ltmininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8658	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8658	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
5		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 8658	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
7		maxltsup 11911	. . 3 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴 ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴 ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
9		minmax 11923	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ))
10	9	breq2d 4123	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ 𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < )))
11	10	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ 𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < )))
12		maxcl 11903	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13	2, 4, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14		ltnegcon2 8743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
15	5, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < -sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
16	11, 15	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ sup({-𝐵, -𝐶}, ℝ, < ) < -𝐴))
17	5, 1	ltnegd 8802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
18	5, 3	ltnegd 8802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
19	17, 18	anbi12d 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐶) ↔ (-𝐵 < -𝐴 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
20	8, 16, 19	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205  {cpr 3692   class class class wbr 4111  supcsup 7275  infcinf 7276  ℝcr 8131   < clt 8313  -cneg 8450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-rp 9993  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692

This theorem is referenced by:  rpmincl  11931  mul0inf  11934  reccn2ap  12006  addcncntoplem  15475  mulcncflem  15521  suplociccreex  15538  dveflem  15640