Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsbtaddcnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsbtaddcnst 45429
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgsbtaddcnst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑   πœ‘,𝑠,𝑑

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgsbtaddcnst.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
41, 2iccssred 13438 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
54sselda 3973 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
65recnd 11267 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
87recnd 11267 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
106, 9negsubd 11602 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 + -𝑋) = (𝑑 βˆ’ 𝑋))
1110eqcomd 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝑑 + -𝑋))
1211mpteq2dva 5244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)))
131adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
147adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
162adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716, 14resubcld 11667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
185, 14resubcld 11667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
19 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
201, 2jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
22 elicc2 13416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡))
2524simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑑)
2613, 5, 14, 25lesub1dd 11855 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑋))
2724simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ≀ 𝐡)
285, 16, 14, 27lesub1dd 11855 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 44948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3029fmpttd 7118 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3112, 30feq1dd 44600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
321, 7resubcld 11667 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
332, 7resubcld 11667 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
3432, 33iccssred 13438 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11190 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3986 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚)
374, 35sstrdi 3986 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
3837resmptd 6040 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
39 ssid 3996 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
40 cncfmptid 24846 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4139, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4543, 44, 43constcncfg 45319 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4642, 45subcncf 25386 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24830 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
4937, 47, 48sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5038, 49eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5112, 50eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
52 cncfcdm 24831 . . . . . 6 ((((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5336, 51, 52syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5431, 53mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5512, 54eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
56 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠))
578adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
58 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5957, 58addcomd 11441 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑠 + 𝑋))
6059mpteq2dva 5244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)))
61 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋))
6261addccncf 24850 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
638, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6460, 63eqeltrd 2825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
651adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
662adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
677adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6834sselda 3973 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6967, 68readdcld 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
70 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7132adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
7233adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
73 elicc2 13416 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7471, 72, 73syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7675simp2d 1140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠)
7765, 67, 68lesubadd2d 11838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ↔ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠))
7975simp3d 1141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
8067, 68, 66leaddsub2d 11841 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡 ↔ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
8179, 80mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡)
8265, 66, 69, 78, 81eliccd 44948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝐴[,]𝐡))
8356, 64, 36, 37, 82cncfmptssg 45318 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’(𝐴[,]𝐡)))
84 itgsbtaddcnst.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8583, 84cncfcompt 45330 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’β„‚))
86 ax-1cn 11191 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
87 ioosscn 13413 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
88 cncfmptc 24845 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
8986, 87, 39, 88mp3an 1457 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
91 fconstmpt 5735 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
92 ioombl 25507 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
9392a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
94 volioo 25511 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
951, 2, 3, 94syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
962, 1resubcld 11667 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96eqeltrd 2825 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
98 1cnd 11234 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
99 iblconst 25760 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10093, 97, 98, 99syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10191, 100eqeltrrid 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10290, 101elind 4189 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10335a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
10418recnd 11267 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
105 eqid 2725 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
106105tgioo2 24732 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
107 iccntr 24750 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10820, 107syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
109103, 4, 104, 106, 105, 108dvmptntr 25916 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
110 reelprrecn 11225 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
111110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
112 ioossre 13412 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
113112sseli 3969 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
114113adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
115114recnd 11267 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
116 1cnd 11234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
117103sselda 3973 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
118 1cnd 11234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
119111dvmptid 25902 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 1))
120112a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
121 iooretop 24695 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
122121a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
123111, 117, 118, 119, 120, 106, 105, 122dvmptres 25908 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
1248adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
125 0cnd 11232 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
1268adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
127 0cnd 11232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
128111, 8dvmptc 25903 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0))
129111, 126, 127, 128, 120, 106, 105, 122dvmptres 25908 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
130111, 115, 116, 123, 124, 125, 129dvmptsub 25912 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)))
131116subid1d 11585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 βˆ’ 0) = 1)
132131mpteq2dva 5244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
133109, 130, 1323eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
134 oveq2 7421 . . . 4 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
135134fveq2d 6894 . . 3 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
136 oveq1 7420 . . 3 (𝑑 = 𝐴 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
137 oveq1 7420 . . 3 (𝑑 = 𝐡 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
1381, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33itgsubsticc 45423 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑)
139124, 115pncan3d 11599 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = 𝑑)
140139fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (πΉβ€˜π‘‘))
141140oveq1d 7428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1))
142 cncff 24826 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
14384, 142syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
144143adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
145 ioossicc 13437 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
146145sseli 3969 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
147146adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
148144, 147ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
149148mulridd 11256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
150141, 149eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
1513, 150ditgeq3d 45411 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
152138, 151eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  dom cdm 5673  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  -cneg 11470  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  TopOpenctopn 17397  topGenctg 17413  β„‚fldccnfld 21278  intcnt 22934  β€“cnβ†’ccncf 24809  volcvol 25405  πΏ1cibl 25559  β¨œcdit 25788   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-symdif 4238  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612  df-ditg 25789  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  45635
  Copyright terms: Public domain W3C validator