Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsbtaddcnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsbtaddcnst 43492
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgsbtaddcnst.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgsbtaddcnst.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
41, 2iccssred 13163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
54sselda 3926 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
65recnd 11002 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87recnd 11002 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
106, 9negsubd 11336 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
1110eqcomd 2746 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
1211mpteq2dva 5179 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)))
131adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
147adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
162adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716, 14resubcld 11401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
185, 14resubcld 11401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
201, 2jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
22 elicc2 13141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑡𝑡𝐵))
2524simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑡)
2613, 5, 14, 25lesub1dd 11589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑋) ≤ (𝑡𝑋))
2724simp3d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡𝐵)
285, 16, 14, 27lesub1dd 11589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 43011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
3029fmpttd 6984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
3112, 30feq1dd 42671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
321, 7resubcld 11401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
332, 7resubcld 11401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3432, 33iccssred 13163 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℝ)
35 ax-resscn 10927 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3634, 35sstrdi 3938 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℂ)
374, 35sstrdi 3938 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
3837resmptd 5946 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)))
39 ssid 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
40 cncfmptid 24072 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4139, 39, 40mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
4543, 44, 43constcncfg 43382 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4642, 45subcncf 24605 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48 rescncf 24056 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
4937, 47, 48sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5038, 49eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5112, 50eqeltrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52 cncffvrn 24057 . . . . . 6 ((((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5336, 51, 52syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐵)⟶((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5431, 53mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
5512, 54eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))))
56 eqid 2740 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠))
578adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
58 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
5957, 58addcomd 11175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑠 + 𝑋))
6059mpteq2dva 5179 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)))
61 eqid 2740 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋))
6261addccncf 24076 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
638, 62syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6460, 63eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
651adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
662adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
677adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6834sselda 3926 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6967, 68readdcld 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
70 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
7132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7233adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
73 elicc2 13141 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋))))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋))))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (𝐵𝑋)))
7675simp2d 1142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑠)
7765, 67, 68lesubadd2d 11572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑠𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑠)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑠))
7975simp3d 1143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑠 ≤ (𝐵𝑋))
8067, 68, 66leaddsub2d 11575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) ≤ 𝐵𝑠 ≤ (𝐵𝑋)))
8179, 80mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ 𝐵)
8265, 66, 69, 78, 81eliccd 43011 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝐴[,]𝐵))
8356, 64, 36, 37, 82cncfmptssg 43381 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))–cn→(𝐴[,]𝐵)))
84 itgsbtaddcnst.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8583, 84cncfcompt 43393 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))–cn→ℂ))
86 ax-1cn 10928 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
87 ioosscn 13138 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
88 cncfmptc 24071 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
8986, 87, 39, 88mp3an 1460 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
9089a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
91 fconstmpt 5649 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
92 ioombl 24725 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
9392a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
94 volioo 24729 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
951, 2, 3, 94syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
962, 1resubcld 11401 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
98 1cnd 10969 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
99 iblconst 24978 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10093, 97, 98, 99syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
10191, 100eqeltrrid 2846 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10290, 101elind 4133 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10335a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10418recnd 11002 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑋) ∈ ℂ)
105 eqid 2740 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
106105tgioo2 23962 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
107 iccntr 23980 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
10820, 107syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
109103, 4, 104, 106, 105, 108dvmptntr 25131 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑋))))
110 reelprrecn 10962 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
111110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
112 ioossre 13137 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
113112sseli 3922 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
114113adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
115114recnd 11002 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
116 1cnd 10969 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
117103sselda 3926 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
118 1cnd 10969 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
119111dvmptid 25117 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
120112a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
121 iooretop 23925 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
122121a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
123111, 117, 118, 119, 120, 106, 105, 122dvmptres 25123 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
1248adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
125 0cnd 10967 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
1268adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
127 0cnd 10967 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
128111, 8dvmptc 25118 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑋)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
129111, 126, 127, 128, 120, 106, 105, 122dvmptres 25123 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
130111, 115, 116, 123, 124, 125, 129dvmptsub 25127 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 − 0)))
131116subid1d 11319 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 − 0) = 1)
132131mpteq2dva 5179 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 − 0)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
133109, 130, 1323eqtrd 2784 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
134 oveq2 7277 . . . 4 (𝑠 = (𝑡𝑋) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑡𝑋)))
135134fveq2d 6773 . . 3 (𝑠 = (𝑡𝑋) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))))
136 oveq1 7276 . . 3 (𝑡 = 𝐴 → (𝑡𝑋) = (𝐴𝑋))
137 oveq1 7276 . . 3 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡𝑋) = (𝐵𝑋))
1381, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33itgsubsticc 43486 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) d𝑡)
139124, 115pncan3d 11333 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + (𝑡𝑋)) = 𝑡)
140139fveq2d 6773 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) = (𝐹𝑡))
141140oveq1d 7284 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) = ((𝐹𝑡) · 1))
142 cncff 24052 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
14384, 142syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
144143adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
145 ioossicc 13162 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
146145sseli 3922 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
147146adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
148144, 147ffvelrnd 6957 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
149148mulid1d 10991 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑡) · 1) = (𝐹𝑡))
150141, 149eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) = (𝐹𝑡))
1513, 150ditgeq3d 43474 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑋 + (𝑡𝑋))) · 1) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
152138, 151eqtrd 2780 1 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑡) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5079  cmpt 5162   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  cc 10868  cr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   · cmul 10875  cle 11009  cmin 11203  -cneg 11204  (,)cioo 13076  [,]cicc 13079  TopOpenctopn 17128  topGenctg 17144  fldccnfld 20593  intcnt 22164  cnccncf 24035  volcvol 24623  𝐿1cibl 24777  cdit 25006   D cdv 25023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cc 10190  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-dju 9658  df-card 9696  df-acn 9699  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ioc 13081  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-limsup 15176  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-sum 15394  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-rest 17129  df-topn 17130  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-topgen 17150  df-pt 17151  df-prds 17154  df-xrs 17209  df-qtop 17214  df-imas 17215  df-xps 17217  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-mulg 18697  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-fbas 20590  df-fg 20591  df-cnfld 20594  df-top 22039  df-topon 22056  df-topsp 22078  df-bases 22092  df-cld 22166  df-ntr 22167  df-cls 22168  df-nei 22245  df-lp 22283  df-perf 22284  df-cn 22374  df-cnp 22375  df-haus 22462  df-cmp 22534  df-tx 22709  df-hmeo 22902  df-fil 22993  df-fm 23085  df-flim 23086  df-flf 23087  df-xms 23469  df-ms 23470  df-tms 23471  df-cncf 24037  df-ovol 24624  df-vol 24625  df-mbf 24779  df-itg1 24780  df-itg2 24781  df-ibl 24782  df-itg 24783  df-0p 24830  df-ditg 25007  df-limc 25026  df-dv 25027
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  43698
  Copyright terms: Public domain W3C validator