MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efi4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efi4p 16024
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
efi4p (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11115 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11140 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 efi4p.1 . . . 4 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
54ef4p 16000 . . 3 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((((1 + (i ยท ๐ด)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
63, 5syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((((1 + (i ยท ๐ด)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
7 ax-1cn 11114 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
8 addcl 11138 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
97, 3, 8sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
103sqcld 14055 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1110halfcld 12403 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
12 3nn0 12436 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„•0
13 expcl 13991 . . . . . . 7 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
143, 12, 13sylancl 587 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
15 6cn 12249 . . . . . . 7 6 โˆˆ โ„‚
16 6re 12248 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
17 6pos 12268 . . . . . . . 8 0 < 6
1816, 17gt0ne0ii 11696 . . . . . . 7 6 โ‰  0
19 divcl 11824 . . . . . . 7 ((((i ยท ๐ด)โ†‘3) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
2015, 18, 19mp3an23 1454 . . . . . 6 (((i ยท ๐ด)โ†‘3) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
229, 11, 21addassd 11182 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 + (i ยท ๐ด)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) = ((1 + (i ยท ๐ด)) + ((((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6))))
237a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2423, 3, 11, 21add4d 11388 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) + ((((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6))) = ((1 + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + ((i ยท ๐ด) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6))))
25 2nn0 12435 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
26 mulexp 14013 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
271, 25, 26mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
28 i2 14112 . . . . . . . . . . . 12 (iโ†‘2) = -1
2928oveq1i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2)))
31 sqcl 14029 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3231mulm1d 11612 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
3327, 30, 323eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
3433oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2) = (-(๐ดโ†‘2) / 2))
35 2cn 12233 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
36 2ne0 12262 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
37 divneg 11852 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -((๐ดโ†‘2) / 2) = (-(๐ดโ†‘2) / 2))
3835, 36, 37mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ -((๐ดโ†‘2) / 2) = (-(๐ดโ†‘2) / 2))
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -((๐ดโ†‘2) / 2) = (-(๐ดโ†‘2) / 2))
4034, 39eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2) = -((๐ดโ†‘2) / 2))
4140oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) = (1 + -((๐ดโ†‘2) / 2)))
4231halfcld 12403 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
43 negsub 11454 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -((๐ดโ†‘2) / 2)) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
447, 42, 43sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + -((๐ดโ†‘2) / 2)) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
4541, 44eqtrd 2773 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
46 mulexp 14013 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘3) = ((iโ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)))
471, 12, 46mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘3) = ((iโ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)))
48 i3 14113 . . . . . . . . . . 11 (iโ†‘3) = -i
4948oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((iโ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) = (-i ยท (๐ดโ†‘3))
5047, 49eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘3) = (-i ยท (๐ดโ†‘3)))
5150oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6) = ((-i ยท (๐ดโ†‘3)) / 6))
52 expcl 13991 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
5312, 52mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
54 negicn 11407 . . . . . . . . . 10 -i โˆˆ โ„‚
5515, 18pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0)
56 divass 11836 . . . . . . . . . 10 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚ โˆง (6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0)) โ†’ ((-i ยท (๐ดโ†‘3)) / 6) = (-i ยท ((๐ดโ†‘3) / 6)))
5754, 55, 56mp3an13 1453 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-i ยท (๐ดโ†‘3)) / 6) = (-i ยท ((๐ดโ†‘3) / 6)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-i ยท (๐ดโ†‘3)) / 6) = (-i ยท ((๐ดโ†‘3) / 6)))
59 divcl 11824 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
6015, 18, 59mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
6153, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
62 mulneg12 11598 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ((๐ดโ†‘3) / 6)) = (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6)))
631, 61, 62sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-i ยท ((๐ดโ†‘3) / 6)) = (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6)))
6451, 58, 633eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6) = (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6)))
6564oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) = ((i ยท ๐ด) + (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6))))
6661negcld 11504 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚)
67 adddi 11145 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6))) = ((i ยท ๐ด) + (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6))))
681, 67mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6))) = ((i ยท ๐ด) + (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6))))
6966, 68mpdan 686 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6))) = ((i ยท ๐ด) + (i ยท -((๐ดโ†‘3) / 6))))
70 negsub 11454 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6)) = (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))
7161, 70mpdan 686 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6)) = (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))
7271oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด + -((๐ดโ†‘3) / 6))) = (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))
7365, 69, 723eqtr2d 2779 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))
7445, 73oveq12d 7376 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + ((i ยท ๐ด) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))))
7522, 24, 743eqtrd 2777 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 + (i ยท ๐ด)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))))
7675oveq1d 7373 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((1 + (i ยท ๐ด)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘2) / 2)) + (((i ยท ๐ด)โ†‘3) / 6)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
776, 76eqtrd 2773 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  ฮฃcsu 15576  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955
This theorem is referenced by:  resin4p  16025  recos4p  16026
  Copyright terms: Public domain W3C validator