Theorem cncfmpt1f 24077

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt11f 22815. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 24056	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 6984	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9		cncff 24056	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	10	feqmptd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
12		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 7002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)))
14	1, 8	cncfco 24070	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	13, 14	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-abs 14947  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  taylthlem2  25533  sincn  25603  coscn  25604  pige3ALT  25676  efmul2picn  32576  itgexpif  32586  ftc1cnnclem  35848  ftc2nc  35859  itgcoscmulx  43510  itgsincmulx  43515  dirkeritg  43643  dirkercncflem2  43645  dirkercncflem4  43647  fourierdlem16  43664  fourierdlem21  43669  fourierdlem22  43670  fourierdlem39  43687  fourierdlem58  43705  fourierdlem62  43709  fourierdlem68  43715  fourierdlem73  43720  fourierdlem76  43723  fourierdlem78  43725  fourierdlem83  43730  sqwvfoura  43769  sqwvfourb  43770  etransclem18  43793  etransclem46  43821