Theorem elnn0uz 12829

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12826	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2828	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13560  elfz2nn0  13572  4fvwrd4  13602  2ffzeq  13603  elfzo0  13655  elfzonn0  13662  elfzom1elp1fzo  13687  cardfz  13932  nn0sinds  13951  hashfz0  14394  resunimafz0  14407  ffz0iswrd  14503  swrdccatin2  14691  pfxccatin12lem2  14693  pfxccatin12lem3  14694  cshwidxmod  14765  scshwfzeqfzo  14788  bcxmas  15800  mertenslem2  15850  risefacp1  15994  fallfacp1  15995  pwp1fsum  16360  bitsmod  16405  4sqlem19  16934  gsmsymgrfixlem1  19402  gsmsymgreqlem2  19406  efgsrel  19709  gsummptfzsplit  19907  gsummptfzsplitl  19908  pmatcollpw3fi  22750  cpmadugsumlemF  22841  wlkn0  29689  wlkp1lem8  29747  wlkp1  29748  spthonepeq  29820  cyclnumvtx  29868  crctcshwlkn0lem5  29882  crctcshwlkn0lem7  29884  wwlksnext  29961  clwwlkccatlem  30059  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlkf1lem3  30076  clwwlkinwwlk  30110  clwwlkel  30116  clwwlkwwlksb  30124  wwlksext2clwwlk  30127  eupthp1  30286  sseqfn  34534  sseqf  34536  bccolsum  35921  knoppcnlem7  36759  knoppcnlem11  36763  knoppndvlem15  36786  frlmvscadiccat  42951  fltnltalem  43095  stoweidlem34  46462  1fzopredsuc  47773  subsubelfzo0  47775  iccpartgt  47887  iccpartleu  47888  iccpartgel  47889  fmtnorec2lem  48005  cycl3grtri  48423  gpgprismgr4cycllem7  48577  altgsumbcALT  48829  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096