Theorem elnn0uz 12871

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12868	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2825	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  0cc0 11112  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  13596  4fvwrd4  13625  2ffzeq  13626  elfzo0  13677  elfzonn0  13681  elfzom1elp1fzo  13703  cardfz  13939  nn0sinds  13958  hashfz0  14396  resunimafz0  14408  ffz0iswrd  14495  swrdccatin2  14683  pfxccatin12lem2  14685  pfxccatin12lem3  14686  cshwidxmod  14757  scshwfzeqfzo  14781  bcxmas  15785  mertenslem2  15835  risefacp1  15977  fallfacp1  15978  pwp1fsum  16338  bitsmod  16381  4sqlem19  16900  gsmsymgrfixlem1  19336  gsmsymgreqlem2  19340  efgsrel  19643  gsummptfzsplit  19841  gsummptfzsplitl  19842  pmatcollpw3fi  22507  cpmadugsumlemF  22598  wlkn0  29133  wlkp1lem8  29192  wlkp1  29193  spthonepeq  29264  crctcshwlkn0lem5  29323  crctcshwlkn0lem7  29325  wwlksnext  29402  clwwlkccatlem  29497  clwlkclwwlklem2a1  29500  clwlkclwwlkf1lem3  29514  clwwlkinwwlk  29548  clwwlkel  29554  clwwlkwwlksb  29562  wwlksext2clwwlk  29565  eupthp1  29724  sseqfn  33675  sseqf  33677  bccolsum  35001  knoppcnlem7  35678  knoppcnlem11  35682  knoppndvlem15  35705  frlmvscadiccat  41386  fltnltalem  41706  stoweidlem34  45049  1fzopredsuc  46331  subsubelfzo0  46333  iccpartgt  46394  iccpartleu  46395  iccpartgel  46396  fmtnorec2lem  46509  altgsumbcALT  47118  nn0sumshdiglemA  47393  nn0sumshdiglemB  47394