MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem2 26337
Description: Lemma for jensen 26338. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
jensen.7 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
jensenlem.1 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
jensenlem.2 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
jensenlem.l 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
jensenlem.3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
jensenlem.4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
jensenlem.5 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
Assertion
Ref Expression
jensenlem2 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 20821 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 20819 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
3 ringabl 20002 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 jensen.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 jensenlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
76unssad 4147 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐴)
85, 7ssfid 9211 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 resubdrg 21012 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
109simpli 484 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
11 subrgsubg 20228 . . . . . . . 8 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
13 remulcl 11136 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
15 jensen.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
16 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
17 fss 6685 . . . . . . . . . 10 ((𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑇:𝐴⟶ℝ)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐴⟶ℝ)
19 jensen.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
20 jensen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
2119, 20fssd 6686 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐴⟶ℝ)
22 inidm 4178 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐴) = 𝐴
2314, 18, 21, 5, 5, 22off 7635 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇f · 𝑋):𝐴⟶ℝ)
2423, 7fssresd 6709 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
25 c0ex 11149 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ V)
2724, 8, 26fdmfifsupp 9315 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) finSupp 0)
281, 4, 8, 12, 24, 27gsumsubgcl 19697 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
2928recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
30 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3116, 30sstri 3953 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
326unssbd 4148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
33 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3433snss 4746 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
3532, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧𝐴)
3615, 35ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞))
3731, 36sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
3819, 35ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ 𝐷)
3920, 38sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℝ)
4039recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℂ)
4137, 40mulcld 11175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
42 jensen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
43 jensen.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
44 jensen.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
45 jensen.8 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
46 jensenlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
47 jensenlem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
48 jensenlem.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
4920, 42, 43, 5, 15, 19, 44, 45, 46, 6, 47, 48jensenlem1 26336 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
50 jensenlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
5150rpred 12957 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
52 elrege0 13371 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑇𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑇𝑧)))
5352simplbi 498 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5436, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5551, 54readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + (𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5649, 55eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5756recnd 11183 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
58 0red 11158 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5950rpgt0d 12960 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑆)
6052simprbi 497 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6136, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6251, 54addge01d 11743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑇𝑧) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧))))
6361, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧)))
6463, 49breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐿)
6558, 51, 56, 59, 64ltletrd 11315 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐿)
6665gt0ne0d 11719 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
6729, 41, 57, 66divdird 11969 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
68 cnfldbas 20800 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
69 cnfldadd 20801 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
70 ringcmn 20003 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
712, 70mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
727sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
7315ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7472, 73syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7531, 74sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
7620adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ⊆ ℝ)
7719ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
7872, 77syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
7976, 78sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
8079recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8175, 80mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) ∈ ℂ)
82 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑧))
83 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑧))
8482, 83oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) = ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)))
8568, 69, 71, 8, 81, 35, 46, 41, 84gsumunsn 19737 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
8615feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑇𝑥)))
8719feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑋𝑥)))
885, 73, 77, 86, 87offval2 7637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · 𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
8988reseq1d 5936 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
906resmptd 5994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9189, 90eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9291oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9388reseq1d 5936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵))
947resmptd 5994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9593, 94eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9695oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9796oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
9885, 92, 973eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
9998oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿))
10051recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
10150rpne0d 12962 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
10229, 100, 57, 101, 66dmdcand 11960 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
10357, 100, 57, 66divsubdird 11970 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)))
104100, 37, 49mvrladdd 11568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑆) = (𝑇𝑧))
105104oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
10657, 66dividd 11929 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 / 𝐿) = 1)
107106oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
108103, 105, 1073eqtr3rd 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
109108oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
11037, 40, 57, 66div23d 11968 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
111109, 110eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿))
112102, 111oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
11367, 99, 1123eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
114 jensenlem.4 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
11551, 56, 66redivcld 11983 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ)
11650rpge0d 12961 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
117 divge0 12024 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
11851, 116, 56, 65, 117syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
