Theorem wlklenvclwlk 16314

Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Revised by JJ, 14-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlk	⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4094	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlkcl 16273	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlklenvp1 16278	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4	2, 3	jca 306	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
5	1, 4	sylbir 135	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
6		0z 9551	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		fvexg 5667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊‘0) ∈ V)
8	6, 7	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ V)
9		ccatws1leng 11277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘0) ∈ V) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
10	8, 9	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	10	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
12		eqcom 2233	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
13	11, 12	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
15		nn0cn 9471	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
17		lencl 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
20		1cnd 8255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
21	16, 19, 20	addcan2d 8423	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
22	21	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
23	14, 22	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
24	23	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
25	5, 24	syl5 32	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ♯chash 11100  Word cword 11179   ++ cconcat 11233  ⟨“cs1 11258  Vtxcvtx 15953  Walkscwlks 16258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-concat 11234  df-s1 11259  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-edgf 15946  df-vtx 15955  df-iedg 15956  df-wlks 16259

This theorem is referenced by: (None)