Theorem elnn0uz 12820

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2831	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13551  elfz2nn0  13563  4fvwrd4  13593  2ffzeq  13594  elfzo0  13646  elfzonn0  13653  elfzom1elp1fzo  13678  cardfz  13923  nn0sinds  13942  hashfz0  14385  resunimafz0  14398  ffz0iswrd  14494  swrdccatin2  14682  pfxccatin12lem2  14684  pfxccatin12lem3  14685  cshwidxmod  14756  scshwfzeqfzo  14779  bcxmas  15791  mertenslem2  15841  risefacp1  15985  fallfacp1  15986  pwp1fsum  16351  bitsmod  16396  4sqlem19  16925  gsmsymgrfixlem1  19393  gsmsymgreqlem2  19397  efgsrel  19700  gsummptfzsplit  19898  gsummptfzsplitl  19899  pmatcollpw3fi  22768  cpmadugsumlemF  22859  wlkn0  29707  wlkp1lem8  29765  wlkp1  29766  spthonepeq  29838  cyclnumvtx  29886  crctcshwlkn0lem5  29900  crctcshwlkn0lem7  29902  wwlksnext  29979  clwwlkccatlem  30077  clwlkclwwlklem2a1  30080  clwlkclwwlkf1lem3  30094  clwwlkinwwlk  30128  clwwlkel  30134  clwwlkwwlksb  30142  wwlksext2clwwlk  30145  eupthp1  30304  sseqfn  34574  sseqf  34576  bccolsum  35967  knoppcnlem7  36805  knoppcnlem11  36809  knoppndvlem15  36832  frlmvscadiccat  42996  fltnltalem  43112  stoweidlem34  46477  1fzopredsuc  47788  subsubelfzo0  47790  iccpartgt  47902  iccpartleu  47903  iccpartgel  47904  fmtnorec2lem  48020  cycl3grtri  48438  gpgprismgr4cycllem7  48592  altgsumbcALT  48844  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111