Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itgsbtaddcnst.a |
. . 3
β’ (π β π΄ β β) |
2 | | itgsbtaddcnst.b |
. . 3
β’ (π β π΅ β β) |
3 | | itgsbtaddcnst.aleb |
. . 3
β’ (π β π΄ β€ π΅) |
4 | 1, 2 | iccssred 13360 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π΄[,]π΅) β β) |
5 | 4 | sselda 3948 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π‘ β β) |
6 | 5 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π‘ β β) |
7 | | itgsbtaddcnst.x |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β β) |
8 | 7 | recnd 11191 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π β β) |
10 | 6, 9 | negsubd 11526 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ + -π) = (π‘ β π)) |
11 | 10 | eqcomd 2739 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β π) = (π‘ + -π)) |
12 | 11 | mpteq2dva 5209 |
. . . 4
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π)) = (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π))) |
13 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π΄ β β) |
14 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π β β) |
15 | 13, 14 | resubcld 11591 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π΄ β π) β β) |
16 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π΅ β β) |
17 | 16, 14 | resubcld 11591 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π΅ β π) β β) |
18 | 5, 14 | resubcld 11591 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β π) β β) |
19 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π‘ β (π΄[,]π΅)) |
20 | 1, 2 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΄ β β β§ π΅ β β)) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π΄ β β β§ π΅ β β)) |
22 | | elicc2 13338 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β) β (π‘ β (π΄[,]π΅) β (π‘ β β β§ π΄ β€ π‘ β§ π‘ β€ π΅))) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β (π΄[,]π΅) β (π‘ β β β§ π΄ β€ π‘ β§ π‘ β€ π΅))) |
24 | 19, 23 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β β β§ π΄ β€ π‘ β§ π‘ β€ π΅)) |
25 | 24 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π΄ β€ π‘) |
26 | 13, 5, 14, 25 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π΄ β π) β€ (π‘ β π)) |
27 | 24 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β π‘ β€ π΅) |
28 | 5, 16, 14, 27 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β π) β€ (π΅ β π)) |
29 | 15, 17, 18, 26, 28 | eliccd 43832 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β π) β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
30 | 29 | fmpttd 7067 |
. . . . . 6
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π)):(π΄[,]π΅)βΆ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
31 | 12, 30 | feq1dd 43476 |
. . . . 5
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)):(π΄[,]π΅)βΆ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
32 | 1, 7 | resubcld 11591 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π΄ β π) β β) |
33 | 2, 7 | resubcld 11591 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π΅ β π) β β) |
34 | 32, 33 | iccssred 13360 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β β) |
35 | | ax-resscn 11116 |
. . . . . . 7
β’ β
β β |
36 | 34, 35 | sstrdi 3960 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β β) |
37 | 4, 35 | sstrdi 3960 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π΄[,]π΅) β β) |
38 | 37 | resmptd 5998 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π‘ β β β¦ (π‘ β π)) βΎ (π΄[,]π΅)) = (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π))) |
39 | | ssid 3970 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ β
β β |
40 | | cncfmptid 24299 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((β
β β β§ β β β) β (π‘ β β β¦ π‘) β (ββcnββ)) |
41 | 39, 39, 40 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π‘ β β β¦ π‘) β (ββcnββ) |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π‘ β β β¦ π‘) β (ββcnββ)) |
