Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem23 44457
Description: If 𝐹 is continuous and 𝑋 is constant, then (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem23.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fourierdlem23.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
fourierdlem23.b (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
fourierdlem23.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
fourierdlem23.xps ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem23 (𝜑 → (𝑠𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (𝐵cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem23
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (𝑠𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2 fourierdlem23.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
3 fourierdlem23.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
41addccncf2 44203 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑠𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵cn→ℂ))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵cn→ℂ))
6 ssid 3967 . . . 4 𝐵𝐵
76a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵𝐵)
8 fourierdlem23.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
9 fourierdlem23.xps . . 3 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐴)
101, 5, 7, 8, 9cncfmptssg 44198 . 2 (𝜑 → (𝑠𝐵 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (𝐵cn𝐴))
11 fourierdlem23.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
1210, 11cncfcompt 44210 1 (𝜑 → (𝑠𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (𝐵cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3911  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054   + caddc 11059  cnccncf 24255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257
This theorem is referenced by:  fourierdlem40  44474  fourierdlem59  44492  fourierdlem76  44509  fourierdlem78  44511  fourierdlem84  44517
  Copyright terms: Public domain W3C validator