Theorem elnn0uz 12929

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12926	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  fz0dif1  13662  elfz2nn0  13674  4fvwrd4  13704  2ffzeq  13705  elfzo0  13757  elfzonn0  13764  elfzom1elp1fzo  13789  cardfz  14035  nn0sinds  14054  hashfz0  14498  resunimafz0  14511  ffz0iswrd  14607  swrdccatin2  14799  pfxccatin12lem2  14801  pfxccatin12lem3  14802  cshwidxmod  14875  scshwfzeqfzo  14898  bcxmas  15925  mertenslem2  15975  risefacp1  16116  fallfacp1  16117  pwp1fsum  16482  bitsmod  16527  4sqlem19  17056  gsmsymgrfixlem1  19555  gsmsymgreqlem2  19559  efgsrel  19862  gsummptfzsplit  20060  gsummptfzsplitl  20061  pmatcollpw3fi  23011  cpmadugsumlemF  23102  wlkn0  30081  wlkp1lem8  30139  wlkp1  30140  spthonepeq  30218  cyclnumvtx  30268  crctcshwlkn0lem5  30283  crctcshwlkn0lem7  30285  wwlksnext  30362  clwwlkccatlem  30460  clwlkclwwlklem2a1  30463  clwlkclwwlkf1lem3  30477  clwwlkinwwlk  30511  clwwlkel  30517  clwwlkwwlksb  30525  wwlksext2clwwlk  30528  eupthp1  30697  sseqfn  34902  sseqf  34904  bccolsum  36319  knoppcnlem7  37197  knoppcnlem11  37201  knoppndvlem15  37224  frlmvscadiccat  43395  fltnltalem  43509  stoweidlem34  46863  chnerlem1  47711  chnerlem2  47712  1fzopredsuc  48214  subsubelfzo0  48216  iccpartgt  48328  iccpartleu  48329  iccpartgel  48330  fmtnorec2lem  48446  cycl3grtri  48864  gpgprismgr4cycllem7  49018  altgsumbcALT  49284  nn0sumshdiglemA  49550  nn0sumshdiglemB  49551