Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1fzopredsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1fzopredsuc 42928
Description: Join 0 and a successor to the beginning and the end of an open integer interval starting at 1. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
1fzopredsuc (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem 1fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 12097 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
2 fzopredsuc 42927 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑁) = (({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
3 0p1e1 11569 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
43oveq1i 6986 . . . . 5 ((0 + 1)..^𝑁) = (1..^𝑁)
54uneq2i 4026 . . . 4 ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑁)) = ({0} ∪ (1..^𝑁))
65uneq1i 4025 . . 3 (({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})
72, 6syl6eq 2831 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
81, 7sylbi 209 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  cun 3828  {csn 4441  cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  0cn0 11707  cuz 12058  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850
This theorem is referenced by:  el1fzopredsuc  42929
  Copyright terms: Public domain W3C validator