Theorem cnsrng 21435

Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsrng	⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21385	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 21387	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 21389	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		cnfldcj 21390	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9		cnring 21420	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		cjcl 15140	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13		cjadd 15176	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14	13	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15		mulcom 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
16	15	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17		cjmul 15177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
18	17	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
19	16, 18	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20	19	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21		cjcj 15175	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
23	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22	issrngd 20872	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
24	23	mptru 1543	1 ⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   · cmul 11157  ∗ccj 15131  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  Ringcrg 20250  *-Ringcsr 20855  ℂ_fldccnfld 21381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-rhm 20488  df-staf 20856  df-srng 20857  df-cnfld 21382

This theorem is referenced by: (None)