Theorem wlklenvclwlk 16084

Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Revised by JJ, 14-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlk	⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4084	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlkcl 16044	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlklenvp1 16049	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4	2, 3	jca 306	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
5	1, 4	sylbir 135	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
6		0z 9457	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		fvexg 5646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊‘0) ∈ V)
8	6, 7	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ V)
9		ccatws1leng 11167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘0) ∈ V) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
10	8, 9	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	10	eqeq1d 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
12		eqcom 2231	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
13	11, 12	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
15		nn0cn 9379	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
17		lencl 11075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
20		1cnd 8162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
21	16, 19, 20	addcan2d 8331	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
22	21	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
23	14, 22	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
24	23	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
25	5, 24	syl5 32	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℂcc 7997  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002  ℕ₀cn0 9369  ℤcz 9446  ♯chash 10997  Word cword 11071   ++ cconcat 11125  ⟨“cs1 11148  Vtxcvtx 15813  Walkscwlks 16030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-concat 11126  df-s1 11149  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-wlks 16031

This theorem is referenced by: (None)