Theorem fztpval 13547

Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fztpval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12563	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fztp 13541	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4		df-3 12250	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
5		2cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	addcomi 11365	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
8	4, 7	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ 3 = (1 + 2)
9	8	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
10		tpeq3 4708	. . . . . 6 ⊢ (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12		df-2 12249	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
13		tpeq2 4707	. . . . . 6 ⊢ (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
15	11, 14	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
16	3, 9, 15	3eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
17	16	raleqi 3297	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18		1ex 11170	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
19		2ex 12263	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
20		3ex 12268	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
21		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
22		iftrue 4494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
23	21, 22	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
25		1re 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt2 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
27	25, 26	gtneii 11286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
28		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
29	27, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30		ifnefalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32		iftrue 4494	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
33	31, 32	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
34	24, 33	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘3))
36		1lt3 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
37	25, 36	gtneii 11286	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
38		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
40	39, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41		2re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
42		2lt3 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
43	41, 42	gtneii 11286	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
44		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
45	43, 44	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46		ifnefalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
48	40, 47	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
49	35, 48	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
50	18, 19, 20, 23, 34, 49	raltp 4669	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
51	17, 50	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ifcif 4488  {ctp 4593  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  2c2 12241  3c3 12242  ℤcz 12529  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by: (None)