Theorem axgroth4 10746

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 10372 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth4	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth3 10745	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		elequ2 2129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
4	3	albidv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
5	4	cbvrexvw 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣))
6	5	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
7		r19.42v 3170	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
8		sseq1 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
9		elequ1 2121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ∈ 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ 𝑣))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
11	10	cbvalvw 2038	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣))
12	11	anbi2i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
13		19.26 1872	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
14		pm4.76 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
15		elin 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))
16	15	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
17	14, 16	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
18	17	albii 1821	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
19	12, 13, 18	3bitr2i 299	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
20	19	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
21	6, 7, 20	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
22	21	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
23	22	3anbi2i 1159	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
24	23	exbii 1850	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
25	1, 24	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ≼ cdom 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-groth 10737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854

This theorem is referenced by:  grothprim  10748