Theorem elnn0uz 12928

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12925	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888

This theorem is used by:  fz0dif1  13661  elfz2nn0  13673  4fvwrd4  13703  2ffzeq  13704  elfzo0  13756  elfzonn0  13763  elfzom1elp1fzo  13788  cardfz  14034  nn0sinds  14053  hashfz0  14497  resunimafz0  14510  ffz0iswrd  14606  swrdccatin2  14798  pfxccatin12lem2  14800  pfxccatin12lem3  14801  cshwidxmod  14874  scshwfzeqfzo  14897  bcxmas  15924  mertenslem2  15974  risefacp1  16115  fallfacp1  16116  pwp1fsum  16481  bitsmod  16526  4sqlem19  17055  gsmsymgrfixlem1  19554  gsmsymgreqlem2  19558  efgsrel  19861  gsummptfzsplit  20059  gsummptfzsplitl  20060  pmatcollpw3fi  23010  cpmadugsumlemF  23101  wlkn0  30080  wlkp1lem8  30138  wlkp1  30139  spthonepeq  30217  cyclnumvtx  30267  crctcshwlkn0lem5  30282  crctcshwlkn0lem7  30284  wwlksnext  30361  clwwlkccatlem  30459  clwlkclwwlklem2a1  30462  clwlkclwwlkf1lem3  30476  clwwlkinwwlk  30510  clwwlkel  30516  clwwlkwwlksb  30524  wwlksext2clwwlk  30527  eupthp1  30696  sseqfn  34901  sseqf  34903  bccolsum  36318  knoppcnlem7  37196  knoppcnlem11  37200  knoppndvlem15  37223  frlmvscadiccat  43394  fltnltalem  43508  stoweidlem34  46862  chnerlem1  47710  chnerlem2  47711  1fzopredsuc  48213  subsubelfzo0  48215  iccpartgt  48327  iccpartleu  48328  iccpartgel  48329  fmtnorec2lem  48445  cycl3grtri  48863  gpgprismgr4cycllem7  49017  altgsumbcALT  49283  nn0sumshdiglemA  49549  nn0sumshdiglemB  49550