Theorem cnsrng 20099

Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsrng	⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 20069	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 20070	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 20071	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		cnfldcj 20072	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9		cnring 20087	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		cjcl 14183	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 474	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13		cjadd 14219	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14	13	3adant1 1161	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15		mulcom 10308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
16	15	fveq2d 6413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17		cjmul 14220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
18	17	ancoms 451	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
19	16, 18	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20	19	3adant1 1161	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21		cjcj 14218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
22	21	adantl 474	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
23	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22	issrngd 19176	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
24	23	mptru 1661	1 ⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Syntax hints:   ∧ wa 385   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℂcc 10220   + caddc 10225   · cmul 10227  ∗ccj 14174  Basecbs 16181  +_gcplusg 16264  ._rcmulr 16265  *_𝑟cstv 16266  Ringcrg 18860  *-Ringcsr 19159  ℂ_fldccnfld 20065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-grp 17738  df-ghm 17968  df-cmn 18507  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-rnghom 19030  df-staf 19160  df-srng 19161  df-cnfld 20066

This theorem is referenced by: (None)