Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrng 20571
 Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsrng fld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20541 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldadd 20542 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5 cnfldmul 20543 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7 cnfldcj 20544 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9 cnring 20559 . . . 4 fld ∈ Ring
109a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11 cjcl 14456 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
1211adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13 cjadd 14492 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14133adant1 1124 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15 mulcom 10615 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
1615fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17 cjmul 14493 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
1817ancoms 461 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
1916, 18eqtrd 2854 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20193adant1 1124 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21 cjcj 14491 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
2221adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
232, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22issrngd 19624 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
2423mptru 1537 1 fld ∈ *-Ring
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1530  ⊤wtru 1531   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527   + caddc 10532   · cmul 10534  ∗ccj 14447  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  *𝑟cstv 16559  Ringcrg 19289  *-Ringcsr 19607  ℂfldccnfld 20537 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-rnghom 19459  df-staf 19608  df-srng 19609  df-cnfld 20538 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator