Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsbtaddcnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsbtaddcnst 42267
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgsbtaddcnst.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgsbtaddcnst.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
41, 2iccssred 41780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
54sselda 3966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
65recnd 10668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87recnd 10668 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
98adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
106, 9negsubd 11002 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
1110eqcomd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
1211mpteq2dva 5160 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)))
131adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
147adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11067 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
162adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716, 14resubcld 11067 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
185, 14resubcld 11067 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
19 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
201, 2jca 514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2120adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
22 elicc2 12800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵)))
2419, 23mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵))
2524simp2d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑡)
2613, 5, 14, 25lesub1dd 11255 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑋) ≤ (𝑡𝑋))
2724simp3d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡𝐵)
285, 16, 14, 27lesub1dd 11255 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 41779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
3029fmpttd 6878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
3112, 30feq1dd 41423 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
321, 7resubcld 11067 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
332, 7resubcld 11067 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3432, 33iccssred 41780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℝ)
35 ax-resscn 10593 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3634, 35sstrdi 3978 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℂ)
374, 35sstrdi 3978 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
3837resmptd 5907 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)))
39 ssid 3988 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
40 cncfmptid 23519 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4139, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
4543, 44, 43constcncfg 42154 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4642, 45subcncf 42152 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48 rescncf 23504 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
4937, 47, 48sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5038, 49eqeltrrd 2914 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5112, 50eqeltrrd 2914 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52 cncffvrn 23505 . . . . . 6 ((((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5336, 51, 52syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5431, 53mpbird 259 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5512, 54eqeltrd 2913 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
56 eqid 2821 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠))
578adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
58 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
5957, 58addcomd 10841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑠 + 𝑋))
6059mpteq2dva 5160 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)))
61 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋))
6261addccncf 23523 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
638, 62syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6460, 63eqeltrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
651adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
662adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
677adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6834sselda 3966 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6967, 68readdcld 10669 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
70 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
7132adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7233adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
73 elicc2 12800 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋))))
7471, 72, 73syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋))))
7570, 74mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋)))
7675simp2d 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑠)
7765, 67, 68lesubadd2d 11238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑠)))
7876, 77mpbid 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑠))
7975simp3d 1140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ≤ (𝐵𝑋))
8067, 68, 66leaddsub2d 11241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) ≤ 𝐵𝑠 ≤ (𝐵𝑋)))
8179, 80mpbird 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ 𝐵)
8265, 66, 69, 78, 81eliccd 41779 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝐴[,]𝐵))
8356, 64, 36, 37, 82cncfmptssg 42153 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))–cn→(𝐴[,]𝐵)))
84 itgsbtaddcnst.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8583, 84cncfcompt 42166 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))–cn→ℂ))
86 ax-1cn 10594 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
87 ioosscn 41769 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
88 cncfmptc 23518 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
8986, 87, 39, 88mp3an 1457 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
9089a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
91 fconstmpt 5613 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
92 ioombl 24165 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
9392a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
94 volioo 24169 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
951, 2, 3, 94syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
962, 1resubcld 11067 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96eqeltrd 2913 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
98 1cnd 10635 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
99 iblconst 24417 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10093, 97, 98, 99syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10191, 100eqeltrrid 2918 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10290, 101elind 4170 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10335a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10418recnd 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ℂ)
105 eqid 2821 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
106105tgioo2 23410 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
107 iccntr 23428 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
10820, 107syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
109103, 4, 104, 106, 105, 108dvmptntr 24567 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑋))))
110 reelprrecn 10628 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
111110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
112 ioossre 12797 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
113112sseli 3962 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
114113adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
115114recnd 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
116 1cnd 10635 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
117103sselda 3966 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
118 1cnd 10635 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
119111dvmptid 24553 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
120112a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
121 iooretop 23373 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
122121a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
123111, 117, 118, 119, 120, 106, 105, 122dvmptres 24559 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
1248adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
125 0cnd 10633 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
1268adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
127 0cnd 10633 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
128111, 8dvmptc 24554 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑋)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
129111, 126, 127, 128, 120, 106, 105, 122dvmptres 24559 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
130111, 115, 116, 123, 124, 125, 129dvmptsub 24563 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 − 0)))
131116subid1d 10985 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 − 0) = 1)
132131mpteq2dva 5160 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 − 0)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
133109, 130, 1323eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
134 oveq2 7163 . . . 4 (𝑠 = (𝑡𝑋) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑡𝑋)))
135134fveq2d 6673 . . 3 (𝑠 = (𝑡𝑋) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))))
136 oveq1 7162 . . 3 (𝑡 = 𝐴 → (𝑡𝑋) = (𝐴𝑋))
137 oveq1 7162 . . 3 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡𝑋) = (𝐵𝑋))
1381, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33itgsubsticc 42261 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) d𝑡)
139124, 115pncan3d 10999 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + (𝑡𝑋)) = 𝑡)
140139fveq2d 6673 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) = (𝐹𝑡))
141140oveq1d 7170 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) = ((𝐹𝑡) · 1))
142 cncff 23500 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
14384, 142syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
144143adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
145 ioossicc 12821 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
146145sseli 3962 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
147146adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
148144, 147ffvelrnd 6851 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
149148mulid1d 10657 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑡) · 1) = (𝐹𝑡))
150141, 149eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) = (𝐹𝑡))
1513, 150ditgeq3d 42249 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
152138, 151eqtrd 2856 1 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wss 3935  {csn 4566  {cpr 4568   class class class wbr 5065  cmpt 5145   × cxp 5552  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  cle 10675  cmin 10869  -cneg 10870  (,)cioo 12737  [,]cicc 12740  TopOpenctopn 16694  topGenctg 16710  fldccnfld 20544  intcnt 21624  cnccncf 23483  volcvol 24063  𝐿1cibl 24217  cdit 24443   D cdv 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-symdif 4218  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-itg 24223  df-0p 24270  df-ditg 24444  df-limc 24463  df-dv 24464
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  42474
  Copyright terms: Public domain W3C validator