MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth4 10246
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 9873 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 10245 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
2 elequ2 2123 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢𝑤𝑢𝑣))
32imbi2d 343 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ (𝑢𝑧𝑢𝑣)))
43albidv 1915 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
54cbvrexvw 3449 . . . . . . 7 (∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣))
65anbi2i 624 . . . . . 6 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
7 r19.42v 3348 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
8 sseq1 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑧𝑤𝑧))
9 elequ1 2115 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑣𝑤𝑣))
108, 9imbi12d 347 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ (𝑤𝑧𝑤𝑣)))
1110cbvalvw 2037 . . . . . . . . 9 (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣))
1211anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
13 19.26 1865 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
14 pm4.76 521 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
15 elin 4167 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑦𝑣) ↔ (𝑤𝑦𝑤𝑣))
1615imbi2i 338 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
1714, 16bitr4i 280 . . . . . . . . 9 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1817albii 1814 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1912, 13, 183bitr2i 301 . . . . . . 7 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2019rexbii 3245 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
216, 7, 203bitr2i 301 . . . . 5 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2221ralbii 3163 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
23223anbi2i 1153 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
2423exbii 1842 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
251, 24mpbi 232 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843  w3a 1082  wal 1529  wex 1774  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  cdif 3931  cin 3933  wss 3934   class class class wbr 5057  cdom 8499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-reg 9048  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-groth 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360
This theorem is referenced by:  grothprim  10248
  Copyright terms: Public domain W3C validator