MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztpval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fztpval 13626
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on . (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fztp 13620 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4 df-3 12330 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
5 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
6 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
75, 6addcomi 11452 . . . . . 6 (2 + 1) = (1 + 2)
84, 7eqtri 2765 . . . . 5 3 = (1 + 2)
98oveq2i 7442 . . . 4 (1...3) = (1...(1 + 2))
10 tpeq3 4744 . . . . . 6 (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12 df-2 12329 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
13 tpeq2 4743 . . . . . 6 (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
1511, 14eqtri 2765 . . . 4 {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
163, 9, 153eqtr4i 2775 . . 3 (1...3) = {1, 2, 3}
1716raleqi 3324 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18 1ex 11257 . . 3 1 ∈ V
19 2ex 12343 . . 3 2 ∈ V
20 3ex 12348 . . 3 3 ∈ V
21 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
22 iftrue 4531 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
2321, 22eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
25 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 1lt2 12437 . . . . . . . 8 1 < 2
2725, 26gtneii 11373 . . . . . . 7 2 ≠ 1
28 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
2927, 28mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30 ifnefalse 4537 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32 iftrue 4531 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
3331, 32eqtrd 2777 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
3424, 33eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 3 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘3))
36 1lt3 12439 . . . . . . . 8 1 < 3
3725, 36gtneii 11373 . . . . . . 7 3 ≠ 1
38 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
3937, 38mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
4039, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
42 2lt3 12438 . . . . . . . 8 2 < 3
4341, 42gtneii 11373 . . . . . . 7 3 ≠ 2
44 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
4543, 44mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46 ifnefalse 4537 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4840, 47eqtrd 2777 . . . 4 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
4935, 48eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 3 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 4705 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
5117, 50bitri 275 1 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  ifcif 4525  {ctp 4630  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  3c3 12322  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator