Theorem elnn0uz 12271

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12268	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2881	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  0cc0 10526  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12993  4fvwrd4  13022  2ffzeq  13023  elfzo0  13073  elfzonn0  13077  elfzom1elp1fzo  13099  cardfz  13333  nn0sinds  13352  hashfz0  13789  resunimafz0  13799  ffz0iswrd  13884  swrdccatin2  14082  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12lem3  14085  cshwidxmod  14156  scshwfzeqfzo  14179  bcxmas  15182  mertenslem2  15233  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  pwp1fsum  15732  bitsmod  15775  4sqlem19  16289  gsmsymgrfixlem1  18547  gsmsymgreqlem2  18551  efgsrel  18852  gsummptfzsplit  19045  gsummptfzsplitl  19046  pmatcollpw3fi  21390  cpmadugsumlemF  21481  wlkn0  27410  wlkp1lem8  27470  wlkp1  27471  spthonepeq  27541  crctcshwlkn0lem5  27600  crctcshwlkn0lem7  27602  wwlksnext  27679  clwwlkccatlem  27774  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlkf1lem3  27791  clwwlkinwwlk  27825  clwwlkel  27831  clwwlkwwlksb  27839  wwlksext2clwwlk  27842  eupthp1  28001  sseqfn  31758  sseqf  31760  bccolsum  33084  knoppcnlem7  33951  knoppcnlem11  33955  knoppndvlem15  33978  frlmvscadiccat  39440  fltnltalem  39618  stoweidlem34  42676  1fzopredsuc  43881  subsubelfzo0  43883  iccpartgt  43944  iccpartleu  43945  iccpartgel  43946  fmtnorec2lem  44059  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034