Theorem fztpval 13720

Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fztpval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12726	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fztp 13714	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4		df-3 12406	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
5		2cn 12418	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	addcomi 11501	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
8	4, 7	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 3 = (1 + 2)
9	8	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
10		tpeq3 4705	. . . . . 6 ⊢ (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12		df-2 12405	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
13		tpeq2 4704	. . . . . 6 ⊢ (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
15	11, 14	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
16	3, 9, 15	3eqtr4i 2794	. . 3 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
17	16	raleqi 3318	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18		1ex 11303	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
19		2ex 12420	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
20		3ex 12425	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
21		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
22		iftrue 4488	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
23	21, 22	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
25		1re 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt2 12515	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
27	25, 26	gtneii 11422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
28		neeq1 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
29	27, 28	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30		ifnefalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
31	29, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32		iftrue 4488	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
33	31, 32	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
34	24, 33	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘3))
36		1lt3 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
37	25, 36	gtneii 11422	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
38		neeq1 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
39	37, 38	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
40	39, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41		2re 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
42		2lt3 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
43	41, 42	gtneii 11422	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
44		neeq1 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
45	43, 44	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46		ifnefalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
48	40, 47	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
49	35, 48	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
50	18, 19, 20, 23, 34, 49	raltp 4666	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
51	17, 50	bitri 278	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4482  {ctp 4588  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   + caddc 11203  2c2 12397  3c3 12398  ℤcz 12693  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by: (None)