Theorem axgroth4 10845

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 10465 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth4	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth3 10844	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		elequ2 2160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑢 ∈ 𝑣))
3	2	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
4	3	albidv 1953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
5	4	cbvrexvw 3243	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣))
6	5	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
7		r19.42v 3196	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)))
8		sseq1 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
9		elequ1 2152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 ∈ 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ 𝑣))
10	8, 9	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
11	10	cbvalvw 2069	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣))
12	11	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
13		19.26 1903	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)))
14		pm4.76 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
15		elin 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))
16	15	imbi2i 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
17	14, 16	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
18	17	albii 1852	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
19	12, 13, 18	3bitr2i 302	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
20	19	rexbii 3111	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑣)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
21	6, 7, 20	3bitr2i 302	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
22	21	ralbii 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)))
23	22	3anbi2i 1176	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
24	23	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑢(𝑢 ⊆ 𝑧 → 𝑢 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
25	1, 24	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ≼ cdom 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-groth 10836

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948

This theorem is used by:  grothprim  10847