Theorem modxai 17107

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12	⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
modxai	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
2	1	oveq2i 7443	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴↑𝐸)
3		modxai.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	3	nncni 12277	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		modxai.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		modxai.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
7		expadd 14146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
9	2, 8	eqtr3i 2766	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝐸) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
10	9	oveq1i 7442	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁)
11		nnexpcl 14116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ)
12	3, 5, 11	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ
13	12	nnzi 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ)
15		modxai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12644	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		nnexpcl 14116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ)
19	3, 6, 18	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ
20	19	nnzi 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ)
22		modxai.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12644	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25		modxai.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		nnrp 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29		modxai.11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31		modxai.12	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
33	14, 17, 21, 24, 28, 30, 32	modmul12d 13967	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
34	33	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35		modxai.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36		modxai.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
37		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
39	25	nncni 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41		modxai.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
42	41	nn0cni 12540	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	40, 42	addcomi 11453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
44	35, 43	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
45	44	oveq1i 7442	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
46	34, 45	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
47	41	nn0rei 12539	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
48		modcyc 13947	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
49	47, 27, 36, 48	mp3an 1462	. . 3 ⊢ ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
50	46, 49	eqtri 2764	. 2 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
51	10, 50	eqtri 2764	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155   + caddc 11159   · cmul 11161  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035   mod cmo 13910  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  mod2xi  17108  modxp1i  17109  1259lem3  17171  1259lem4  17172  2503lem2  17176  4001lem3  17181