MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modxai 16947
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1 ๐‘ โˆˆ โ„•
modxai.2 ๐ด โˆˆ โ„•
modxai.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
modxai.4 ๐ท โˆˆ โ„ค
modxai.5 ๐พ โˆˆ โ„•0
modxai.6 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
modxai.7 ๐ถ โˆˆ โ„•0
modxai.8 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
modxai.11 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘)
modxai.12 ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
modxai.9 (๐ต + ๐ถ) = ๐ธ
modxai.10 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐ฟ)
Assertion
Ref Expression
modxai ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5 (๐ต + ๐ถ) = ๐ธ
21oveq2i 7373 . . . 4 (๐ดโ†‘(๐ต + ๐ถ)) = (๐ดโ†‘๐ธ)
3 modxai.2 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•
43nncni 12170 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
5 modxai.3 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
6 modxai.7 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„•0
7 expadd 14017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐ต + ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)))
84, 5, 6, 7mp3an 1462 . . . 4 (๐ดโ†‘(๐ต + ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ))
92, 8eqtr3i 2767 . . 3 (๐ดโ†‘๐ธ) = ((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ))
109oveq1i 7372 . 2 ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)) mod ๐‘)
11 nnexpcl 13987 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ โ„•)
123, 5, 11mp2an 691 . . . . . . . 8 (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ โ„•
1312nnzi 12534 . . . . . . 7 (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ โ„ค
1413a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ โ„ค)
15 modxai.5 . . . . . . . 8 ๐พ โˆˆ โ„•0
1615nn0zi 12535 . . . . . . 7 ๐พ โˆˆ โ„ค
1716a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
18 nnexpcl 13987 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•)
193, 6, 18mp2an 691 . . . . . . . 8 (๐ดโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„•
2019nnzi 12534 . . . . . . 7 (๐ดโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค
2120a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐ดโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค)
22 modxai.8 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
2322nn0zi 12535 . . . . . . 7 ๐ฟ โˆˆ โ„ค
2423a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
25 modxai.1 . . . . . . . 8 ๐‘ โˆˆ โ„•
26 nnrp 12933 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„+
2827a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
29 modxai.11 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘)
3029a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘))
31 modxai.12 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
3231a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘))
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 13837 . . . . 5 (โŠค โ†’ (((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)) mod ๐‘) = ((๐พ ยท ๐ฟ) mod ๐‘))
3433mptru 1549 . . . 4 (((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)) mod ๐‘) = ((๐พ ยท ๐ฟ) mod ๐‘)
35 modxai.10 . . . . . 6 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐ฟ)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9 ๐ท โˆˆ โ„ค
37 zcn 12511 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„‚
3925nncni 12170 . . . . . . . 8 ๐‘ โˆˆ โ„‚
4038, 39mulcli 11169 . . . . . . 7 (๐ท ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
41 modxai.6 . . . . . . . 8 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
4241nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
4340, 42addcomi 11353 . . . . . 6 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘))
4435, 43eqtr3i 2767 . . . . 5 (๐พ ยท ๐ฟ) = (๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘))
4544oveq1i 7372 . . . 4 ((๐พ ยท ๐ฟ) mod ๐‘) = ((๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘)) mod ๐‘)
4634, 45eqtri 2765 . . 3 (((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)) mod ๐‘) = ((๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘)) mod ๐‘)
4741nn0rei 12431 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„
48 modcyc 13818 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘))
4947, 27, 36, 48mp3an 1462 . . 3 ((๐‘€ + (๐ท ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
5046, 49eqtri 2765 . 2 (((๐ดโ†‘๐ต) ยท (๐ดโ†‘๐ถ)) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
5110, 50eqtri 2765 1 ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  mod2xi  16948  modxp1i  16949  1259lem3  17012  1259lem4  17013  2503lem2  17017  4001lem3  17022
  Copyright terms: Public domain W3C validator