MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1to4tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo1to4tp 13752
Description: A half-open integer range from 1 to 4 is an unordered triple. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fzo1to4tp (1..^4) = {1, 2, 3}

Proof of Theorem fzo1to4tp
StepHypRef Expression
1 4z 12626 . . 3 4 ∈ ℤ
2 fzoval 13665 . . 3 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (1..^4) = (1...(4 − 1))
4 4m1e3 12371 . . . 4 (4 − 1) = 3
5 df-3 12306 . . . 4 3 = (2 + 1)
6 2cn 12317 . . . . 5 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 11196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
86, 7addcomi 11435 . . . 4 (2 + 1) = (1 + 2)
94, 5, 83eqtri 2757 . . 3 (4 − 1) = (1 + 2)
109oveq2i 7427 . 2 (1...(4 − 1)) = (1...(1 + 2))
11 1z 12622 . . 3 1 ∈ ℤ
12 fztp 13589 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
13 eqidd 2726 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
14 1p1e2 12367 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1514a1i 11 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
16 1p2e3 12385 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1716a1i 11 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
1813, 15, 17tpeq123d 4748 . . . 4 (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
1912, 18eqtrd 2765 . . 3 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3})
2011, 19ax-mp 5 . 2 (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3}
213, 10, 203eqtri 2757 1 (1..^4) = {1, 2, 3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  {ctp 4628  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141  cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  cz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac  46975  fmtnofz04prm  46980
  Copyright terms: Public domain W3C validator