Theorem adjsslnop 31925

Description: Every operator with an adjoint is linear. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjsslnop	⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Proof of Theorem adjsslnop

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjadj 31774	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) = 𝑡)
2		dmadjrn 31733	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ)
3		adjlnop 31924	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
5	1, 4	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → 𝑡 ∈ LinOp)
6	5	ssriv 3986	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  LinOpclo 30785  adj_ℎcado 30793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-hvsub 30809  df-lnop 31679  df-adjh 31687

This theorem is referenced by: (None)