MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth4 9942
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 9569 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 9941 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
2 elequ2 2171 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢𝑤𝑢𝑣))
32imbi2d 332 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ (𝑢𝑧𝑢𝑣)))
43albidv 2016 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
54cbvrexv 3355 . . . . . . 7 (∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣))
65anbi2i 617 . . . . . 6 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
7 r19.42v 3273 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
8 sseq1 3822 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑧𝑤𝑧))
9 elequ1 2164 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑣𝑤𝑣))
108, 9imbi12d 336 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ (𝑤𝑧𝑤𝑣)))
1110cbvalvw 2138 . . . . . . . . 9 (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣))
1211anbi2i 617 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
13 19.26 1969 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
14 pm4.76 515 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
15 elin 3994 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑦𝑣) ↔ (𝑤𝑦𝑤𝑣))
1615imbi2i 328 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
1714, 16bitr4i 270 . . . . . . . . 9 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1817albii 1915 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1912, 13, 183bitr2i 291 . . . . . . 7 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2019rexbii 3222 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
216, 7, 203bitr2i 291 . . . . 5 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2221ralbii 3161 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
23223anbi2i 1198 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
2423exbii 1944 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
251, 24mpbi 222 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  w3a 1108  wal 1651  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  cdif 3766  cin 3768  wss 3769   class class class wbr 4843  cdom 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-groth 9933
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278
This theorem is referenced by:  grothprim  9944
  Copyright terms: Public domain W3C validator