Theorem fztpval 13603

Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fztpval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12622	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fztp 13597	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4		df-3 12304	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
5		2cn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	addcomi 11426	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
8	4, 7	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ 3 = (1 + 2)
9	8	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
10		tpeq3 4720	. . . . . 6 ⊢ (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12		df-2 12303	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
13		tpeq2 4719	. . . . . 6 ⊢ (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
15	11, 14	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
16	3, 9, 15	3eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
17	16	raleqi 3303	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18		1ex 11231	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
19		2ex 12317	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
20		3ex 12322	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
21		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
22		iftrue 4506	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
23	21, 22	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
25		1re 11235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt2 12411	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
27	25, 26	gtneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
28		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
29	27, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30		ifnefalse 4512	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32		iftrue 4506	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
33	31, 32	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
34	24, 33	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘3))
36		1lt3 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
37	25, 36	gtneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
38		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
40	39, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
42		2lt3 12412	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
43	41, 42	gtneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
44		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
45	43, 44	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46		ifnefalse 4512	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
48	40, 47	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
49	35, 48	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
50	18, 19, 20, 23, 34, 49	raltp 4681	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
51	17, 50	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ifcif 4500  {ctp 4605  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132  2c2 12295  3c3 12296  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by: (None)