Theorem segconeq 36952

Description: Two points that satisfy the conclusion of axsegcon 29532 are identical. Uniqueness portion of Theorem 2.12 of [Schwabhauser] p. 29. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segconeq	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem segconeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2l 1251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩)
2	1, 1	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩))
3		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl31 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpl21 1270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	3, 4, 5	cgrrflxd 36930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)
7		simpl32 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
8	3, 5, 7	cgrrflxd 36930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
9	6, 8	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
10		simpl33 1275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
11	4, 5, 10	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)))
12	4, 5, 7	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)))
13	3, 11, 12	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))))
14		simpr3l 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩)
15	14, 1	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩))
16		simpl22 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpl23 1272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpr3r 1254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
19		cgrcom 36932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))
20	3, 5, 10, 16, 17, 19	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩))
21	18, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑌⟩)
22		simpr2r 1252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
23		cgrcom 36932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
24	3, 5, 7, 16, 17, 23	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
25	22, 24	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
26	3, 16, 17, 5, 10, 5, 7, 21, 25	cgrtr4d 36927	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)
27	15, 6, 26	jca32 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)))
28		cgrextend 36950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)) → ⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩))
29	13, 27, 28	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩)
30	29, 26	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))
31	2, 9, 30	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩)))
32	31	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
33		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		brofs 36947	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ↔ ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
39	33, 34, 35, 36, 37, 34, 35, 36, 36, 38	syl333anc 1430	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ↔ ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩) ∧ (⟨𝑄, 𝑌⟩Cgr⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐴, 𝑋⟩))))
40	32, 39	sylibrd 262	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩))
41		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑄 ≠ 𝐴))
43	40, 42	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴)))
44		5segofs 36948	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴) → ⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩))
45	33, 34, 35, 36, 37, 34, 35, 36, 36, 44	syl333anc 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑌⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑄, 𝐴⟩, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∧ 𝑄 ≠ 𝐴) → ⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩))
46		axcgrid 29521	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
47	33, 36, 37, 36, 46	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩Cgr⟨𝑋, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
48	43, 45, 47	3syld 61	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 ≠ 𝐴 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑋⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑋⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑌⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑌⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ℕcn 12359  𝔼cee 29492   Btwn cbtwn 29493  Cgrccgr 29494   OuterFiveSeg cofs 36924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-ee 29495  df-btwn 29496  df-cgr 29497  df-ofs 36925

This theorem is used by:  segconeu  36953  btwnouttr2  36964  cgrxfr  36997  btwnconn1lem2  37030