Theorem el1fzopredsuc 47714

Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
el1fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Proof of Theorem el1fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13454	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2		1fzopredsuc 47713	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
3	2	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
4		elun 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
5		elun 4107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
6	5	orbi1i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
8		elsng 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
10	9	orbi1d 917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁))))
11		elsng 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
13	10, 12	orbi12d 919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
14	7, 13	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
15		df-3or 1088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁))
16	15	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))
17	14, 16	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
19	18	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
20	3, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
22		c0ex 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
23	22	snid 4621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ {0}
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → 0 ∈ {0})
25		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
26	24, 25	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0}))
28		idd 24	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (1..^𝑁) → 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
29		snidg 4619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ {𝑁})
30		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝑁 → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
31	29, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝑁}))
32	27, 28, 31	3orim123d 1447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁})))
33	32	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
34		df-3or 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
35	33, 34	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
36	35, 7	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
37	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
38	36, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
39	38	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁)))
40	21, 39	impbid 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  {csn 4582  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585

This theorem is referenced by:  fmtnofz04prm  47966