Theorem elnn0uz 12814

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12811	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2820	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13543  elfz2nn0  13555  4fvwrd4  13585  2ffzeq  13586  elfzo0  13637  elfzonn0  13644  elfzom1elp1fzo  13669  cardfz  13911  nn0sinds  13930  hashfz0  14373  resunimafz0  14386  ffz0iswrd  14482  swrdccatin2  14670  pfxccatin12lem2  14672  pfxccatin12lem3  14673  cshwidxmod  14744  scshwfzeqfzo  14768  bcxmas  15777  mertenslem2  15827  risefacp1  15971  fallfacp1  15972  pwp1fsum  16337  bitsmod  16382  4sqlem19  16910  gsmsymgrfixlem1  19333  gsmsymgreqlem2  19337  efgsrel  19640  gsummptfzsplit  19838  gsummptfzsplitl  19839  pmatcollpw3fi  22648  cpmadugsumlemF  22739  wlkn0  29524  wlkp1lem8  29582  wlkp1  29583  spthonepeq  29655  cyclnumvtx  29703  crctcshwlkn0lem5  29717  crctcshwlkn0lem7  29719  wwlksnext  29796  clwwlkccatlem  29891  clwlkclwwlklem2a1  29894  clwlkclwwlkf1lem3  29908  clwwlkinwwlk  29942  clwwlkel  29948  clwwlkwwlksb  29956  wwlksext2clwwlk  29959  eupthp1  30118  sseqfn  34354  sseqf  34356  bccolsum  35699  knoppcnlem7  36460  knoppcnlem11  36464  knoppndvlem15  36487  frlmvscadiccat  42467  fltnltalem  42623  stoweidlem34  46005  1fzopredsuc  47298  subsubelfzo0  47300  iccpartgt  47401  iccpartleu  47402  iccpartgel  47403  fmtnorec2lem  47516  cycl3grtri  47919  gpgprismgr4cycllem7  48064  altgsumbcALT  48314  nn0sumshdiglemA  48581  nn0sumshdiglemB  48582