Theorem elnn0uz 12923

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12920	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2833	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13646  elfz2nn0  13658  4fvwrd4  13688  2ffzeq  13689  elfzo0  13740  elfzonn0  13747  elfzom1elp1fzo  13771  cardfz  14011  nn0sinds  14030  hashfz0  14471  resunimafz0  14484  ffz0iswrd  14579  swrdccatin2  14767  pfxccatin12lem2  14769  pfxccatin12lem3  14770  cshwidxmod  14841  scshwfzeqfzo  14865  bcxmas  15871  mertenslem2  15921  risefacp1  16065  fallfacp1  16066  pwp1fsum  16428  bitsmod  16473  4sqlem19  17001  gsmsymgrfixlem1  19445  gsmsymgreqlem2  19449  efgsrel  19752  gsummptfzsplit  19950  gsummptfzsplitl  19951  pmatcollpw3fi  22791  cpmadugsumlemF  22882  wlkn0  29639  wlkp1lem8  29698  wlkp1  29699  spthonepeq  29772  cyclnumvtx  29820  crctcshwlkn0lem5  29834  crctcshwlkn0lem7  29836  wwlksnext  29913  clwwlkccatlem  30008  clwlkclwwlklem2a1  30011  clwlkclwwlkf1lem3  30025  clwwlkinwwlk  30059  clwwlkel  30065  clwwlkwwlksb  30073  wwlksext2clwwlk  30076  eupthp1  30235  sseqfn  34392  sseqf  34394  bccolsum  35739  knoppcnlem7  36500  knoppcnlem11  36504  knoppndvlem15  36527  frlmvscadiccat  42516  fltnltalem  42672  stoweidlem34  46049  1fzopredsuc  47336  subsubelfzo0  47338  iccpartgt  47414  iccpartleu  47415  iccpartgel  47416  fmtnorec2lem  47529  cycl3grtri  47914  altgsumbcALT  48269  nn0sumshdiglemA  48540  nn0sumshdiglemB  48541