Theorem cncfmpt1f 24823

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt11f 23567. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 24802	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 7048	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9		cncff 24802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	10	feqmptd 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
12		fveq2 6826	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)))
14	1, 8	cncfco 24816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	13, 14	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5176   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  –cn→ccncf 24785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-abs 15161  df-cncf 24787

This theorem is referenced by:  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  sincn  26370  coscn  26371  pige3ALT  26445  efmul2picn  34563  itgexpif  34573  ftc1cnnclem  37670  ftc2nc  37681  itgcoscmulx  45951  itgsincmulx  45956  dirkeritg  46084  dirkercncflem2  46086  dirkercncflem4  46088  fourierdlem16  46105  fourierdlem21  46110  fourierdlem22  46111  fourierdlem39  46128  fourierdlem58  46146  fourierdlem62  46150  fourierdlem68  46156  fourierdlem73  46161  fourierdlem76  46164  fourierdlem78  46166  fourierdlem83  46171  sqwvfoura  46210  sqwvfourb  46211  etransclem18  46234  etransclem46  46262