Theorem adjsslnop 31849

Description: Every operator with an adjoint is linear. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjsslnop	⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Proof of Theorem adjsslnop

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjadj 31698	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) = 𝑡)
2		dmadjrn 31657	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ)
3		adjlnop 31848	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘𝑡) ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑡)) ∈ LinOp)
5	1, 4	eqeltrrd 2828	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ dom adjℎ → 𝑡 ∈ LinOp)
6	5	ssriv 3981	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ LinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  LinOpclo 30709  adj_ℎcado 30717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-hvsub 30733  df-lnop 31603  df-adjh 31611

This theorem is referenced by: (None)