Theorem elnn0uz 12777

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12774	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2823	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13506  elfz2nn0  13518  4fvwrd4  13548  2ffzeq  13549  elfzo0  13600  elfzonn0  13607  elfzom1elp1fzo  13632  cardfz  13877  nn0sinds  13896  hashfz0  14339  resunimafz0  14352  ffz0iswrd  14448  swrdccatin2  14636  pfxccatin12lem2  14638  pfxccatin12lem3  14639  cshwidxmod  14710  scshwfzeqfzo  14733  bcxmas  15742  mertenslem2  15792  risefacp1  15936  fallfacp1  15937  pwp1fsum  16302  bitsmod  16347  4sqlem19  16875  gsmsymgrfixlem1  19339  gsmsymgreqlem2  19343  efgsrel  19646  gsummptfzsplit  19844  gsummptfzsplitl  19845  pmatcollpw3fi  22700  cpmadugsumlemF  22791  wlkn0  29599  wlkp1lem8  29657  wlkp1  29658  spthonepeq  29730  cyclnumvtx  29778  crctcshwlkn0lem5  29792  crctcshwlkn0lem7  29794  wwlksnext  29871  clwwlkccatlem  29969  clwlkclwwlklem2a1  29972  clwlkclwwlkf1lem3  29986  clwwlkinwwlk  30020  clwwlkel  30026  clwwlkwwlksb  30034  wwlksext2clwwlk  30037  eupthp1  30196  sseqfn  34403  sseqf  34405  bccolsum  35783  knoppcnlem7  36541  knoppcnlem11  36545  knoppndvlem15  36568  frlmvscadiccat  42547  fltnltalem  42703  stoweidlem34  46080  1fzopredsuc  47363  subsubelfzo0  47365  iccpartgt  47466  iccpartleu  47467  iccpartgel  47468  fmtnorec2lem  47581  cycl3grtri  47986  gpgprismgr4cycllem7  48140  altgsumbcALT  48392  nn0sumshdiglemA  48659  nn0sumshdiglemB  48660