Theorem fourierdlem23 47247

Description: If 𝐹 is continuous and 𝑋 is constant, then (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem23.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fourierdlem23.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
fourierdlem23.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
fourierdlem23.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
fourierdlem23.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem23	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2		fourierdlem23.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		fourierdlem23.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4	1	addccncf2 46993	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
6		ssid 3931	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		fourierdlem23.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		fourierdlem23.xps	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐴)
10	1, 5, 7, 8, 9	cncfmptssg 46988	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵–cn→𝐴))
11		fourierdlem23.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
12	10, 11	cncfcompt 47000	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203   + caddc 11208  –cn→ccncf 25204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206

This theorem is used by:  fourierdlem40  47264  fourierdlem59  47282  fourierdlem76  47299  fourierdlem78  47301  fourierdlem84  47307