Theorem efcj 16172

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efcj

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3	2	efcvg 16165	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
5		nn0uz 12920	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7	6	efcvg 16165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
8		seqex 14061	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V)
10		0zd 12622	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
11	6	eftval 16156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13		eftcl 16153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
15	5, 10, 14	serf 14088	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
16	15	ffvelcdmda 7083	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
17		addcl 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
19		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfznn0 13669	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23	22, 5	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
24		cjadd 15220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
26		expcl 14137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
27		faccl 14341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28	nnne0d 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≠ 0)
31	26, 29, 30	cjdivd 15302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))))
32		cjexp 15229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
33	28	nnred 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	cjred 15305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(!‘𝑘)) = (!‘𝑘))
35	32, 34	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36	31, 35	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	12	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
38	2	eftval 16156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
39	38	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
41	19, 20, 40	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
42	18, 21, 23, 25, 41	seqhomo 14107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
43	42	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) = (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
44	5, 7, 9, 10, 16, 43	climcj 15684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴)))
45		climuni 15631	. 2 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴))) → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
46	4, 44, 45	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  0cc0 11119   + caddc 11122   / cdiv 11890  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  seqcseq 14059  ↑cexp 14119  !cfa 14331  ∗ccj 15175   ⇝ cli 15563  expce 16141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ico 13398  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-fac 14332  df-hash 14389  df-shft 15132  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-limsup 15550  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-ef 16147

This theorem is used by:  resinval  16217  recosval  16218  logcj  26826  cosargd  26828