Theorem fzo1to4tp 13790

Description: A half-open integer range from 1 to 4 is an unordered triple. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1to4tp	⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

Proof of Theorem fzo1to4tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12649	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		fzoval 13697	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
4		4m1e3 12393	. . . 4 ⊢ (4 − 1) = 3
5		df-3 12328	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		2cn 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	6, 7	addcomi 11450	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
9	4, 5, 8	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ (4 − 1) = (1 + 2)
10	9	oveq2i 7442	. 2 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...(1 + 2))
11		1z 12645	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fztp 13617	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
13		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
14		1p1e2 12389	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
16		1p2e3 12407	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
18	13, 15, 17	tpeq123d 4753	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
19	12, 18	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3})
20	11, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3}
21	3, 10, 20	3eqtri 2767	1 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {ctp 4635  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac  47497  fmtnofz04prm  47502