Theorem el1fzopredsuc 47275

Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
el1fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Proof of Theorem el1fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13561	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2		1fzopredsuc 47274	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
3	2	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
4		elun 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
5		elun 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
6	5	orbi1i 913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
8		elsng 4645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
10	9	orbi1d 916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁))))
11		elsng 4645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
13	10, 12	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
14	7, 13	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
15		df-3or 1087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁))
16	15	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))
17	14, 16	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
19	18	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
20	3, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
22		c0ex 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
23	22	snid 4667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ {0}
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → 0 ∈ {0})
25		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
26	24, 25	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0}))
28		idd 24	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (1..^𝑁) → 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
29		snidg 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ {𝑁})
30		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝑁 → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
31	29, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝑁}))
32	27, 28, 31	3orim123d 1443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁})))
33	32	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
34		df-3or 1087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
35	33, 34	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
36	35, 7	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
37	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
38	36, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
39	38	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁)))
40	21, 39	impbid 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961  {csn 4631  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  fmtnofz04prm  47502