MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modxai 16396
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
Assertion
Ref Expression
modxai ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
21oveq2i 7162 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐸)
3 modxai.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ
43nncni 11640 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 modxai.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
6 modxai.7 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
7 expadd 13464 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)))
84, 5, 6, 7mp3an 1454 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
92, 8eqtr3i 2850 . . 3 (𝐴𝐸) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
109oveq1i 7161 . 2 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁)
11 nnexpcl 13435 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℕ)
123, 5, 11mp2an 688 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ∈ ℕ
1312nnzi 11998 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
15 modxai.5 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℕ0
1615nn0zi 11999 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 nnexpcl 13435 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶) ∈ ℕ)
193, 6, 18mp2an 688 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶) ∈ ℕ
2019nnzi 11998 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
22 modxai.8 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2322nn0zi 11999 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25 modxai.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
26 nnrp 12393 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29 modxai.11 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
3029a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31 modxai.12 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 13286 . . . . 5 (⊤ → (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
3433mptru 1537 . . . 4 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35 modxai.10 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
37 zcn 11978 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3925nncni 11640 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10640 . . . . . . 7 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41 modxai.6 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
4241nn0cni 11901 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℂ
4340, 42addcomi 10823 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4435, 43eqtr3i 2850 . . . . 5 (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4544oveq1i 7161 . . . 4 ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4634, 45eqtri 2848 . . 3 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4741nn0rei 11900 . . . 4 𝑀 ∈ ℝ
48 modcyc 13267 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
4947, 27, 36, 48mp3an 1454 . . 3 ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5046, 49eqtri 2848 . 2 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5110, 50eqtri 2848 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2106  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528   + caddc 10532   · cmul 10534  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12382   mod cmo 13230  cexp 13422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423
This theorem is referenced by:  mod2xi  16397  modxp1i  16398  1259lem3  16458  1259lem4  16459  2503lem2  16463  4001lem3  16468
  Copyright terms: Public domain W3C validator