Theorem elnn0uz 12552

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12549	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2830	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  13276  4fvwrd4  13305  2ffzeq  13306  elfzo0  13356  elfzonn0  13360  elfzom1elp1fzo  13382  cardfz  13618  nn0sinds  13637  hashfz0  14075  resunimafz0  14085  ffz0iswrd  14172  swrdccatin2  14370  pfxccatin12lem2  14372  pfxccatin12lem3  14373  cshwidxmod  14444  scshwfzeqfzo  14467  bcxmas  15475  mertenslem2  15525  risefacp1  15667  fallfacp1  15668  pwp1fsum  16028  bitsmod  16071  4sqlem19  16592  gsmsymgrfixlem1  18950  gsmsymgreqlem2  18954  efgsrel  19255  gsummptfzsplit  19448  gsummptfzsplitl  19449  pmatcollpw3fi  21842  cpmadugsumlemF  21933  wlkn0  27890  wlkp1lem8  27950  wlkp1  27951  spthonepeq  28021  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcshwlkn0lem7  28082  wwlksnext  28159  clwwlkccatlem  28254  clwlkclwwlklem2a1  28257  clwlkclwwlkf1lem3  28271  clwwlkinwwlk  28305  clwwlkel  28311  clwwlkwwlksb  28319  wwlksext2clwwlk  28322  eupthp1  28481  sseqfn  32257  sseqf  32259  bccolsum  33611  knoppcnlem7  34606  knoppcnlem11  34610  knoppndvlem15  34633  frlmvscadiccat  40163  fltnltalem  40415  stoweidlem34  43465  1fzopredsuc  44704  subsubelfzo0  44706  iccpartgt  44767  iccpartleu  44768  iccpartgel  44769  fmtnorec2lem  44882  altgsumbcALT  45577  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854