Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrtr4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrtr4d 35967
Description: Deduction form of axcgrtr 28945. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrtr4d.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr4d.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.5 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.8 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtr4d.9 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
Assertion
Ref Expression
cgrtr4d (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtr4d
StepHypRef Expression
1 cgrtr4d.8 . 2 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2 cgrtr4d.9 . 2 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3 cgrtr4d.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 cgrtr4d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 cgrtr4d.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 cgrtr4d.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 cgrtr4d.5 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 cgrtr4d.6 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 cgrtr4d.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 axcgrtr 28945 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl133anc 1392 . 2 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
121, 2, 11mp2and 699 1 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  cn 12264  𝔼cee 28918  Cgrccgr 28920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sum 15720  df-ee 28921  df-cgr 28923
This theorem is referenced by:  cgrtr4and  35968  cgrrflx  35969  segconeq  35992
  Copyright terms: Public domain W3C validator