43 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β β
β β) |
44 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β π β
β) |
45 | 43, 44, 43 | constcncfg 44203 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π‘ β β β¦ π) β (ββcnββ)) |
46 | 42, 45 | subcncf 24832 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β (π‘ β β β¦ (π‘ β π)) β (ββcnββ)) |
47 | 8, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π‘ β β β¦ (π‘ β π)) β (ββcnββ)) |
48 | | rescncf 24283 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΄[,]π΅) β β β ((π‘ β β β¦ (π‘ β π)) β (ββcnββ) β ((π‘ β β β¦ (π‘ β π)) βΎ (π΄[,]π΅)) β ((π΄[,]π΅)βcnββ))) |
49 | 37, 47, 48 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π‘ β β β¦ (π‘ β π)) βΎ (π΄[,]π΅)) β ((π΄[,]π΅)βcnββ)) |
50 | 38, 49 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π)) β ((π΄[,]π΅)βcnββ)) |
51 | 12, 50 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . 6
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)) β ((π΄[,]π΅)βcnββ)) |
52 | | cncfcdm 24284 |
. . . . . 6
β’ ((((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β β β§ (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)) β ((π΄[,]π΅)βcnββ)) β ((π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)) β ((π΄[,]π΅)βcnβ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)):(π΄[,]π΅)βΆ((π΄ β π)[,](π΅ β π)))) |
53 | 36, 51, 52 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (π β ((π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)) β ((π΄[,]π΅)βcnβ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)):(π΄[,]π΅)βΆ((π΄ β π)[,](π΅ β π)))) |
54 | 31, 53 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ + -π)) β ((π΄[,]π΅)βcnβ((π΄ β π)[,](π΅ β π)))) |
55 | 12, 54 | eqeltrd 2834 |
. . 3
β’ (π β (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π)) β ((π΄[,]π΅)βcnβ((π΄ β π)[,](π΅ β π)))) |
56 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦ (π + π )) = (π β β β¦ (π + π )) |
57 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
58 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
59 | 57, 58 | addcomd 11365 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (π + π ) = (π + π)) |
60 | 59 | mpteq2dva 5209 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β β β¦ (π + π )) = (π β β β¦ (π + π))) |
61 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β¦ (π + π)) = (π β β β¦ (π + π)) |
62 | 61 | addccncf 24303 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β (π β β β¦ (π + π)) β (ββcnββ)) |
63 | 8, 62 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β β β¦ (π + π)) β (ββcnββ)) |
64 | 60, 63 | eqeltrd 2834 |
. . . . 5
β’ (π β (π β β β¦ (π + π )) β (ββcnββ)) |
65 | 1 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π΄ β β) |
66 | 2 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π΅ β β) |
67 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π β β) |
68 | 34 | sselda 3948 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π β β) |
69 | 67, 68 | readdcld 11192 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π + π ) β β) |
70 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) |
71 | 32 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π΄ β π) β β) |
72 | 33 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π΅ β π) β β) |
73 | | elicc2 13338 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄ β π) β β β§ (π΅ β π) β β) β (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β (π β β β§ (π΄ β π) β€ π β§ π β€ (π΅ β π)))) |
74 | 71, 72, 73 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β (π β β β§ (π΄ β π) β€ π β§ π β€ (π΅ β π)))) |
75 | 70, 74 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π β β β§ (π΄ β π) β€ π β§ π β€ (π΅ β π))) |
76 | 75 | simp2d 1144 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π΄ β π) β€ π ) |
77 | 65, 67, 68 | lesubadd2d 11762 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β ((π΄ β π) β€ π β π΄ β€ (π + π ))) |
