Theorem zncrng2 13956

Description: Making a commutative ring as a quotient of ℤ and 𝑛ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))

Assertion

Ref	Expression
zncrng2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 13916	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		znval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
3	2	znlidl 13955	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
4		znval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
5		eqid 2189	. . 3 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
6	4, 5	quscrng 13872	. 2 ⊢ ((ℤring ∈ CRing ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → 𝑈 ∈ CRing)
7	1, 3, 6	sylancr 414	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑈 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {csn 3610  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℤcz 9288   /_s cqus 12788   ~_QG cqg 13133  CRingccrg 13376  LIdealclidl 13808  RSpancrsp 13809  ℤ_ringczring 13914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-addf 7968  ax-mulf 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-tpos 6274  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-z 9289  df-dec 9420  df-uz 9564  df-fz 10045  df-cj 10892  df-struct 12525  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-starv 12615  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-ip 12618  df-0g 12774  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-sbg 12973  df-subg 13134  df-nsg 13135  df-eqg 13136  df-cmn 13250  df-abl 13251  df-mgp 13300  df-rng 13312  df-ur 13339  df-srg 13343  df-ring 13377  df-cring 13378  df-oppr 13443  df-subrg 13591  df-lmod 13630  df-lssm 13694  df-lsp 13728  df-sra 13776  df-rgmod 13777  df-lidl 13810  df-rsp 13811  df-2idl 13841  df-icnfld 13890  df-zring 13915

This theorem is referenced by:  zncrng  13965