Theorem adjsslnop 32015

Description: Every operator with an adjoint is linear. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjsslnop	⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Proof of Theorem adjsslnop

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjadj 31864	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) = 𝑡)
2		dmadjrn 31823	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ)
3		adjlnop 32014	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
5	1, 4	eqeltrrd 2827	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → 𝑡 ∈ LinOp)
6	5	ssriv 3983	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  dom cdm 5673  ‘cfv 6544  LinOpclo 30875  adj_ℎcado 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-hilex 30927  ax-hfvadd 30928  ax-hvcom 30929  ax-hvass 30930  ax-hv0cl 30931  ax-hvaddid 30932  ax-hfvmul 30933  ax-hvmulid 30934  ax-hvdistr2 30937  ax-hvmul0 30938  ax-hfi 31007  ax-his1 31010  ax-his2 31011  ax-his3 31012  ax-his4 31013

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-2 12319  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-hvsub 30899  df-lnop 31769  df-adjh 31777

This theorem is referenced by: (None)