Theorem cncfmpt1f 24437

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt11f 23175. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 24416	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 7111	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7		eqidd 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9		cncff 24416	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	10	feqmptd 6960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
12		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 7130	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)))
14	1, 8	cncfco 24430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	13, 14	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  –cn→ccncf 24399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-abs 15185  df-cncf 24401

This theorem is referenced by:  taylthlem2  25893  sincn  25963  coscn  25964  pige3ALT  26036  efmul2picn  33677  itgexpif  33687  ftc1cnnclem  36645  ftc2nc  36656  itgcoscmulx  44764  itgsincmulx  44769  dirkeritg  44897  dirkercncflem2  44899  dirkercncflem4  44901  fourierdlem16  44918  fourierdlem21  44923  fourierdlem22  44924  fourierdlem39  44941  fourierdlem58  44959  fourierdlem62  44963  fourierdlem68  44969  fourierdlem73  44974  fourierdlem76  44977  fourierdlem78  44979  fourierdlem83  44984  sqwvfoura  45023  sqwvfourb  45024  etransclem18  45047  etransclem46  45075