MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztpval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fztpval 12951
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on . (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 11989 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fztp 12945 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4 df-3 11678 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
5 2cn 11689 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
6 ax-1cn 10571 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
75, 6addcomi 10807 . . . . . 6 (2 + 1) = (1 + 2)
84, 7eqtri 2843 . . . . 5 3 = (1 + 2)
98oveq2i 7142 . . . 4 (1...3) = (1...(1 + 2))
10 tpeq3 4654 . . . . . 6 (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12 df-2 11677 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
13 tpeq2 4653 . . . . . 6 (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
1511, 14eqtri 2843 . . . 4 {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
163, 9, 153eqtr4i 2853 . . 3 (1...3) = {1, 2, 3}
1716raleqi 3396 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18 1ex 10613 . . 3 1 ∈ V
19 2ex 11691 . . 3 2 ∈ V
20 3ex 11696 . . 3 3 ∈ V
21 fveq2 6644 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
22 iftrue 4447 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
2321, 22eqeq12d 2836 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24 fveq2 6644 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
25 1re 10617 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 1lt2 11785 . . . . . . . 8 1 < 2
2725, 26gtneii 10728 . . . . . . 7 2 ≠ 1
28 neeq1 3068 . . . . . . 7 (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
2927, 28mpbiri 260 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30 ifnefalse 4453 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32 iftrue 4447 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
3331, 32eqtrd 2855 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
3424, 33eqeq12d 2836 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35 fveq2 6644 . . . 4 (𝑥 = 3 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘3))
36 1lt3 11787 . . . . . . . 8 1 < 3
3725, 36gtneii 10728 . . . . . . 7 3 ≠ 1
38 neeq1 3068 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
3937, 38mpbiri 260 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
4039, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41 2re 11688 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
42 2lt3 11786 . . . . . . . 8 2 < 3
4341, 42gtneii 10728 . . . . . . 7 3 ≠ 2
44 neeq1 3068 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
4543, 44mpbiri 260 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46 ifnefalse 4453 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4840, 47eqtrd 2855 . . . 4 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
4935, 48eqeq12d 2836 . . 3 (𝑥 = 3 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 4615 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
5117, 50bitri 277 1 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  ifcif 4441  {ctp 4545  cfv 6329  (class class class)co 7131  1c1 10514   + caddc 10516  2c2 11669  3c3 11670  cz 11958  ...cfz 12874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator