Theorem modxai 16394

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12	⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
modxai	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
2	1	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴↑𝐸)
3		modxai.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	3	nncni 11635	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		modxai.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		modxai.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
7		expadd 13467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
9	2, 8	eqtr3i 2823	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝐸) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
10	9	oveq1i 7145	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁)
11		nnexpcl 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ)
12	3, 5, 11	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ
13	12	nnzi 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ)
15		modxai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 11995	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		nnexpcl 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ)
19	3, 6, 18	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ
20	19	nnzi 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ)
22		modxai.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 11995	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25		modxai.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		nnrp 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29		modxai.11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31		modxai.12	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
33	14, 17, 21, 24, 28, 30, 32	modmul12d 13288	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
34	33	mptru 1545	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35		modxai.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36		modxai.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
37		zcn 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
39	25	nncni 11635	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 10637	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41		modxai.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
42	41	nn0cni 11897	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	40, 42	addcomi 10820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
44	35, 43	eqtr3i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
45	44	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
46	34, 45	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
47	41	nn0rei 11896	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
48		modcyc 13269	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
49	47, 27, 36, 48	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
50	46, 49	eqtri 2821	. 2 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
51	10, 50	eqtri 2821	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℝ⁺crp 12377   mod cmo 13232  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  mod2xi  16395  modxp1i  16396  1259lem3  16458  1259lem4  16459  2503lem2  16463  4001lem3  16468