Theorem elnn0uz 13013

Description: A nonnegative integer expressed as a member an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0uz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

Proof of Theorem elnn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13010	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	eleq2i 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  0cc0 11207  ℕ₀cn0 12613  ℤ_≥cuz 12972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973

This theorem is used by:  fz0dif1  13747  elfz2nn0  13759  4fvwrd4  13789  2ffzeq  13790  elfzo0  13842  elfzonn0  13849  elfzom1elp1fzo  13874  cardfz  14120  nn0sinds  14139  hashfz0  14584  resunimafz0  14597  ffz0iswrd  14693  swrdccatin2  14886  pfxccatin12lem2  14888  pfxccatin12lem3  14889  cshwidxmod  14962  scshwfzeqfzo  14985  bcxmas  16013  mertenslem2  16063  risefacp1  16204  fallfacp1  16205  pwp1fsum  16570  bitsmod  16615  4sqlem19  17150  gsmsymgrfixlem1  19650  gsmsymgreqlem2  19654  efgsrel  19957  gsummptfzsplit  20155  gsummptfzsplitl  20156  pmatcollpw3fi  23112  cpmadugsumlemF  23203  wlkn0  30210  wlkp1lem8  30268  wlkp1  30269  spthonepeq  30347  cyclnumvtx  30397  crctcshwlkn0lem5  30412  crctcshwlkn0lem7  30414  wwlksnext  30491  clwwlkccatlem  30589  clwlkclwwlklem2a1  30592  clwlkclwwlkf1lem3  30606  clwwlkinwwlk  30640  clwwlkel  30646  clwwlkwwlksb  30654  wwlksext2clwwlk  30657  eupthp1  30826  sseqfn  35072  sseqf  35074  bccolsum  36628  knoppcnlem7  37489  knoppcnlem11  37493  knoppndvlem15  37516  frlmvscadiccat  43710  fltnltalem  43810  stoweidlem34  47180  chnerlem1  48028  chnerlem2  48029  1fzopredsuc  48531  subsubelfzo0  48533  iccpartgt  48645  iccpartleu  48646  iccpartgel  48647  fmtnorec2lem  48763  cycl3grtri  49181  gpgprismgr4cycllem7  49335  altgsumbcALT  49601  nn0sumshdiglemA  49867  nn0sumshdiglemB  49868