78 | 76, 77 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π΄ β€ (π + π )) |
79 | 75 | simp3d 1145 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β π β€ (π΅ β π)) |
80 | 67, 68, 66 | leaddsub2d 11765 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β ((π + π ) β€ π΅ β π β€ (π΅ β π))) |
81 | 79, 80 | mpbird 257 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π + π ) β€ π΅) |
82 | 65, 66, 69, 78, 81 | eliccd 43832 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π))) β (π + π ) β (π΄[,]π΅)) |
83 | 56, 64, 36, 37, 82 | cncfmptssg 44202 |
. . . 4
β’ (π β (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β¦ (π + π )) β (((π΄ β π)[,](π΅ β π))βcnβ(π΄[,]π΅))) |
84 | | itgsbtaddcnst.f |
. . . 4
β’ (π β πΉ β ((π΄[,]π΅)βcnββ)) |
85 | 83, 84 | cncfcompt 44214 |
. . 3
β’ (π β (π β ((π΄ β π)[,](π΅ β π)) β¦ (πΉβ(π + π ))) β (((π΄ β π)[,](π΅ β π))βcnββ)) |
86 | | ax-1cn 11117 |
. . . . . 6
β’ 1 β
β |
87 | | ioosscn 13335 |
. . . . . 6
β’ (π΄(,)π΅) β β |
88 | | cncfmptc 24298 |
. . . . . 6
β’ ((1
β β β§ (π΄(,)π΅) β β β§ β β
β) β (π‘ β
(π΄(,)π΅) β¦ 1) β ((π΄(,)π΅)βcnββ)) |
89 | 86, 87, 39, 88 | mp3an 1462 |
. . . . 5
β’ (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1) β ((π΄(,)π΅)βcnββ) |
90 | 89 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (π β (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1) β ((π΄(,)π΅)βcnββ)) |
91 | | fconstmpt 5698 |
. . . . 5
β’ ((π΄(,)π΅) Γ {1}) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1) |
92 | | ioombl 24952 |
. . . . . . 7
β’ (π΄(,)π΅) β dom vol |
93 | 92 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (π΄(,)π΅) β dom vol) |
94 | | volioo 24956 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β β§ π΄ β€ π΅) β (volβ(π΄(,)π΅)) = (π΅ β π΄)) |
95 | 1, 2, 3, 94 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β (volβ(π΄(,)π΅)) = (π΅ β π΄)) |
96 | 2, 1 | resubcld 11591 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π΅ β π΄) β β) |
97 | 95, 96 | eqeltrd 2834 |
. . . . . 6
β’ (π β (volβ(π΄(,)π΅)) β β) |
98 | | 1cnd 11158 |
. . . . . 6
β’ (π β 1 β
β) |
99 | | iblconst 25205 |
. . . . . 6
β’ (((π΄(,)π΅) β dom vol β§ (volβ(π΄(,)π΅)) β β β§ 1 β β)
β ((π΄(,)π΅) Γ {1}) β
πΏ1) |
100 | 93, 97, 98, 99 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β ((π΄(,)π΅) Γ {1}) β
πΏ1) |
101 | 91, 100 | eqeltrrid 2839 |
. . . 4
β’ (π β (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1) β
πΏ1) |
102 | 90, 101 | elind 4158 |
. . 3
β’ (π β (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1) β (((π΄(,)π΅)βcnββ) β©
πΏ1)) |
103 | 35 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β β β
β) |
104 | 18 | recnd 11191 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄[,]π΅)) β (π‘ β π) β β) |
105 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(TopOpenββfld) =
(TopOpenββfld) |
106 | 105 | tgioo2 24189 |
. . . . 5
β’
(topGenβran (,)) = ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
107 | | iccntr 24207 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β) β
((intβ(topGenβran (,)))β(π΄[,]π΅)) = (π΄(,)π΅)) |
108 | 20, 107 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (π β
((intβ(topGenβran (,)))β(π΄[,]π΅)) = (π΄(,)π΅)) |
109 | 103, 4, 104, 106, 105, 108 | dvmptntr 25358 |
. . . 4
β’ (π β (β D (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π))) = (β D (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ (π‘ β π)))) |
110 | | reelprrecn 11151 |
. . . . . 6
β’ β
β {β, β} |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β β β {β,
β}) |
112 | | ioossre 13334 |
. . . . . . . 8
β’ (π΄(,)π΅) β β |
113 | 112 | sseli 3944 |
. . . . . . 7
β’ (π‘ β (π΄(,)π΅) β π‘ β β) |
114 | 113 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β π‘ β β) |
115 | 114 | recnd 11191 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β π‘ β β) |
