MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modxai 17102
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
Assertion
Ref Expression
modxai ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
21oveq2i 7442 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐸)
3 modxai.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ
43nncni 12274 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 modxai.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
6 modxai.7 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
7 expadd 14142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)))
84, 5, 6, 7mp3an 1460 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
92, 8eqtr3i 2765 . . 3 (𝐴𝐸) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
109oveq1i 7441 . 2 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁)
11 nnexpcl 14112 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℕ)
123, 5, 11mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ∈ ℕ
1312nnzi 12639 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
15 modxai.5 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℕ0
1615nn0zi 12640 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 nnexpcl 14112 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶) ∈ ℕ)
193, 6, 18mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶) ∈ ℕ
2019nnzi 12639 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
22 modxai.8 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2322nn0zi 12640 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25 modxai.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
26 nnrp 13044 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29 modxai.11 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
3029a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31 modxai.12 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 13963 . . . . 5 (⊤ → (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
3433mptru 1544 . . . 4 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35 modxai.10 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
37 zcn 12616 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3925nncni 12274 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
4038, 39mulcli 11266 . . . . . . 7 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41 modxai.6 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
4241nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℂ
4340, 42addcomi 11450 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4435, 43eqtr3i 2765 . . . . 5 (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4544oveq1i 7441 . . . 4 ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4634, 45eqtri 2763 . . 3 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4741nn0rei 12535 . . . 4 𝑀 ∈ ℝ
48 modcyc 13943 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
4947, 27, 36, 48mp3an 1460 . . 3 ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5046, 49eqtri 2763 . 2 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5110, 50eqtri 2763 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  mod2xi  17103  modxp1i  17104  1259lem3  17167  1259lem4  17168  2503lem2  17172  4001lem3  17177
  Copyright terms: Public domain W3C validator