Theorem modxai 16387

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxai.7	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
modxai.8	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
modxai.11	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxai.12	⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
modxai.9	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
modxai.10	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
modxai	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐸
2	1	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴↑𝐸)
3		modxai.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	3	nncni 11634	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		modxai.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6		modxai.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
7		expadd 13461	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ (𝐴↑(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
9	2, 8	eqtr3i 2846	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝐸) = ((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶))
10	9	oveq1i 7152	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁)
11		nnexpcl 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ)
12	3, 5, 11	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℕ
13	12	nnzi 11993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐵) ∈ ℤ)
15		modxai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 11994	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		nnexpcl 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ)
19	3, 6, 18	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℕ
20	19	nnzi 11993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐴↑𝐶) ∈ ℤ)
22		modxai.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
23	22	nn0zi 11994	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ℤ)
25		modxai.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
26		nnrp 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℝ+)
29		modxai.11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
31		modxai.12	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐴↑𝐶) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁))
33	14, 17, 21, 24, 28, 30, 32	modmul12d 13283	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁))
34	33	mptru 1544	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁)
35		modxai.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐿)
36		modxai.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
37		zcn 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
39	25	nncni 11634	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 10634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41		modxai.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
42	41	nn0cni 11896	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	40, 42	addcomi 10817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
44	35, 43	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝐿) = (𝑀 + (𝐷 · 𝑁))
45	44	oveq1i 7152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝐿) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
46	34, 45	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁)
47	41	nn0rei 11895	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
48		modcyc 13264	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁))
49	47, 27, 36, 48	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((𝑀 + (𝐷 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
50	46, 49	eqtri 2844	. 2 ⊢ (((𝐴↑𝐵) · (𝐴↑𝐶)) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
51	10, 50	eqtri 2844	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ℝcr 10522   + caddc 10526   · cmul 10528  ℕcn 11624  ℕ₀cn0 11884  ℤcz 11968  ℝ⁺crp 12376   mod cmo 13227  ↑cexp 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420

This theorem is referenced by:  mod2xi  16388  modxp1i  16389  1259lem3  16449  1259lem4  16450  2503lem2  16454  4001lem3  16459