Theorem cgrtr4d 35949

Description: Deduction form of axcgrtr 28948. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.8	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtr4d.9	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr4d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr4d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrtr4d.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr4d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr4d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr4d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		axcgrtr 28948	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1393	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	1, 2, 11	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ℕcn 12293  𝔼cee 28921  Cgrccgr 28923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-sum 15735  df-ee 28924  df-cgr 28926

This theorem is referenced by:  cgrtr4and  35950  cgrrflx  35951  segconeq  35974