Theorem nmopadjlei 31341

Description: Property of the norm of an adjoint. Part of proof of Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopadjle.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopadjlei	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmopadjlei

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopssadj 31334	. . . . . 6 ⊢ BndLinOp ⊆ dom adjℎ
2		nmopadjle.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
3	1, 2	sselii 3980	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ dom adjℎ
4		adjvalval 31190	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
5	3, 4	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
6		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
8	7	ralbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
9	8	riotabidv 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓))) = (𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
11		riotaex 7369	. . . . 5 ⊢ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
13	5, 12	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = ((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴))
14	13	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) = (normℎ‘((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴)))
15		inss1 4229	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
16		lncnbd 31291	. . . . 5 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) = BndLinOp
17	2, 16	eleqtrri 2833	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp)
18	15, 17	sselii 3980	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
19		inss2 4230	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
20	19, 17	sselii 3980	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
21		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑧)) = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑧))
22		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (𝑣 ·ih 𝑓) = (𝑣 ·ih 𝑤))
23	22	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
24	23	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
25	24	cbvriotavw 7375	. . 3 ⊢ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤))
26	18, 20, 21, 25, 10	cnlnadjlem7 31326	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
27	14, 26	eqbrtrd 5171	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  ℩crio 7364  (class class class)co 7409   · cmul 11115   ≤ cle 11249   ℋchba 30172   ·_ih csp 30175  norm_ℎcno 30176  norm_opcnop 30198  ContOpccop 30199  LinOpclo 30200  BndLinOpcbo 30201  adj_ℎcado 30208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648  df-h0op 31001  df-nmop 31092  df-cnop 31093  df-lnop 31094  df-bdop 31095  df-unop 31096  df-hmop 31097  df-nmfn 31098  df-nlfn 31099  df-cnfn 31100  df-lnfn 31101  df-adjh 31102

This theorem is referenced by:  nmopadjlem  31342