Theorem modxai 16996

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12	⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
modxai	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
2	1	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴↑𝐸)
3		modxai.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	3	nncni 12155	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		modxai.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		modxai.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
7		expadd 14027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
9	2, 8	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝐸) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
10	9	oveq1i 7368	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁)
11		nnexpcl 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ)
12	3, 5, 11	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ
13	12	nnzi 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ)
15		modxai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12516	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		nnexpcl 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ)
19	3, 6, 18	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ
20	19	nnzi 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ)
22		modxai.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 12516	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25		modxai.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		nnrp 12917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29		modxai.11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31		modxai.12	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
33	14, 17, 21, 24, 28, 30, 32	modmul12d 13848	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
34	33	mptru 1548	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35		modxai.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36		modxai.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
37		zcn 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
39	25	nncni 12155	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41		modxai.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
42	41	nn0cni 12413	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	40, 42	addcomi 11324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
44	35, 43	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
45	44	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
46	34, 45	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
47	41	nn0rei 12412	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
48		modcyc 13826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
49	47, 27, 36, 48	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
50	46, 49	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
51	10, 50	eqtri 2759	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  mod2xi  16997  modxp1i  16998  1259lem3  17060  1259lem4  17061  2503lem2  17065  4001lem3  17070