Theorem elnn0uz 12897

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12894	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2826	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  0cc0 11129  ℕ₀cn0 12501  ℤ_≥cuz 12852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13623  elfz2nn0  13635  4fvwrd4  13665  2ffzeq  13666  elfzo0  13717  elfzonn0  13724  elfzom1elp1fzo  13748  cardfz  13988  nn0sinds  14007  hashfz0  14450  resunimafz0  14463  ffz0iswrd  14559  swrdccatin2  14747  pfxccatin12lem2  14749  pfxccatin12lem3  14750  cshwidxmod  14821  scshwfzeqfzo  14845  bcxmas  15851  mertenslem2  15901  risefacp1  16045  fallfacp1  16046  pwp1fsum  16410  bitsmod  16455  4sqlem19  16983  gsmsymgrfixlem1  19408  gsmsymgreqlem2  19412  efgsrel  19715  gsummptfzsplit  19913  gsummptfzsplitl  19914  pmatcollpw3fi  22723  cpmadugsumlemF  22814  wlkn0  29601  wlkp1lem8  29660  wlkp1  29661  spthonepeq  29734  cyclnumvtx  29782  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0lem7  29798  wwlksnext  29875  clwwlkccatlem  29970  clwlkclwwlklem2a1  29973  clwlkclwwlkf1lem3  29987  clwwlkinwwlk  30021  clwwlkel  30027  clwwlkwwlksb  30035  wwlksext2clwwlk  30038  eupthp1  30197  sseqfn  34422  sseqf  34424  bccolsum  35756  knoppcnlem7  36517  knoppcnlem11  36521  knoppndvlem15  36544  frlmvscadiccat  42529  fltnltalem  42685  stoweidlem34  46063  1fzopredsuc  47353  subsubelfzo0  47355  iccpartgt  47441  iccpartleu  47442  iccpartgel  47443  fmtnorec2lem  47556  cycl3grtri  47959  gpgprismgr4cycllem7  48100  altgsumbcALT  48328  nn0sumshdiglemA  48599  nn0sumshdiglemB  48600