MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1to4tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo1to4tp 13716
Description: A half-open integer range from 1 to 4 is an unordered triple. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fzo1to4tp (1..^4) = {1, 2, 3}

Proof of Theorem fzo1to4tp
StepHypRef Expression
1 4z 12592 . . 3 4 ∈ ℤ
2 fzoval 13629 . . 3 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (1..^4) = (1...(4 − 1))
4 4m1e3 12337 . . . 4 (4 − 1) = 3
5 df-3 12272 . . . 4 3 = (2 + 1)
6 2cn 12283 . . . . 5 2 ∈ ℂ
7 ax-1cn 11164 . . . . 5 1 ∈ ℂ
86, 7addcomi 11401 . . . 4 (2 + 1) = (1 + 2)
94, 5, 83eqtri 2765 . . 3 (4 − 1) = (1 + 2)
109oveq2i 7415 . 2 (1...(4 − 1)) = (1...(1 + 2))
11 1z 12588 . . 3 1 ∈ ℤ
12 fztp 13553 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
13 eqidd 2734 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
14 1p1e2 12333 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1514a1i 11 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
16 1p2e3 12351 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1716a1i 11 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
1813, 15, 17tpeq123d 4751 . . . 4 (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
1912, 18eqtrd 2773 . . 3 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3})
2011, 19ax-mp 5 . 2 (1...(1 + 2)) = {1, 2, 3}
213, 10, 203eqtri 2765 1 (1..^4) = {1, 2, 3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  {ctp 4631  (class class class)co 7404  1c1 11107   + caddc 11109  cmin 11440  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  cz 12554  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac  46175  fmtnofz04prm  46180
  Copyright terms: Public domain W3C validator