Theorem elnn0uz 12787

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12784	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2825	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  0cc0 11016  ℕ₀cn0 12391  ℤ_≥cuz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13516  elfz2nn0  13528  4fvwrd4  13558  2ffzeq  13559  elfzo0  13610  elfzonn0  13617  elfzom1elp1fzo  13642  cardfz  13887  nn0sinds  13906  hashfz0  14349  resunimafz0  14362  ffz0iswrd  14458  swrdccatin2  14646  pfxccatin12lem2  14648  pfxccatin12lem3  14649  cshwidxmod  14720  scshwfzeqfzo  14743  bcxmas  15752  mertenslem2  15802  risefacp1  15946  fallfacp1  15947  pwp1fsum  16312  bitsmod  16357  4sqlem19  16885  gsmsymgrfixlem1  19349  gsmsymgreqlem2  19353  efgsrel  19656  gsummptfzsplit  19854  gsummptfzsplitl  19855  pmatcollpw3fi  22710  cpmadugsumlemF  22801  wlkn0  29610  wlkp1lem8  29668  wlkp1  29669  spthonepeq  29741  cyclnumvtx  29789  crctcshwlkn0lem5  29803  crctcshwlkn0lem7  29805  wwlksnext  29882  clwwlkccatlem  29980  clwlkclwwlklem2a1  29983  clwlkclwwlkf1lem3  29997  clwwlkinwwlk  30031  clwwlkel  30037  clwwlkwwlksb  30045  wwlksext2clwwlk  30048  eupthp1  30207  sseqfn  34414  sseqf  34416  bccolsum  35794  knoppcnlem7  36554  knoppcnlem11  36558  knoppndvlem15  36581  frlmvscadiccat  42614  fltnltalem  42770  stoweidlem34  46146  1fzopredsuc  47438  subsubelfzo0  47440  iccpartgt  47541  iccpartleu  47542  iccpartgel  47543  fmtnorec2lem  47656  cycl3grtri  48061  gpgprismgr4cycllem7  48215  altgsumbcALT  48467  nn0sumshdiglemA  48734  nn0sumshdiglemB  48735