Theorem gcdaddmzz2nncomi 39984

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmzz2nncomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdaddmzz2nncomi.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		gcdaddmzz2nncomi.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		gcdaddmzz2nncomi.3	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	gcdaddmzz2nni 39983	. 2 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
5	2	nncni 11966	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
6		zcn 12307	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
8	1	nncni 11966	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	7, 8	mulcli 10966	. . . 4 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
10	5, 9	addcomi 11149	. . 3 ⊢ (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
11	10	oveq2i 7279	. 2 ⊢ (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
12	4, 11	eqtri 2767	1 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   · cmul 10860  ℕcn 11956  ℤcz 12302   gcd cgcd 16182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-gcd 16183

This theorem is referenced by:  12gcd5e1  39991  420gcd8e4  39994