Theorem divsqrtsumo1 27320

Description: The sum Σ𝑛 ≤ 𝑥(1 / √𝑛) has the asymptotic expansion 2√𝑥 + 𝐿 + 𝑂(1 / √𝑥), for some 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
divsqrsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumo1	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝐿   𝑦,𝑛,𝜑   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13135	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		divsqrtsum.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
4	3	divsqrsumf 27317	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
5	4	ffvelcdmi 7088	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
6		rpsup 14013	. . . . . . 7 ⊢ sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
8	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
9	8	feqmptd 6958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹‘𝑦)))
10		divsqrsum2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
11	9, 10	eqbrtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝐹‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
12	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	rlimrecl 15756	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14		resubcl 11629	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
15	5, 13, 14	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑦) − 𝐿) ∈ ℂ)
17		rpsqrtcl 15440	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℝ+)
19	18	rpcnd 13173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11336	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦)) ∈ ℂ)
21		1red 11316	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
22	16, 19	absmuld 15633	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))))
23	18	rprege0d 13178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)))
24		absid 15472	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑦)) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(√‘𝑦)) = (√‘𝑦))
26	25	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (abs‘(√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
27	22, 26	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) = ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)))
28	3, 10	divsqrtsum2 27319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦)))
29	16	abscld 15615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ∈ ℝ)
30		1red 11316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
31	29, 30, 18	lemuldivd 13220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝑦))))
32	28, 31	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − 𝐿)) · (√‘𝑦)) ≤ 1)
33	27, 32	eqbrtrd 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
34	33	adantrr 730	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (abs‘(((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ≤ 1)
35	2, 20, 21, 21, 34	elo1d 15712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐹‘𝑦) − 𝐿) · (√‘𝑦))) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  supcsup 9439  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   · cmul 11212  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  ℝ⁺crp 13127  ...cfz 13646  ⌊cfl 13937  √csqrt 15409  abscabs 15410   ⇝_𝑟 crli 15661  𝑂(1)co1 15662  Σcsu 15862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-o1 15666  df-lo1 15667  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-cxp 26894

This theorem is used by: (None)