Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsbtaddcnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsbtaddcnst 45283
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgsbtaddcnst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgsbtaddcnst.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑   πœ‘,𝑠,𝑑

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgsbtaddcnst.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
41, 2iccssred 13429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
54sselda 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
65recnd 11258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
87recnd 11258 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
106, 9negsubd 11593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 + -𝑋) = (𝑑 βˆ’ 𝑋))
1110eqcomd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝑑 + -𝑋))
1211mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)))
131adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
147adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
162adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716, 14resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
185, 14resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
201, 2jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
22 elicc2 13407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝐡))
2524simp2d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑑)
2613, 5, 14, 25lesub1dd 11846 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑋))
2724simp3d 1142 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ≀ 𝐡)
285, 16, 14, 27lesub1dd 11846 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 44802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3029fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
3112, 30feq1dd 44453 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
321, 7resubcld 11658 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
332, 7resubcld 11658 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
3432, 33iccssred 13429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† ℝ)
35 ax-resscn 11181 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
3634, 35sstrdi 3990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚)
374, 35sstrdi 3990 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
3837resmptd 6038 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
39 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
40 cncfmptid 24807 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4139, 39, 40mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4543, 44, 43constcncfg 45173 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4642, 45subcncf 25347 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
48 rescncf 24791 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
4937, 47, 48sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5038, 49eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5112, 50eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
52 cncfcdm 24792 . . . . . 6 ((((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) βŠ† β„‚ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5336, 51, 52syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)):(𝐴[,]𝐡)⟢((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5431, 53mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 + -𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
5512, 54eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))))
56 eqid 2727 . . . . 5 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠))
578adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
58 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5957, 58addcomd 11432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑠 + 𝑋))
6059mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)))
61 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋))
6261addccncf 24811 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
638, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑠 + 𝑋)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6460, 63eqeltrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
651adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
662adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
677adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6834sselda 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6967, 68readdcld 11259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
70 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7132adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
7233adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
73 elicc2 13407 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7471, 72, 73syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
7675simp2d 1141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠)
7765, 67, 68lesubadd2d 11829 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑠 ↔ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐴 ≀ (𝑋 + 𝑠))
7975simp3d 1142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋))
8067, 68, 66leaddsub2d 11832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡 ↔ 𝑠 ≀ (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ≀ 𝐡)
8265, 66, 69, 78, 81eliccd 44802 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝐴[,]𝐡))
8356, 64, 36, 37, 82cncfmptssg 45172 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (𝑋 + 𝑠)) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’(𝐴[,]𝐡)))
84 itgsbtaddcnst.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8583, 84cncfcompt 45184 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋)) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))–cnβ†’β„‚))
86 ax-1cn 11182 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
87 ioosscn 13404 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
88 cncfmptc 24806 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
8986, 87, 39, 88mp3an 1458 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
91 fconstmpt 5734 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
92 ioombl 25468 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
9392a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
94 volioo 25472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
951, 2, 3, 94syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
962, 1resubcld 11658 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96eqeltrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
98 1cnd 11225 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
99 iblconst 25721 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10093, 97, 98, 99syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
10191, 100eqeltrrid 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10290, 101elind 4190 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
10335a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
10418recnd 11258 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
105 eqid 2727 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
106105tgioo2 24693 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
107 iccntr 24711 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10820, 107syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
109103, 4, 104, 106, 105, 108dvmptntr 25877 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
110 reelprrecn 11216 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
111110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
112 ioossre 13403 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
113112sseli 3974 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
114113adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
115114recnd 11258 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
116 1cnd 11225 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
117103sselda 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
118 1cnd 11225 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
119111dvmptid 25863 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 1))
120112a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
121 iooretop 24656 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
122121a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
123111, 117, 118, 119, 120, 106, 105, 122dvmptres 25869 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑑)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
1248adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
125 0cnd 11223 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
1268adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
127 0cnd 11223 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
128111, 8dvmptc 25864 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0))
129111, 126, 127, 128, 120, 106, 105, 122dvmptres 25869 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑋)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
130111, 115, 116, 123, 124, 125, 129dvmptsub 25873 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)))
131116subid1d 11576 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 βˆ’ 0) = 1)
132131mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
133109, 130, 1323eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
134 oveq2 7422 . . . 4 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)))
135134fveq2d 6895 . . 3 (𝑠 = (𝑑 βˆ’ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))))
136 oveq1 7421 . . 3 (𝑑 = 𝐴 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
137 oveq1 7421 . . 3 (𝑑 = 𝐡 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
1381, 2, 3, 55, 85, 102, 133, 135, 136, 137, 32, 33itgsubsticc 45277 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑)
139124, 115pncan3d 11590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋)) = 𝑑)
140139fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (πΉβ€˜π‘‘))
141140oveq1d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1))
142 cncff 24787 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
14384, 142syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
144143adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
145 ioossicc 13428 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
146145sseli 3974 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
147146adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
148144, 147ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
149148mulridd 11247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
150141, 149eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘‘))
1513, 150ditgeq3d 45265 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡]((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑑 βˆ’ 𝑋))) Β· 1) d𝑑 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
152138, 151eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ ⨜[(𝐴 βˆ’ 𝑋) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋)](πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  -cneg 11461  (,)cioo 13342  [,]cicc 13345  TopOpenctopn 17388  topGenctg 17404  β„‚fldccnfld 21259  intcnt 22895  β€“cnβ†’ccncf 24770  volcvol 25366  πΏ1cibl 25520  β¨œcdit 25749   D cdv 25766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573  df-ditg 25750  df-limc 25769  df-dv 25770
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  45489
  Copyright terms: Public domain W3C validator