Theorem fzo1to4tp 13794

Description: A half-open integer range from 1 to 4 is an unordered triple. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1to4tp	⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

Proof of Theorem fzo1to4tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12638	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		fzoval 13699	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
4		4m1e3 12379	. . . 4 ⊢ (4 − 1) = 3
5		df-3 12314	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		2cn 12326	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	6, 7	addcomi 11411	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
9	4, 5, 8	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ (4 − 1) = (1 + 2)
10	9	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...(1 + 2))
11		1z 12634	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fztp 13619	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
13		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
14		1p1e2 12374	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
16		1p2e3 12393	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
18	13, 15, 17	tpeq123d 4717	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
19	12, 18	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3})
20	11, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3}
21	3, 10, 20	3eqtri 2793	1 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {ctp 4596  (class class class)co 7416  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11451  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  ℤcz 12601  ...cfz 13545  ..^cfzo 13693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-fzo 13694

This theorem is used by:  fmtno4prmfac  48356  fmtnofz04prm  48361  gpgprismgr4cycllem7  48898