Theorem el1fzopredsuc 47873

Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
el1fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Proof of Theorem el1fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13524	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2		1fzopredsuc 47872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
3	2	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
4		elun 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
5		elun 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
6	5	orbi1i 924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
7	4, 6	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
8		elsng 4595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
10	9	orbi1d 927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁))))
11		elsng 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
12	11	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
13	10, 12	orbi12d 929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
14	7, 13	bitrid 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
15		df-3or 1098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁))
16	15	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))
17	14, 16	biimtrdi 255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
18	17	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
19	18	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
20	3, 19	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
22		c0ex 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
23	22	snid 4620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ {0}
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → 0 ∈ {0})
25		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
26	24, 25	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0}))
28		idd 24	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (1..^𝑁) → 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
29		snidg 4618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ {𝑁})
30		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝑁 → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
31	29, 30	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝑁}))
32	27, 28, 31	3orim123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁})))
33	32	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
34		df-3or 1098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
35	33, 34	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
36	35, 7	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
37	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
38	36, 37	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
39	38	ex 416	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁)))
40	21, 39	impbid 214	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3902  {csn 4581  (class class class)co 7390  0cc0 11068  1c1 11069  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12563  ...cfz 13507  ..^cfzo 13654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655

This theorem is referenced by:  fmtnofz04prm  48139