Theorem elnn0uz 13006

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13003	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2853	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  0cc0 11200  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  fz0dif1  13740  elfz2nn0  13752  4fvwrd4  13782  2ffzeq  13783  elfzo0  13835  elfzonn0  13842  elfzom1elp1fzo  13867  cardfz  14113  nn0sinds  14132  hashfz0  14577  resunimafz0  14590  ffz0iswrd  14686  swrdccatin2  14878  pfxccatin12lem2  14880  pfxccatin12lem3  14881  cshwidxmod  14954  scshwfzeqfzo  14977  bcxmas  16004  mertenslem2  16054  risefacp1  16195  fallfacp1  16196  pwp1fsum  16561  bitsmod  16606  4sqlem19  17141  gsmsymgrfixlem1  19641  gsmsymgreqlem2  19645  efgsrel  19948  gsummptfzsplit  20146  gsummptfzsplitl  20147  pmatcollpw3fi  23103  cpmadugsumlemF  23194  wlkn0  30201  wlkp1lem8  30259  wlkp1  30260  spthonepeq  30338  cyclnumvtx  30388  crctcshwlkn0lem5  30403  crctcshwlkn0lem7  30405  wwlksnext  30482  clwwlkccatlem  30580  clwlkclwwlklem2a1  30583  clwlkclwwlkf1lem3  30597  clwwlkinwwlk  30631  clwwlkel  30637  clwwlkwwlksb  30645  wwlksext2clwwlk  30648  eupthp1  30817  sseqfn  35022  sseqf  35024  bccolsum  36504  knoppcnlem7  37365  knoppcnlem11  37369  knoppndvlem15  37392  frlmvscadiccat  43573  fltnltalem  43673  stoweidlem34  47043  chnerlem1  47891  chnerlem2  47892  1fzopredsuc  48394  subsubelfzo0  48396  iccpartgt  48508  iccpartleu  48509  iccpartgel  48510  fmtnorec2lem  48626  cycl3grtri  49044  gpgprismgr4cycllem7  49198  altgsumbcALT  49464  nn0sumshdiglemA  49730  nn0sumshdiglemB  49731