Theorem modxai 17008

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12	⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
modxai	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
2	1	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴↑𝐸)
3		modxai.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	3	nncni 12167	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		modxai.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		modxai.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
7		expadd 14039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
9	2, 8	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝐸) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
10	9	oveq1i 7378	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁)
11		nnexpcl 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ)
12	3, 5, 11	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ
13	12	nnzi 12527	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ)
15		modxai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12528	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		nnexpcl 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ)
19	3, 6, 18	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ
20	19	nnzi 12527	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ)
22		modxai.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12528	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25		modxai.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		nnrp 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29		modxai.11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31		modxai.12	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
33	14, 17, 21, 24, 28, 30, 32	modmul12d 13860	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
34	33	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35		modxai.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36		modxai.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
37		zcn 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
39	25	nncni 12167	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41		modxai.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
42	41	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	40, 42	addcomi 11336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
44	35, 43	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
45	44	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
46	34, 45	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
47	41	nn0rei 12424	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
48		modcyc 13838	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
49	47, 27, 36, 48	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
50	46, 49	eqtri 2760	. 2 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
51	10, 50	eqtri 2760	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  mod2xi  17009  modxp1i  17010  1259lem3  17072  1259lem4  17073  2503lem2  17077  4001lem3  17082