MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth4 10829
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 10456 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 10828 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
2 elequ2 2121 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢𝑤𝑢𝑣))
32imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ (𝑢𝑧𝑢𝑣)))
43albidv 1923 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
54cbvrexvw 3235 . . . . . . 7 (∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤) ↔ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣))
65anbi2i 623 . . . . . 6 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
7 r19.42v 3190 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑣𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)))
8 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑧𝑤𝑧))
9 elequ1 2113 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝑣𝑤𝑣))
108, 9imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ (𝑤𝑧𝑤𝑣)))
1110cbvalvw 2039 . . . . . . . . 9 (∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣))
1211anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
13 19.26 1873 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑣)))
14 pm4.76 519 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
15 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑦𝑣) ↔ (𝑤𝑦𝑤𝑣))
1615imbi2i 335 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑣)))
1714, 16bitr4i 277 . . . . . . . . 9 (((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ (𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1817albii 1821 . . . . . . . 8 (∀𝑤((𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ (𝑤𝑧𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
1912, 13, 183bitr2i 298 . . . . . . 7 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2019rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑣𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∀𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑣)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
216, 7, 203bitr2i 298 . . . . 5 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
2221ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ↔ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)))
23223anbi2i 1158 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
2423exbii 1850 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑢(𝑢𝑧𝑢𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
251, 24mpbi 229 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑣𝑦𝑤(𝑤𝑧𝑤 ∈ (𝑦𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539  wex 1781  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  cdif 3945  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  cdom 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-groth 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  grothprim  10831
  Copyright terms: Public domain W3C validator