HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopadjlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopadjlei 31072
Description: Property of the norm of an adjoint. Part of proof of Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopadjle.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopadjlei (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmopadjlei
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdopssadj 31065 . . . . . 6 BndLinOp โŠ† dom adjโ„Ž
2 nmopadjle.1 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
31, 2sselii 3942 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž
4 adjvalval 30921 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
53, 4mpan 689 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
6 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด))
76eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
87ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
98riotabidv 7316 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)) = (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
10 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
11 riotaex 7318 . . . . 5 (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 6949 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))
135, 12eqtr4d 2776 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))โ€˜๐ด))
1413fveq2d 6847 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))โ€˜๐ด)))
15 inss1 4189 . . . 4 (LinOp โˆฉ ContOp) โŠ† LinOp
16 lncnbd 31022 . . . . 5 (LinOp โˆฉ ContOp) = BndLinOp
172, 16eleqtrri 2833 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)
1815, 17sselii 3942 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
19 inss2 4190 . . . 4 (LinOp โˆฉ ContOp) โŠ† ContOp
2019, 17sselii 3942 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
21 eqid 2733 . . 3 (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ง)) = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ง))
22 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฃ ยทih ๐‘“) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
2322eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘ค โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค)))
2423ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค)))
2524cbvriotavw 7324 . . 3 (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
2618, 20, 21, 25, 10cnlnadjlem7 31057 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘“)))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
2714, 26eqbrtrd 5128 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โˆฉ cin 3910   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  โ„ฉcrio 7313  (class class class)co 7358   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907  normopcnop 29929  ContOpccop 29930  LinOpclo 29931  BndLinOpcbo 29932  adjโ„Žcado 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-t1 22681  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379  df-h0op 30732  df-nmop 30823  df-cnop 30824  df-lnop 30825  df-bdop 30826  df-unop 30827  df-hmop 30828  df-nmfn 30829  df-nlfn 30830  df-cnfn 30831  df-lnfn 30832  df-adjh 30833
This theorem is referenced by:  nmopadjlem  31073
  Copyright terms: Public domain W3C validator