MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn0uz 12271
Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnn0uz (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))

Proof of Theorem elnn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12268 . 2 0 = (ℤ‘0)
21eleq2i 2905 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wcel 2114  cfv 6334  0cc0 10526  0cn0 11885  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12993  4fvwrd4  13022  2ffzeq  13023  elfzo0  13073  elfzonn0  13077  elfzom1elp1fzo  13099  cardfz  13333  nn0sinds  13352  hashfz0  13789  resunimafz0  13799  ffz0iswrd  13884  swrdccatin2  14082  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12lem3  14085  cshwidxmod  14156  scshwfzeqfzo  14179  bcxmas  15181  mertenslem2  15232  risefacp1  15374  fallfacp1  15375  pwp1fsum  15731  bitsmod  15774  4sqlem19  16288  gsmsymgrfixlem1  18546  gsmsymgreqlem2  18550  efgsrel  18851  gsummptfzsplit  19043  gsummptfzsplitl  19044  pmatcollpw3fi  21388  cpmadugsumlemF  21479  wlkn0  27408  wlkp1lem8  27468  wlkp1  27469  spthonepeq  27539  crctcshwlkn0lem5  27598  crctcshwlkn0lem7  27600  wwlksnext  27677  clwwlkccatlem  27772  clwlkclwwlklem2a1  27775  clwlkclwwlkf1lem3  27789  clwwlkinwwlk  27823  clwwlkel  27829  clwwlkwwlksb  27837  wwlksext2clwwlk  27840  eupthp1  27999  sseqfn  31722  sseqf  31724  bccolsum  33045  knoppcnlem7  33912  knoppcnlem11  33916  knoppndvlem15  33939  frlmvscadiccat  39386  fltnltalem  39548  stoweidlem34  42615  1fzopredsuc  43820  subsubelfzo0  43822  iccpartgt  43883  iccpartleu  43884  iccpartgel  43885  fmtnorec2lem  43998  altgsumbcALT  44694  nn0sumshdiglemA  44972  nn0sumshdiglemB  44973
  Copyright terms: Public domain W3C validator