116 | | 1cnd 11158 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β 1 β β) |
117 | 103 | sselda 3948 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β β) β π‘ β β) |
118 | | 1cnd 11158 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β β) β 1 β
β) |
119 | 111 | dvmptid 25344 |
. . . . . 6
β’ (π β (β D (π‘ β β β¦ π‘)) = (π‘ β β β¦ 1)) |
120 | 112 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (π΄(,)π΅) β β) |
121 | | iooretop 24152 |
. . . . . . 7
β’ (π΄(,)π΅) β (topGenβran
(,)) |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (π΄(,)π΅) β (topGenβran
(,))) |
123 | 111, 117,
118, 119, 120, 106, 105, 122 | dvmptres 25350 |
. . . . 5
β’ (π β (β D (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ π‘)) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1)) |
124 | 8 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β π β β) |
125 | | 0cnd 11156 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β 0 β β) |
126 | 8 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β β) β π β β) |
127 | | 0cnd 11156 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β β) β 0 β
β) |
128 | 111, 8 | dvmptc 25345 |
. . . . . 6
β’ (π β (β D (π‘ β β β¦ π)) = (π‘ β β β¦ 0)) |
129 | 111, 126,
127, 128, 120, 106, 105, 122 | dvmptres 25350 |
. . . . 5
β’ (π β (β D (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ π)) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 0)) |
130 | 111, 115,
116, 123, 124, 125, 129 | dvmptsub 25354 |
. . . 4
β’ (π β (β D (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ (π‘ β π))) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ (1 β 0))) |
131 | 116 | subid1d 11509 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β (1 β 0) =
1) |
132 | 131 | mpteq2dva 5209 |
. . . 4
β’ (π β (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ (1 β 0)) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1)) |
133 | 109, 130,
132 | 3eqtrd 2777 |
. . 3
β’ (π β (β D (π‘ β (π΄[,]π΅) β¦ (π‘ β π))) = (π‘ β (π΄(,)π΅) β¦ 1)) |
134 | | oveq2 7369 |
. . . 4
β’ (π = (π‘ β π) β (π + π ) = (π + (π‘ β π))) |
135 | 134 | fveq2d 6850 |
. . 3
β’ (π = (π‘ β π) β (πΉβ(π + π )) = (πΉβ(π + (π‘ β π)))) |
136 | | oveq1 7368 |
. . 3
β’ (π‘ = π΄ β (π‘ β π) = (π΄ β π)) |
137 | | oveq1 7368 |
. . 3
β’ (π‘ = π΅ β (π‘ β π) = (π΅ β π)) |
138 | 1, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33 | itgsubsticc 44307 |
. 2
β’ (π β β¨[(π΄ β π) β (π΅ β π)](πΉβ(π + π )) dπ = β¨[π΄ β π΅]((πΉβ(π + (π‘ β π))) Β· 1) dπ‘) |
139 | 124, 115 | pncan3d 11523 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β (π + (π‘ β π)) = π‘) |
140 | 139 | fveq2d 6850 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β (πΉβ(π + (π‘ β π))) = (πΉβπ‘)) |
141 | 140 | oveq1d 7376 |
. . . 4
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β ((πΉβ(π + (π‘ β π))) Β· 1) = ((πΉβπ‘) Β· 1)) |
142 | | cncff 24279 |
. . . . . . . 8
β’ (πΉ β ((π΄[,]π΅)βcnββ) β πΉ:(π΄[,]π΅)βΆβ) |
143 | 84, 142 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΉ:(π΄[,]π΅)βΆβ) |
144 | 143 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β πΉ:(π΄[,]π΅)βΆβ) |
145 | | ioossicc 13359 |
. . . . . . . 8
β’ (π΄(,)π΅) β (π΄[,]π΅) |
146 | 145 | sseli 3944 |
. . . . . . 7
β’ (π‘ β (π΄(,)π΅) β π‘ β (π΄[,]π΅)) |
147 | 146 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β π‘ β (π΄[,]π΅)) |
148 | 144, 147 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β (πΉβπ‘) β β) |
149 | 148 | mulid1d 11180 |
. . . 4
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β ((πΉβπ‘) Β· 1) = (πΉβπ‘)) |
150 | 141, 149 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((π β§ π‘ β (π΄(,)π΅)) β ((πΉβ(π + (π‘ β π))) Β· 1) = (πΉβπ‘)) |
151 | 3, 150 | ditgeq3d 44295 |
. 2
β’ (π β β¨[π΄ β π΅]((πΉβ(π + (π‘ β π))) Β· 1) dπ‘ = β¨[π΄ β π΅](πΉβπ‘) dπ‘) |
152 | 138, 151 | eqtrd 2773 |
1
β’ (π β β¨[(π΄ β π) β (π΅ β π)](πΉβ(π + π )) dπ = β¨[π΄ β π΅](πΉβπ‘) dπ‘) |