Theorem elnn0uz 12031

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12028	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2851	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  0cc0 10272  ℕ₀cn0 11642  ℤ_≥cuz 11992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12749  4fvwrd4  12778  2ffzeq  12779  elfzo0  12828  elfzonn0  12832  elfzom1elp1fzo  12854  cardfz  13088  nn0sinds  13107  hashfz0  13533  resunimafz0  13543  ffz0iswrd  13629  swrdccatin2  13856  pfxccatin12lem2  13858  swrdccatin12lem2OLD  13859  swrdccatin12lem3  13860  pfxccatin12  13861  swrdccatin12OLD  13862  cshwidxmod  13954  scshwfzeqfzo  13977  bcxmas  14971  mertenslem2  15020  risefacp1  15162  fallfacp1  15163  pwp1fsum  15521  bitsmod  15564  4sqlem19  16071  gsmsymgrfixlem1  18230  gsmsymgreqlem2  18234  efgsrel  18531  gsummptfzsplit  18718  gsummptfzsplitl  18719  pmatcollpw3fi  20997  cpmadugsumlemF  21088  wlkn0  26968  wlkp1lem8  27031  wlkp1  27032  spthonepeq  27104  crctcshwlkn0lem5  27163  crctcshwlkn0lem7  27165  wwlksnext  27254  clwwlkccatlem  27369  clwlkclwwlklem2a1  27372  clwlkclwwlkf1lem3  27389  clwlkclwwlkf1lem3OLD  27390  clwwlkinwwlk  27429  clwwlkinwwlkOLD  27430  clwwlkel  27437  clwwlkwwlksb  27451  wwlksext2clwwlk  27454  eupthp1  27620  sseqfn  31051  sseqf  31053  bccolsum  32219  knoppcnlem7  33072  knoppcnlem11  33076  knoppndvlem15  33099  stoweidlem34  41178  1fzopredsuc  42366  subsubelfzo0  42368  iccpartgt  42395  iccpartleu  42396  iccpartgel  42397  fmtnorec2lem  42475  altgsumbcALT  43146  nn0sumshdiglemA  43428  nn0sumshdiglemB  43429