Theorem cgrtr4d 35976

Description: Deduction form of axcgrtr 28847. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.8	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtr4d.9	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr4d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr4d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrtr4d.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr4d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr4d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr4d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		axcgrtr 28847	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1395	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	1, 2, 11	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4579   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  ℕcn 12116  𝔼cee 28820  Cgrccgr 28822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-seq 13897  df-sum 15581  df-ee 28823  df-cgr 28825

This theorem is referenced by:  cgrtr4and  35977  cgrrflx  35978  segconeq  36001