Theorem elnn0uz 12948

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12945	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2836	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  13675  4fvwrd4  13705  2ffzeq  13706  elfzo0  13757  elfzonn0  13761  elfzom1elp1fzo  13783  cardfz  14021  nn0sinds  14040  hashfz0  14481  resunimafz0  14494  ffz0iswrd  14589  swrdccatin2  14777  pfxccatin12lem2  14779  pfxccatin12lem3  14780  cshwidxmod  14851  scshwfzeqfzo  14875  bcxmas  15883  mertenslem2  15933  risefacp1  16077  fallfacp1  16078  pwp1fsum  16439  bitsmod  16482  4sqlem19  17010  gsmsymgrfixlem1  19469  gsmsymgreqlem2  19473  efgsrel  19776  gsummptfzsplit  19974  gsummptfzsplitl  19975  pmatcollpw3fi  22812  cpmadugsumlemF  22903  wlkn0  29657  wlkp1lem8  29716  wlkp1  29717  spthonepeq  29788  crctcshwlkn0lem5  29847  crctcshwlkn0lem7  29849  wwlksnext  29926  clwwlkccatlem  30021  clwlkclwwlklem2a1  30024  clwlkclwwlkf1lem3  30038  clwwlkinwwlk  30072  clwwlkel  30078  clwwlkwwlksb  30086  wwlksext2clwwlk  30089  eupthp1  30248  sseqfn  34355  sseqf  34357  bccolsum  35701  knoppcnlem7  36465  knoppcnlem11  36469  knoppndvlem15  36492  frlmvscadiccat  42461  fltnltalem  42617  stoweidlem34  45955  1fzopredsuc  47239  subsubelfzo0  47241  iccpartgt  47301  iccpartleu  47302  iccpartgel  47303  fmtnorec2lem  47416  altgsumbcALT  48078  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354