Theorem cgrtr4d 35986

Description: Deduction form of axcgrtr 28930. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrtr4d.8	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
cgrtr4d.9	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrtr4d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrtr4d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrtr4d.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
3		cgrtr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		cgrtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrtr4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrtr4d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrtr4d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrtr4d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		axcgrtr 28930	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl133anc 1395	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
12	1, 2, 11	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℕcn 12266  𝔼cee 28903  Cgrccgr 28905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sum 15723  df-ee 28906  df-cgr 28908

This theorem is referenced by:  cgrtr4and  35987  cgrrflx  35988  segconeq  36011