Theorem segconeq 34810

Description: Two points that satisfy the conclusion of axsegcon 28050 are identical. Uniqueness portion of Theorem 2.12 of [Schwabhauser] p. 29. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segconeq	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem segconeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2l 1232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩)
2	1, 1	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩))
3		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl31 1254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpl21 1251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	3, 4, 5	cgrrflxd 34788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)
7		simpl32 1255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
8	3, 5, 7	cgrrflxd 34788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
9	6, 8	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
10		simpl33 1256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
11	4, 5, 10	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)))
12	4, 5, 7	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)))
13	3, 11, 12	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))))
14		simpr3l 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩)
15	14, 1	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩))
16		simpl22 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpl23 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpr3r 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
19		cgrcom 34790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))
20	3, 5, 10, 16, 17, 19	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))
21	18, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
22		simpr2r 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
23		cgrcom 34790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
24	3, 5, 7, 16, 17, 23	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
25	22, 24	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
26	3, 16, 17, 5, 10, 5, 7, 21, 25	cgrtr4d 34785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
27	15, 6, 26	jca32 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)))
28		cgrextend 34808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)) → ⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩))
29	13, 27, 28	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩)
30	29, 26	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
31	2, 9, 30	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)))
32	31	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
33		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		simp31 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simp21 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simp32 1210	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simp33 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		brofs 34805	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ↔ ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
39	33, 34, 35, 36, 37, 34, 35, 36, 36, 38	syl333anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ↔ ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
40	32, 39	sylibrd 258	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩))
41		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑄 ≠ 𝐴))
43	40, 42	jcad 513	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴)))
44		5segofs 34806	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴) → ⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩))
45	33, 34, 35, 36, 37, 34, 35, 36, 36, 44	syl333anc 1402	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴) → ⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩))
46		axcgrid 28039	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
47	33, 36, 37, 36, 46	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
48	43, 45, 47	3syld 60	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ⟨cop 4628   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  ℕcn 12194  𝔼cee 28011   Btwn cbtwn 28012  Cgrccgr 28013   OuterFiveSeg cofs 34782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-ee 28014  df-btwn 28015  df-cgr 28016  df-ofs 34783

This theorem is referenced by:  segconeu  34811  btwnouttr2  34822  cgrxfr  34855  btwnconn1lem2  34888