Theorem gcdaddmzz2nncomi 42762

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdaddmzz2nncomi.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
gcdaddmzz2nncomi	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmzz2nncomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdaddmzz2nncomi.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		gcdaddmzz2nncomi.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		gcdaddmzz2nncomi.3	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	gcdaddmzz2nni 42761	. 2 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
5	2	nncni 12238	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
6		zcn 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
8	1	nncni 12238	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	7, 8	mulcli 11211	. . . 4 ⊢ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
10	5, 9	addcomi 11396	. . 3 ⊢ (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
11	10	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
12	4, 11	eqtri 2786	1 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℤcz 12586   gcd cgcd 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548

This theorem is referenced by:  12gcd5e1  42770  420gcd8e4  42773