11957mulid1d 11172 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 1) = 𝐿)
12064, 119breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝐿 · 1))
121 1red 11156 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122 ledivmul 12031 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
12351, 121, 56, 65, 122syl112anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
124120, 123mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ≤ 1)
125 elicc01 13383 . . . . . 6 ((𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑆 / 𝐿) ∧ (𝑆 / 𝐿) ≤ 1))
126115, 118, 124, 125syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))
127114, 38, 1263jca 1128 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)))
12820, 43cvxcl 26334 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))) → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
129127, 128mpdan 685 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
130113, 129eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷)
13142, 129ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
13242, 114ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
133115, 132remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ∈ ℝ)
13442, 38ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℝ)
13554, 134remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
136135, 56, 66redivcld 11983 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) ∈ ℝ)
137133, 136readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ∈ ℝ)
138 fco 6692 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ 𝑋:𝐴𝐷) → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
13942, 19, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
14014, 18, 139, 5, 5, 22off 7635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · (𝐹𝑋)):𝐴⟶ℝ)
141140, 7fssresd 6709 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
142141, 8, 26fdmfifsupp 9315 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) finSupp 0)
1431, 4, 8, 12, 141, 142gsumsubgcl 19697 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
144143, 51, 101redivcld 11983 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ)
145115, 144remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
146 1re 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
147 resubcl 11465 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ) → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
148146, 115, 147sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
149148, 134remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
150145, 149readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
151 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
152151fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
153 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
154153oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · (𝐹𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
155154oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
156152, 155breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
157156imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
158 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))
159158oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))))
160159fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))))
161 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
162161oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
163162oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
164160, 163breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
165164imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
166 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
167 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (1 − 𝑡) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
168167oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))
169166, 168oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
170169fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
171 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) = ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
172167oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
173171, 172oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
174170, 173breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ↔ (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
175174imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
17645expcom 414 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
177157, 165, 175, 176vtocl3ga 3538 . . . . . . 7 ((((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
178114, 38, 126, 177syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
179178pm2.43i 52 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
180108oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
181134recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
18237, 181, 57, 66div23d 11968 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
183180, 182eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿))
184183oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
185179, 184breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
186182, 180eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
187186oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
188 jensenlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
18951, 56, 59, 65divgt0d 12090 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑆 / 𝐿))
190 lemul2 12008 . . . . . . . 8 (((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ ∧ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 / 𝐿))) → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
191132, 144, 115, 189, 190syl112anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
192188, 191mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
193133, 145, 149, 192leadd1dd 11769 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
194187, 193eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
195131, 137, 150, 185, 194letrd 11312 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
196113fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
197143recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
198135recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℂ)
199197, 198, 57, 66divdird 11969 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
20016, 73sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ ℝ)
20142ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
20277, 201syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
203200, 202remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℝ)
204203recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
20572, 204syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
20683fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑋𝑥)) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
20782, 206oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) = ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
20868, 69, 71, 8, 205, 35, 46, 198, 207gsumunsn 19737 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
20942feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
210 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑥)))
21177, 87, 209, 210fmptco 7075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑥))))
2125, 73, 202, 86, 211offval2 7637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · (𝐹𝑋)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
213212reseq1d 5936 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
2146resmptd 5994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
215213, 214eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
216215oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
217212reseq1d 5936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵))
2187resmptd 5994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
219217, 218eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
220219oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
221220oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
222208, 216, 2213eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
223222oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿))
224197, 100, 57, 101, 66dmdcand 11960 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
225224, 183oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
226199, 223, 2253eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
227195, 196, 2263brtr4d 5137 . 2 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿))
228130, 227jca 512 1 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267   Σg cgsu 17322  SubGrpcsubg 18922  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563  Ringcrg 19964  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  fldccnfld 20796  fldcrefld 21008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-cnfld 20797  df-refld 21009
This theorem is referenced by:  jensen  26338
  Copyright terms: Public domain W3C validator