Theorem elnn0uz 12838

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12835	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2820	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13567  elfz2nn0  13579  4fvwrd4  13609  2ffzeq  13610  elfzo0  13661  elfzonn0  13668  elfzom1elp1fzo  13693  cardfz  13935  nn0sinds  13954  hashfz0  14397  resunimafz0  14410  ffz0iswrd  14506  swrdccatin2  14694  pfxccatin12lem2  14696  pfxccatin12lem3  14697  cshwidxmod  14768  scshwfzeqfzo  14792  bcxmas  15801  mertenslem2  15851  risefacp1  15995  fallfacp1  15996  pwp1fsum  16361  bitsmod  16406  4sqlem19  16934  gsmsymgrfixlem1  19357  gsmsymgreqlem2  19361  efgsrel  19664  gsummptfzsplit  19862  gsummptfzsplitl  19863  pmatcollpw3fi  22672  cpmadugsumlemF  22763  wlkn0  29549  wlkp1lem8  29608  wlkp1  29609  spthonepeq  29682  cyclnumvtx  29730  crctcshwlkn0lem5  29744  crctcshwlkn0lem7  29746  wwlksnext  29823  clwwlkccatlem  29918  clwlkclwwlklem2a1  29921  clwlkclwwlkf1lem3  29935  clwwlkinwwlk  29969  clwwlkel  29975  clwwlkwwlksb  29983  wwlksext2clwwlk  29986  eupthp1  30145  sseqfn  34381  sseqf  34383  bccolsum  35726  knoppcnlem7  36487  knoppcnlem11  36491  knoppndvlem15  36514  frlmvscadiccat  42494  fltnltalem  42650  stoweidlem34  46032  1fzopredsuc  47325  subsubelfzo0  47327  iccpartgt  47428  iccpartleu  47429  iccpartgel  47430  fmtnorec2lem  47543  cycl3grtri  47946  gpgprismgr4cycllem7  48091  altgsumbcALT  48341  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609