Theorem fzo1to4tp 13657

Description: A half-open integer range from 1 to 4 is an unordered triple. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1to4tp	⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

Proof of Theorem fzo1to4tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12509	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		fzoval 13563	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
4		4m1e3 12252	. . . 4 ⊢ (4 − 1) = 3
5		df-3 12192	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		2cn 12203	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11067	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	6, 7	addcomi 11307	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
9	4, 5, 8	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (4 − 1) = (1 + 2)
10	9	oveq2i 7360	. 2 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...(1 + 2))
11		1z 12505	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fztp 13483	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
13		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
14		1p1e2 12248	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
16		1p2e3 12266	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
18	13, 15, 17	tpeq123d 4700	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
19	12, 18	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3})
20	11, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3}
21	3, 10, 20	3eqtri 2756	1 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4581  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac  47556  fmtnofz04prm  47561  gpgprismgr4cycllem7  48085