Theorem fztpval 13554

Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fztpval	⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fztp 13548	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4		df-3 12257	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
5		2cn 12268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	addcomi 11372	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
8	4, 7	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ 3 = (1 + 2)
9	8	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
10		tpeq3 4711	. . . . . 6 ⊢ (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12		df-2 12256	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
13		tpeq2 4710	. . . . . 6 ⊢ (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
15	11, 14	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
16	3, 9, 15	3eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
17	16	raleqi 3299	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18		1ex 11177	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
19		2ex 12270	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
20		3ex 12275	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
21		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
22		iftrue 4497	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
23	21, 22	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘2))
25		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
27	25, 26	gtneii 11293	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
28		neeq1 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
29	27, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30		ifnefalse 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32		iftrue 4497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
33	31, 32	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
34	24, 33	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘3))
36		1lt3 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
37	25, 36	gtneii 11293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
38		neeq1 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
40	39, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41		2re 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
42		2lt3 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
43	41, 42	gtneii 11293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
44		neeq1 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
45	43, 44	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46		ifnefalse 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
48	40, 47	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
49	35, 48	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
50	18, 19, 20, 23, 34, 49	raltp 4672	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
51	17, 50	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ifcif 4491  {ctp 4596  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  2c2 12248  3c3 12249  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by: (None)