Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsbtaddcnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsbtaddcnst 44313
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgsbtaddcnst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑   πœ‘,𝑠,𝑑

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgsbtaddcnst.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
41, 2iccssred 13360 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
54sselda 3948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
65recnd 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
87recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
106, 9negsubd 11526 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 + -𝑋) = (𝑑 βˆ’ 𝑋))
1110eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝑑 + -𝑋))
1211mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)))
131adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
147adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
162adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716, 14resubcld 11591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
185, 14resubcld 11591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
19 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
201, 2jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
22 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡))
2524simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑑)
2613, 5, 14, 25lesub1dd 11779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑋))
2724simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ≀ 𝐡)
285, 16, 14, 27lesub1dd 11779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 43832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3029fmpttd 7067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3112, 30feq1dd 43476 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
321, 7resubcld 11591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
332, 7resubcld 11591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
3432, 33iccssred 13360 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11116 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚)
374, 35sstrdi 3960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
3837resmptd 5998 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
39 ssid 3970 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
40 cncfmptid 24299 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4139, 39, 40mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4543, 44, 43constcncfg 44203 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4642, 45subcncf 24832 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24283 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
4937, 47, 48sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5038, 49eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5112, 50eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
52 cncfcdm 24284 . . . . . 6 ((((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5336, 51, 52syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5431, 53mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5512, 54eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
56 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠))
578adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
58 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5957, 58addcomd 11365 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑠 + 𝑋))
6059mpteq2dva 5209 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)))
61 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋))
6261addccncf 24303 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
638, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6460, 63eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
651adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
662adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
677adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6834sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6967, 68readdcld 11192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
70 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7132adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
7233adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
73 elicc2 13338 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7471, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7675simp2d 1144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠)
7765, 67, 68lesubadd2d 11762 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ↔ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠))
7975simp3d 1145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
8067, 68, 66leaddsub2d 11765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡 ↔ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡)
8265, 66, 69, 78, 81eliccd 43832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝐴[,]𝐡))
8356, 64, 36, 37, 82cncfmptssg 44202 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’(𝐴[,]𝐡)))
84 itgsbtaddcnst.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8583, 84cncfcompt 44214 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’β„‚))
86 ax-1cn 11117 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
87 ioosscn 13335 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
88 cncfmptc 24298 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
8986, 87, 39, 88mp3an 1462 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
91 fconstmpt 5698 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
92 ioombl 24952 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
9392a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
94 volioo 24956 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
951, 2, 3, 94syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
962, 1resubcld 11591 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
98 1cnd 11158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
99 iblconst 25205 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10093, 97, 98, 99syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10191, 100eqeltrrid 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10290, 101elind 4158 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10335a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
10418recnd 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
105 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
106105tgioo2 24189 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
107 iccntr 24207 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10820, 107syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
109103, 4, 104, 106, 105, 108dvmptntr 25358 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
110 reelprrecn 11151 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
111110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
112 ioossre 13334 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
113112sseli 3944 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
114113adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
115114recnd 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
116 1cnd 11158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
117103sselda 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
118 1cnd 11158 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
119111dvmptid 25344 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 1))
120112a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
121 iooretop 24152 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
122121a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
123111, 117, 118, 119, 120, 106, 105, 122dvmptres 25350 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
1248adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
125 0cnd 11156 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
1268adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
127 0cnd 11156 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
128111, 8dvmptc 25345 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0))
129111, 126, 127, 128, 120, 106, 105, 122dvmptres 25350 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
130111, 115, 116, 123, 124, 125, 129dvmptsub 25354 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)))
131116subid1d 11509 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 βˆ’ 0) = 1)
132131mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
133109, 130, 1323eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
134 oveq2 7369 . . . 4 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
135134fveq2d 6850 . . 3 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
136 oveq1 7368 . . 3 (𝑑 = 𝐴 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
137 oveq1 7368 . . 3 (𝑑 = 𝐡 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
1381, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33itgsubsticc 44307 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑)
139124, 115pncan3d 11523 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = 𝑑)
140139fveq2d 6850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (πΉβ€˜π‘‘))
141140oveq1d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1))
142 cncff 24279 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
14384, 142syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
144143adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
145 ioossicc 13359 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
146145sseli 3944 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
147146adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
148144, 147ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
149148mulid1d 11180 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
150141, 149eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
1513, 150ditgeq3d 44295 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
152138, 151eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391  β€“cnβ†’ccncf 24262  volcvol 24850  πΏ1cibl 25004  β¨œcdit 25233   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-ditg 25234  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  44519
  Copyright terms: Public domain W3C validator