Theorem elnn0uz 12898

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12895	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2855	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13630  elfz2nn0  13642  4fvwrd4  13672  2ffzeq  13673  elfzo0  13725  elfzonn0  13732  elfzom1elp1fzo  13757  cardfz  14002  nn0sinds  14021  hashfz0  14465  resunimafz0  14478  ffz0iswrd  14574  swrdccatin2  14762  pfxccatin12lem2  14764  pfxccatin12lem3  14765  cshwidxmod  14836  scshwfzeqfzo  14859  bcxmas  15885  mertenslem2  15935  risefacp1  16078  fallfacp1  16079  pwp1fsum  16444  bitsmod  16489  4sqlem19  17018  gsmsymgrfixlem1  19492  gsmsymgreqlem2  19496  efgsrel  19799  gsummptfzsplit  19997  gsummptfzsplitl  19998  pmatcollpw3fi  22942  cpmadugsumlemF  23033  wlkn0  29970  wlkp1lem8  30028  wlkp1  30029  spthonepeq  30101  cyclnumvtx  30149  crctcshwlkn0lem5  30163  crctcshwlkn0lem7  30165  wwlksnext  30242  clwwlkccatlem  30340  clwlkclwwlklem2a1  30343  clwlkclwwlkf1lem3  30357  clwwlkinwwlk  30391  clwwlkel  30397  clwwlkwwlksb  30405  wwlksext2clwwlk  30408  eupthp1  30567  sseqfn  34780  sseqf  34782  bccolsum  36231  knoppcnlem7  37088  knoppcnlem11  37092  knoppndvlem15  37115  frlmvscadiccat  43280  fltnltalem  43394  stoweidlem34  46748  1fzopredsuc  48062  subsubelfzo0  48064  iccpartgt  48176  iccpartleu  48177  iccpartgel  48178  fmtnorec2lem  48294  cycl3grtri  48712  gpgprismgr4cycllem7  48866  altgsumbcALT  49133  nn0sumshdiglemA  49399  nn0sumshdiglemB  49400