Theorem elnn0uz 12902

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12899	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2861	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13633  elfz2nn0  13645  4fvwrd4  13675  2ffzeq  13676  elfzo0  13728  elfzonn0  13735  elfzom1elp1fzo  13760  cardfz  14005  nn0sinds  14024  hashfz0  14468  resunimafz0  14481  ffz0iswrd  14577  swrdccatin2  14765  pfxccatin12lem2  14767  pfxccatin12lem3  14768  cshwidxmod  14839  scshwfzeqfzo  14862  bcxmas  15888  mertenslem2  15938  risefacp1  16082  fallfacp1  16083  pwp1fsum  16448  bitsmod  16493  4sqlem19  17022  gsmsymgrfixlem1  19496  gsmsymgreqlem2  19500  efgsrel  19803  gsummptfzsplit  20001  gsummptfzsplitl  20002  pmatcollpw3fi  22910  cpmadugsumlemF  23001  wlkn0  29910  wlkp1lem8  29968  wlkp1  29969  spthonepeq  30041  cyclnumvtx  30089  crctcshwlkn0lem5  30103  crctcshwlkn0lem7  30105  wwlksnext  30182  clwwlkccatlem  30280  clwlkclwwlklem2a1  30283  clwlkclwwlkf1lem3  30297  clwwlkinwwlk  30331  clwwlkel  30337  clwwlkwwlksb  30345  wwlksext2clwwlk  30348  eupthp1  30507  sseqfn  34724  sseqf  34726  bccolsum  36129  knoppcnlem7  36976  knoppcnlem11  36980  knoppndvlem15  37003  frlmvscadiccat  43169  fltnltalem  43285  stoweidlem34  46639  1fzopredsuc  47950  subsubelfzo0  47952  iccpartgt  48064  iccpartleu  48065  iccpartgel  48066  fmtnorec2lem  48182  cycl3grtri  48600  gpgprismgr4cycllem7  48754  altgsumbcALT  49017  nn0sumshdiglemA  49283  nn0sumshdiglemB  49284