Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumo1 25548
 Description: The sum Σ𝑛 ≤ 𝑥(1 / √𝑛) has the asymptotic expansion 2√𝑥 + 𝐿 + 𝑂(1 / √𝑥), for some 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
divsqrsum2.1 (𝜑𝐹𝑟 𝐿)
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumo1 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝐿   𝑦,𝑛,𝜑   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumo1
StepHypRef Expression
1 rpssre 12375 . . 3 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 divsqrtsum.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
43divsqrsumf 25545 . . . . . 6 𝐹:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6826 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6 rpsup 13218 . . . . . . 7 sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
84a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ+⟶ℝ)
98feqmptd 6709 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹𝑦)))
10 divsqrsum2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑟 𝐿)
119, 10eqbrtrrd 5066 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
125adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
137, 11, 12rlimrecl 14917 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
14 resubcl 10928 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
155, 13, 14syl2anr 598 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
1615recnd 10647 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑦) − 𝐿) ∈ ℂ)
17 rpsqrtcl 14604 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
1817adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12412 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10639 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦)) ∈ ℂ)
21 1red 10620 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2216, 19absmuld 14794 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))))
2318rprege0d 12417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)))
24 absid 14636 . . . . . . 7 (((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
2625oveq2d 7149 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
2722, 26eqtrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
283, 10divsqrtsum2 25547 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦)))
2916abscld 14776 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ∈ ℝ)
30 1red 10620 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3129, 30, 18lemuldivd 12459 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦))))
3228, 31mpbird 259 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1)
3327, 32eqbrtrd 5064 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
3433adantrr 715 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
352, 20, 21, 21, 34elo1d 14873 1 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  supcsup 8882  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   · cmul 10520  +∞cpnf 10650  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ≤ cle 10654   − cmin 10848   / cdiv 11275  2c2 11671  ℝ+crp 12368  ...cfz 12876  ⌊cfl 13144  √csqrt 14572  abscabs 14573   ⇝𝑟 crli 14822  𝑂(1)co1 14823  Σcsu 15022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-o1 14827  df-lo1 14828  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-cxp 25128 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator