MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efi4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efi4p 16117
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efi4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11199 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 11224 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efi4p.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54ef4p 16093 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
63, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
7 ax-1cn 11198 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 addcl 11222 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
97, 3, 8sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
103sqcld 14144 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1110halfcld 12490 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) ∈ ℂ)
12 3nn0 12523 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
13 expcl 14080 . . . . . . 7 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
143, 12, 13sylancl 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
15 6cn 12336 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
16 6re 12335 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
17 6pos 12355 . . . . . . . 8 0 < 6
1816, 17gt0ne0ii 11782 . . . . . . 7 6 ≠ 0
19 divcl 11911 . . . . . . 7 ((((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2015, 18, 19mp3an23 1449 . . . . . 6 (((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
229, 11, 21addassd 11268 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
237a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2423, 3, 11, 21add4d 11474 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
25 2nn0 12522 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
26 mulexp 14102 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
271, 25, 26mp3an13 1448 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
28 i2 14201 . . . . . . . . . . . 12 (i↑2) = -1
2928oveq1i 7429 . . . . . . . . . . 11 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)))
31 sqcl 14118 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3231mulm1d 11698 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
3327, 30, 323eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
3433oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
35 2cn 12320 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 2ne0 12349 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
37 divneg 11939 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3835, 36, 37mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
4034, 39eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = -((𝐴↑2) / 2))
4140oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 + -((𝐴↑2) / 2)))
4231halfcld 12490 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
43 negsub 11540 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ) → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
447, 42, 43sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
4541, 44eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
46 mulexp 14102 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
471, 12, 46mp3an13 1448 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
48 i3 14202 . . . . . . . . . . 11 (i↑3) = -i
4948oveq1i 7429 . . . . . . . . . 10 ((i↑3) · (𝐴↑3)) = (-i · (𝐴↑3))
5047, 49eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = (-i · (𝐴↑3)))
5150oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = ((-i · (𝐴↑3)) / 6))
52 expcl 14080 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
5312, 52mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
54 negicn 11493 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
5515, 18pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
56 divass 11923 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5754, 55, 56mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
59 divcl 11911 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6015, 18, 59mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6153, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
62 mulneg12 11684 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
631, 61, 62sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6451, 58, 633eqtrd 2769 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6564oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6661negcld 11590 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67 adddi 11229 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
681, 67mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6966, 68mpdan 685 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
70 negsub 11540 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7161, 70mpdan 685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7271oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7365, 69, 723eqtr2d 2771 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7445, 73oveq12d 7437 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7522, 24, 743eqtrd 2769 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7675oveq1d 7434 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
776, 76eqtrd 2765 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  6c6 12304  0cn0 12505  cuz 12855  cexp 14062  !cfa 14268  Σcsu 15668  expce 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047
This theorem is referenced by:  resin4p  16118  recos4p  16119
  Copyright terms: Public domain W3C validator