Theorem gcdaddmzz2nncomi 40307

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmzz2nncomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdaddmzz2nncomi.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		gcdaddmzz2nncomi.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		gcdaddmzz2nncomi.3	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	gcdaddmzz2nni 40306	. 2 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
5	2	nncni 12089	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
6		zcn 12430	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
8	1	nncni 12089	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	7, 8	mulcli 11088	. . . 4 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
10	5, 9	addcomi 11272	. . 3 ⊢ (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
11	10	oveq2i 7353	. 2 ⊢ (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
12	4, 11	eqtri 2765	1 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7342  ℂcc 10975   + caddc 10980   · cmul 10982  ℕcn 12079  ℤcz 12425   gcd cgcd 16301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-sup 9304  df-inf 9305  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302

This theorem is referenced by:  12gcd5e1  40314  420gcd8e4  40317