MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn0uz 12271
Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnn0uz (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))

Proof of Theorem elnn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12268 . 2 0 = (ℤ‘0)
21eleq2i 2901 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wcel 2105  cfv 6348  0cc0 10525  0cn0 11885  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12986  4fvwrd4  13015  2ffzeq  13016  elfzo0  13066  elfzonn0  13070  elfzom1elp1fzo  13092  cardfz  13326  nn0sinds  13345  hashfz0  13781  resunimafz0  13791  ffz0iswrd  13879  swrdccatin2  14079  pfxccatin12lem2  14081  pfxccatin12lem3  14082  cshwidxmod  14153  scshwfzeqfzo  14176  bcxmas  15178  mertenslem2  15229  risefacp1  15371  fallfacp1  15372  pwp1fsum  15730  bitsmod  15773  4sqlem19  16287  gsmsymgrfixlem1  18484  gsmsymgreqlem2  18488  efgsrel  18789  gsummptfzsplit  18981  gsummptfzsplitl  18982  pmatcollpw3fi  21321  cpmadugsumlemF  21412  wlkn0  27329  wlkp1lem8  27389  wlkp1  27390  spthonepeq  27460  crctcshwlkn0lem5  27519  crctcshwlkn0lem7  27521  wwlksnext  27598  clwwlkccatlem  27694  clwlkclwwlklem2a1  27697  clwlkclwwlkf1lem3  27711  clwwlkinwwlk  27745  clwwlkel  27752  clwwlkwwlksb  27760  wwlksext2clwwlk  27763  eupthp1  27922  sseqfn  31547  sseqf  31549  bccolsum  32868  knoppcnlem7  33735  knoppcnlem11  33739  knoppndvlem15  33762  frlmvscadiccat  39023  fltnltalem  39152  stoweidlem34  42196  1fzopredsuc  43401  subsubelfzo0  43403  iccpartgt  43464  iccpartleu  43465  iccpartgel  43466  fmtnorec2lem  43581  altgsumbcALT  44329  nn0sumshdiglemA  44607  nn0sumshdiglemB  44608
  Copyright terms: Public domain W3C validator