Theorem divsqrtsumo1 26916

Description: The sum Σ𝑛 ≤ 𝑥(1 / √𝑛) has the asymptotic expansion 2√𝑥 + 𝐿 + 𝑂(1 / √𝑥), for some 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
divsqrsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumo1	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝐿   𝑦,𝑛,𝜑   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12893	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		divsqrtsum.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
4	3	divsqrsumf 26913	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7011	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
6		rpsup 13765	. . . . . . 7 ⊢ sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
8	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
9	8	feqmptd 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹‘𝑦)))
10		divsqrsum2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
11	9, 10	eqbrtrrd 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
12	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	rlimrecl 15482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14		resubcl 11420	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
15	5, 13, 14	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℂ)
17		rpsqrtcl 15166	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
19	18	rpcnd 12931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦)) ∈ ℂ)
21		1red 11108	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
22	16, 19	absmuld 15359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))))
23	18	rprege0d 12936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)))
24		absid 15198	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
26	25	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
27	22, 26	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
28	3, 10	divsqrtsum2 26915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦)))
29	16	abscld 15341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ∈ ℝ)
30		1red 11108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
31	29, 30, 18	lemuldivd 12978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦))))
32	28, 31	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1)
33	27, 32	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
34	33	adantrr 717	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
35	2, 20, 21, 21, 34	elo1d 15438	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  ℝ⁺crp 12885  ...cfz 13402  ⌊cfl 13689  √csqrt 15135  abscabs 15136   ⇝_𝑟 crli 15387  𝑂(1)co1 15388  Σcsu 15588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-o1 15392  df-lo1 15393  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-cmp 23297  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26487  df-cxp 26488

This theorem is referenced by: (None)