Theorem elnn0uz 13046

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13043	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2856	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  0cc0 11239  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  fz0dif1  13780  elfz2nn0  13792  4fvwrd4  13822  2ffzeq  13823  elfzo0  13875  elfzonn0  13882  elfzom1elp1fzo  13907  cardfz  14153  nn0sinds  14172  hashfz0  14618  resunimafz0  14631  ffz0iswrd  14727  swrdccatin2  14920  pfxccatin12lem2  14922  pfxccatin12lem3  14923  cshwidxmod  14996  scshwfzeqfzo  15019  bcxmas  16048  mertenslem2  16098  risefacp1  16239  fallfacp1  16240  pwp1fsum  16605  bitsmod  16650  4sqlem19  17185  gsmsymgrfixlem1  19692  gsmsymgreqlem2  19696  efgsrel  19999  gsummptfzsplit  20197  gsummptfzsplitl  20198  pmatcollpw3fi  23158  cpmadugsumlemF  23249  wlkn0  30258  wlkp1lem8  30316  wlkp1  30317  spthonepeq  30395  cyclnumvtx  30445  crctcshwlkn0lem5  30460  crctcshwlkn0lem7  30462  wwlksnext  30539  clwwlkccatlem  30637  clwlkclwwlklem2a1  30640  clwlkclwwlkf1lem3  30654  clwwlkinwwlk  30688  clwwlkel  30694  clwwlkwwlksb  30702  wwlksext2clwwlk  30705  eupthp1  30874  sseqfn  35133  sseqf  35135  bccolsum  36719  knoppcnlem7  37580  knoppcnlem11  37584  knoppndvlem15  37607  frlmvscadiccat  43839  fltnltalem  43939  stoweidlem34  47317  chnerlem1  48165  chnerlem2  48166  1fzopredsuc  48668  subsubelfzo0  48670  iccpartgt  48782  iccpartleu  48783  iccpartgel  48784  fmtnorec2lem  48900  cycl3grtri  49318  gpgprismgr4cycllem7  49472  altgsumbcALT  49796  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063