MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumo1 24931
Description: The sum Σ𝑛𝑥(1 / √𝑛) has the asymptotic expansion 2√𝑥 + 𝐿 + 𝑂(1 / √𝑥), for some 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
divsqrsum2.1 (𝜑𝐹𝑟 𝐿)
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumo1 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝐿   𝑦,𝑛,𝜑   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumo1
StepHypRef Expression
1 rpssre 12046 . . 3 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 divsqrtsum.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
43divsqrsumf 24928 . . . . . 6 𝐹:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6503 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6 rpsup 12873 . . . . . . 7 sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
84a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ+⟶ℝ)
98feqmptd 6393 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹𝑦)))
10 divsqrsum2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑟 𝐿)
119, 10eqbrtrrd 4811 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
125adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
137, 11, 12rlimrecl 14519 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
14 resubcl 10551 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
155, 13, 14syl2anr 584 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
1615recnd 10274 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℂ)
17 rpsqrtcl 14213 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
1817adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12077 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10266 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦)) ∈ ℂ)
21 1red 10261 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2216, 19absmuld 14401 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))))
2318rprege0d 12082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)))
24 absid 14244 . . . . . . 7 (((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
2625oveq2d 6812 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
2722, 26eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
283, 10divsqrtsum2 24930 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦)))
2916abscld 14383 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ∈ ℝ)
30 1red 10261 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3129, 30, 18lemuldivd 12124 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦))))
3228, 31mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1)
3327, 32eqbrtrd 4809 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
3433adantrr 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
352, 20, 21, 21, 34elo1d 14475 1 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  supcsup 8506  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  +crp 12035  ...cfz 12533  cfl 12799  csqrt 14181  abscabs 14182  𝑟 crli 14424  𝑂(1)co1 14425  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-o1 14429  df-lo1 14430  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator