Theorem elnn0uz 12790

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12787	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2826	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  0cc0 11024  ℕ₀cn0 12399  ℤ_≥cuz 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13520  elfz2nn0  13532  4fvwrd4  13562  2ffzeq  13563  elfzo0  13614  elfzonn0  13621  elfzom1elp1fzo  13646  cardfz  13891  nn0sinds  13910  hashfz0  14353  resunimafz0  14366  ffz0iswrd  14462  swrdccatin2  14650  pfxccatin12lem2  14652  pfxccatin12lem3  14653  cshwidxmod  14724  scshwfzeqfzo  14747  bcxmas  15756  mertenslem2  15806  risefacp1  15950  fallfacp1  15951  pwp1fsum  16316  bitsmod  16361  4sqlem19  16889  gsmsymgrfixlem1  19354  gsmsymgreqlem2  19358  efgsrel  19661  gsummptfzsplit  19859  gsummptfzsplitl  19860  pmatcollpw3fi  22727  cpmadugsumlemF  22818  wlkn0  29643  wlkp1lem8  29701  wlkp1  29702  spthonepeq  29774  cyclnumvtx  29822  crctcshwlkn0lem5  29836  crctcshwlkn0lem7  29838  wwlksnext  29915  clwwlkccatlem  30013  clwlkclwwlklem2a1  30016  clwlkclwwlkf1lem3  30030  clwwlkinwwlk  30064  clwwlkel  30070  clwwlkwwlksb  30078  wwlksext2clwwlk  30081  eupthp1  30240  sseqfn  34496  sseqf  34498  bccolsum  35882  knoppcnlem7  36642  knoppcnlem11  36646  knoppndvlem15  36669  frlmvscadiccat  42703  fltnltalem  42847  stoweidlem34  46220  1fzopredsuc  47512  subsubelfzo0  47514  iccpartgt  47615  iccpartleu  47616  iccpartgel  47617  fmtnorec2lem  47730  cycl3grtri  48135  gpgprismgr4cycllem7  48289  altgsumbcALT  48541  nn0sumshdiglemA  48807  nn0sumshdiglemB  48808