Theorem nmopadjlei 32555

Description: Property of the norm of an adjoint. Part of proof of Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopadjle.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopadjlei	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmopadjlei

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopssadj 32548	. . . . . 6 ⊢ BndLinOp ⊆ dom adjℎ
2		nmopadjle.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
3	1, 2	sselii 3931	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ dom adjℎ
4		adjvalval 32404	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
6		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
8	7	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
9	8	riotabidv 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓))) = (𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
11		riotaex 7377	. . . . 5 ⊢ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴) = (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝐴) = (𝑣 ·ih 𝑓)))
13	5, 12	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = ((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴))
14	13	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) = (normℎ‘((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴)))
15		inss1 4185	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
16		lncnbd 32505	. . . . 5 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) = BndLinOp
17	2, 16	eleqtrri 2861	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp)
18	15, 17	sselii 3931	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
19		inss2 4186	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
20	19, 17	sselii 3931	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
21		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑧)) = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑧))
22		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (𝑣 ·ih 𝑓) = (𝑣 ·ih 𝑤))
23	22	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
24	23	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑤 → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
25	24	cbvriotavw 7383	. . 3 ⊢ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑤))
26	18, 20, 21, 25, 10	cnlnadjlem7 32540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑧 ∈ ℋ ↦ (℩𝑓 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑧) = (𝑣 ·ih 𝑓)))‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
27	14, 26	eqbrtrd 5131	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   · cmul 11132   ≤ cle 11271   ℋchba 31386   ·_ih csp 31389  norm_ℎcno 31390  norm_opcnop 31412  ContOpccop 31413  LinOpclo 31414  BndLinOpcbo 31415  adj_ℎcado 31422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvcom 31468  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvmulass 31474  ax-hvdistr1 31475  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551  ax-his4 31552  ax-hcompl 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-t1 23540  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cfil 25484  df-cau 25485  df-cmet 25486  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-gdiv 30963  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-vs 31066  df-nmcv 31067  df-ims 31068  df-dip 31168  df-ssp 31189  df-ph 31280  df-cbn 31330  df-hnorm 31435  df-hba 31436  df-hvsub 31438  df-hlim 31439  df-hcau 31440  df-sh 31674  df-ch 31688  df-oc 31719  df-ch0 31720  df-shs 31775  df-pjh 31862  df-h0op 32215  df-nmop 32306  df-cnop 32307  df-lnop 32308  df-bdop 32309  df-unop 32310  df-hmop 32311  df-nmfn 32312  df-nlfn 32313  df-cnfn 32314  df-lnfn 32315  df-adjh 32316

This theorem is used by:  nmopadjlem  32556