Theorem elnn0uz 12780

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12777	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2820	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  0cc0 11009  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13509  elfz2nn0  13521  4fvwrd4  13551  2ffzeq  13552  elfzo0  13603  elfzonn0  13610  elfzom1elp1fzo  13635  cardfz  13877  nn0sinds  13896  hashfz0  14339  resunimafz0  14352  ffz0iswrd  14448  swrdccatin2  14635  pfxccatin12lem2  14637  pfxccatin12lem3  14638  cshwidxmod  14709  scshwfzeqfzo  14733  bcxmas  15742  mertenslem2  15792  risefacp1  15936  fallfacp1  15937  pwp1fsum  16302  bitsmod  16347  4sqlem19  16875  gsmsymgrfixlem1  19306  gsmsymgreqlem2  19310  efgsrel  19613  gsummptfzsplit  19811  gsummptfzsplitl  19812  pmatcollpw3fi  22670  cpmadugsumlemF  22761  wlkn0  29566  wlkp1lem8  29624  wlkp1  29625  spthonepeq  29697  cyclnumvtx  29745  crctcshwlkn0lem5  29759  crctcshwlkn0lem7  29761  wwlksnext  29838  clwwlkccatlem  29933  clwlkclwwlklem2a1  29936  clwlkclwwlkf1lem3  29950  clwwlkinwwlk  29984  clwwlkel  29990  clwwlkwwlksb  29998  wwlksext2clwwlk  30001  eupthp1  30160  sseqfn  34358  sseqf  34360  bccolsum  35712  knoppcnlem7  36473  knoppcnlem11  36477  knoppndvlem15  36500  frlmvscadiccat  42479  fltnltalem  42635  stoweidlem34  46015  1fzopredsuc  47308  subsubelfzo0  47310  iccpartgt  47411  iccpartleu  47412  iccpartgel  47413  fmtnorec2lem  47526  cycl3grtri  47931  gpgprismgr4cycllem7  48085  altgsumbcALT  48337  nn0sumshdiglemA  48604  nn0sumshdiglemB  48605