Theorem elnn0uz 12845

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12842	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2821	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13574  elfz2nn0  13586  4fvwrd4  13616  2ffzeq  13617  elfzo0  13668  elfzonn0  13675  elfzom1elp1fzo  13700  cardfz  13942  nn0sinds  13961  hashfz0  14404  resunimafz0  14417  ffz0iswrd  14513  swrdccatin2  14701  pfxccatin12lem2  14703  pfxccatin12lem3  14704  cshwidxmod  14775  scshwfzeqfzo  14799  bcxmas  15808  mertenslem2  15858  risefacp1  16002  fallfacp1  16003  pwp1fsum  16368  bitsmod  16413  4sqlem19  16941  gsmsymgrfixlem1  19364  gsmsymgreqlem2  19368  efgsrel  19671  gsummptfzsplit  19869  gsummptfzsplitl  19870  pmatcollpw3fi  22679  cpmadugsumlemF  22770  wlkn0  29556  wlkp1lem8  29615  wlkp1  29616  spthonepeq  29689  cyclnumvtx  29737  crctcshwlkn0lem5  29751  crctcshwlkn0lem7  29753  wwlksnext  29830  clwwlkccatlem  29925  clwlkclwwlklem2a1  29928  clwlkclwwlkf1lem3  29942  clwwlkinwwlk  29976  clwwlkel  29982  clwwlkwwlksb  29990  wwlksext2clwwlk  29993  eupthp1  30152  sseqfn  34388  sseqf  34390  bccolsum  35733  knoppcnlem7  36494  knoppcnlem11  36498  knoppndvlem15  36521  frlmvscadiccat  42501  fltnltalem  42657  stoweidlem34  46039  1fzopredsuc  47329  subsubelfzo0  47331  iccpartgt  47432  iccpartleu  47433  iccpartgel  47434  fmtnorec2lem  47547  cycl3grtri  47950  gpgprismgr4cycllem7  48095  altgsumbcALT  48345  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613