MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modxai 16065
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
Assertion
Ref Expression
modxai ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5 (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
21oveq2i 6857 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐸)
3 modxai.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ
43nncni 11289 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 modxai.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
6 modxai.7 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
7 expadd 13114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)))
84, 5, 6, 7mp3an 1585 . . . 4 (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
92, 8eqtr3i 2789 . . 3 (𝐴𝐸) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶))
109oveq1i 6856 . 2 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁)
11 nnexpcl 13085 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℕ)
123, 5, 11mp2an 683 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ∈ ℕ
1312nnzi 11653 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
15 modxai.5 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℕ0
1615nn0zi 11654 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 nnexpcl 13085 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶) ∈ ℕ)
193, 6, 18mp2an 683 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶) ∈ ℕ
2019nnzi 11653 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
22 modxai.8 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℕ0
2322nn0zi 11654 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25 modxai.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
26 nnrp 12046 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29 modxai.11 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
3029a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31 modxai.12 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐴𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 12937 . . . . 5 (⊤ → (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
3433mptru 1660 . . . 4 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35 modxai.10 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
37 zcn 11633 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3925nncni 11289 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10305 . . . . . . 7 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41 modxai.6 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
4241nn0cni 11555 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℂ
4340, 42addcomi 10485 . . . . . 6 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4435, 43eqtr3i 2789 . . . . 5 (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
4544oveq1i 6856 . . . 4 ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4634, 45eqtri 2787 . . 3 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
4741nn0rei 11554 . . . 4 𝑀 ∈ ℝ
48 modcyc 12918 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
4947, 27, 36, 48mp3an 1585 . . 3 ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5046, 49eqtri 2787 . 2 (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
5110, 50eqtri 2787 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192   + caddc 10196   · cmul 10198  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  +crp 12033   mod cmo 12881  cexp 13072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073
This theorem is referenced by:  mod2xi  16066  modxp1i  16067  1259lem3  16127  1259lem4  16128  2503lem2  16132  4001lem3  16137
  Copyright terms: Public domain W3C validator