Theorem axgroth4 10851

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 10478 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth4	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth3 10850	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		elequ2 2124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
4	3	albidv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
5	4	cbvrexvw 3225	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣))
6	5	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
7		r19.42v 3177	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
8		sseq1 3989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
9		elequ1 2116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ∈ 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ 𝑣))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
11	10	cbvalvw 2036	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣))
12	11	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
13		19.26 1870	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
14		pm4.76 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
15		elin 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))
16	15	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
17	14, 16	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
18	17	albii 1819	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
19	12, 13, 18	3bitr2i 299	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
20	19	rexbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
21	6, 7, 20	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
22	21	ralbii 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
23	22	3anbi2i 1158	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
24	23	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
25	1, 24	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ≼ cdom 8962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-groth 10842

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958

This theorem is referenced by:  grothprim  10853