Theorem cnsrng 21401

Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsrng	⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21354	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 21356	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 21358	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		cnfldcj 21359	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9		cnring 21386	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		cjcl 15064	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13		cjadd 15100	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14	13	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15		mulcom 11121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
16	15	fveq2d 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17		cjmul 15101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
18	17	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
19	16, 18	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20	19	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21		cjcj 15099	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
23	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22	issrngd 20829	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
24	23	mptru 1549	1 ⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℂcc 11033   + caddc 11038   · cmul 11040  ∗ccj 15055  Basecbs 17176  +_gcplusg 17217  ._rcmulr 17218  *_𝑟cstv 17219  Ringcrg 20211  *-Ringcsr 20812  ℂ_fldccnfld 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-addf 11114  ax-mulf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-ghm 19185  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20314  df-rhm 20449  df-staf 20813  df-srng 20814  df-cnfld 21351

This theorem is referenced by: (None)