Theorem elnn0uz 12804

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12801	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2829	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13534  elfz2nn0  13546  4fvwrd4  13576  2ffzeq  13577  elfzo0  13628  elfzonn0  13635  elfzom1elp1fzo  13660  cardfz  13905  nn0sinds  13924  hashfz0  14367  resunimafz0  14380  ffz0iswrd  14476  swrdccatin2  14664  pfxccatin12lem2  14666  pfxccatin12lem3  14667  cshwidxmod  14738  scshwfzeqfzo  14761  bcxmas  15770  mertenslem2  15820  risefacp1  15964  fallfacp1  15965  pwp1fsum  16330  bitsmod  16375  4sqlem19  16903  gsmsymgrfixlem1  19368  gsmsymgreqlem2  19372  efgsrel  19675  gsummptfzsplit  19873  gsummptfzsplitl  19874  pmatcollpw3fi  22741  cpmadugsumlemF  22832  wlkn0  29706  wlkp1lem8  29764  wlkp1  29765  spthonepeq  29837  cyclnumvtx  29885  crctcshwlkn0lem5  29899  crctcshwlkn0lem7  29901  wwlksnext  29978  clwwlkccatlem  30076  clwlkclwwlklem2a1  30079  clwlkclwwlkf1lem3  30093  clwwlkinwwlk  30127  clwwlkel  30133  clwwlkwwlksb  30141  wwlksext2clwwlk  30144  eupthp1  30303  sseqfn  34568  sseqf  34570  bccolsum  35955  knoppcnlem7  36721  knoppcnlem11  36725  knoppndvlem15  36748  frlmvscadiccat  42876  fltnltalem  43020  stoweidlem34  46392  1fzopredsuc  47684  subsubelfzo0  47686  iccpartgt  47787  iccpartleu  47788  iccpartgel  47789  fmtnorec2lem  47902  cycl3grtri  48307  gpgprismgr4cycllem7  48461  altgsumbcALT  48713  nn0sumshdiglemA  48979  nn0sumshdiglemB  48980