MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jensenlem2 26492
Description: Lemma for jensen 26493. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
jensenlem.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
jensenlem.2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
jensenlem.l 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
jensenlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
jensenlem.4 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
jensenlem.5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))
Assertion
Ref Expression
jensenlem2 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑧,π‘Ž,𝐡,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)
Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 20969 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2 cnring 20967 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ Ring
3 ringabl 20098 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Abel)
5 jensen.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
6 jensenlem.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
76unssad 4188 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
85, 7ssfid 9267 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
9 resubdrg 21161 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
109simpli 485 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
11 subrgsubg 20325 . . . . . . . 8 (ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ ℝ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
13 remulcl 11195 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
15 jensen.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
16 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
17 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
19 jensen.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
20 jensen.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
2119, 20fssd 6736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΄βŸΆβ„)
22 inidm 4219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2314, 18, 21, 5, 5, 22off 7688 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„)
2423, 7fssresd 6759 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„)
25 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2724, 8, 26fdmfifsupp 9373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
281, 4, 8, 12, 24, 27gsumsubgcl 19788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) ∈ ℝ)
2928recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) ∈ β„‚)
30 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
3116, 30sstri 3992 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
326unssbd 4189 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
33 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3433snss 4790 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
3532, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3615, 35ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
3731, 36sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3819, 35ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ 𝐷)
3920, 38sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ)
4039recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4137, 40mulcld 11234 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
42 jensen.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
43 jensen.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
44 jensen.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
45 jensen.8 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
46 jensenlem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
47 jensenlem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
48 jensenlem.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
4920, 42, 43, 5, 15, 19, 44, 45, 46, 6, 47, 48jensenlem1 26491 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
50 jensenlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
5150rpred 13016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
52 elrege0 13431 . . . . . . . . . 10 ((π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘‡β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘§)))
5352simplbi 499 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ ℝ)
5436, 53syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ ℝ)
5551, 54readdcld 11243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5649, 55eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
5756recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
58 0red 11217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5950rpgt0d 13019 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑆)
6052simprbi 498 . . . . . . . . . 10 ((π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘§))
6136, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘§))
6251, 54addge01d 11802 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (π‘‡β€˜π‘§) ↔ 𝑆 ≀ (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§))))
6361, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
6463, 49breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ 𝐿)
6558, 51, 56, 59, 64ltletrd 11374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐿)
6665gt0ne0d 11778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  0)
6729, 41, 57, 66divdird 12028 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) / 𝐿)))
68 cnfldbas 20948 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
69 cnfldadd 20949 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜β„‚fld)
70 ringcmn 20099 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
712, 70mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
727sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7315ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
7472, 73syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
7531, 74sselid 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7620adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
7719ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
7872, 77syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
7976, 78sseldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8079recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8175, 80mulcld 11234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
82 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘§))
83 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‹β€˜π‘§))
8482, 83oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)) = ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))
8568, 69, 71, 8, 81, 35, 46, 41, 84gsumunsn 19828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
8615feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
8719feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘‹β€˜π‘₯)))
885, 73, 77, 86, 87offval2 7690 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
8988reseq1d 5981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
906resmptd 6041 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
9189, 90eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
9291oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))))
9388reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐡))
947resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
9593, 94eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
9695oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))))
9796oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
9885, 92, 973eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
9998oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿))
10051recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
10150rpne0d 13021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  0)
10229, 100, 57, 101, 66dmdcand 12019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿))
10357, 100, 57, 66divsubdird 12029 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑆) / 𝐿) = ((𝐿 / 𝐿) βˆ’ (𝑆 / 𝐿)))
104100, 37, 49mvrladdd 11627 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑆) = (π‘‡β€˜π‘§))
105104oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑆) / 𝐿) = ((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿))
10657, 66dividd 11988 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿 / 𝐿) = 1)
107106oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐿 / 𝐿) βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) = (1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)))
108103, 105, 1073eqtr3rd 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) = ((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿))
109108oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) = (((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))
11037, 40, 57, 66div23d 12027 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) / 𝐿) = (((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))
111109, 110eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) = (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) / 𝐿))
112102, 111oveq12d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) / 𝐿)))
11367, 99, 1123eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
114 jensenlem.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
11551, 56, 66redivcld 12042 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ)
11650rpge0d 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
117 divge0 12083 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑆) ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) β†’ 0 ≀ (𝑆 / 𝐿))
11851, 116, 56, 65, 117syl22anc 838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑆 / 𝐿))
11957mulridd 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 1) = 𝐿)
12064, 119breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (𝐿 Β· 1))
121 1red 11215 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
122 ledivmul 12090 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) β†’ ((𝑆 / 𝐿) ≀ 1 ↔ 𝑆 ≀ (𝐿 Β· 1)))
12351, 121, 56, 65, 122syl112anc 1375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) ≀ 1 ↔ 𝑆 ≀ (𝐿 Β· 1)))
124120, 123mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 / 𝐿) ≀ 1)
125 elicc01 13443 . . . . . 6 ((𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑆 / 𝐿) ∧ (𝑆 / 𝐿) ≀ 1))
126115, 118, 124, 125syl3anbrc 1344 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))
127114, 38, 1263jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)))
12820, 43cvxcl 26489 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))) β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) ∈ 𝐷)
129127, 128mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) ∈ 𝐷)
130113, 129eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷)
13142, 129ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ∈ ℝ)
13242, 114ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
133115, 132remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) ∈ ℝ)
13442, 38ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
13554, 134remulcld 11244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) ∈ ℝ)
136135, 56, 66redivcld 12042 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿) ∈ ℝ)
137133, 136readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)) ∈ ℝ)
138 fco 6742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ 𝑋:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
13942, 19, 138syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
14014, 18, 139, 5, 5, 22off 7688 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„)
141140, 7fssresd 6759 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„)
142141, 8, 26fdmfifsupp 9373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
1431, 4, 8, 12, 141, 142gsumsubgcl 19788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) ∈ ℝ)
144143, 51, 101redivcld 12042 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ ℝ)
145115, 144remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
146 1re 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
147 resubcl 11524 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
148146, 115, 147sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
149148, 134remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) ∈ ℝ)
150145, 149readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) ∈ ℝ)
151 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) = (𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)))
152151fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) = (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))))
153 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)))
154153oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ (𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))))
155154oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))) = ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
156152, 155breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))))
157156imbi2d 341 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))))
158 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))
159158oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = ((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
160159fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) = (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))))
161 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))
162161oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦)) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
163162oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))) = ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
164160, 163breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))))
165164imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘§) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))))
166 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ (𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) = ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)))
167 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)))
168167oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)) = ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))
169166, 168oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§))) = (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§))))
170169fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) = (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))))
171 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ (𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) = ((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))))
172167oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) = ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
173171, 172oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) = (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
174170, 173breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) ↔ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))))
175174imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑆 / 𝐿) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))))
17645expcom 415 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))))
177157, 165, 175, 176vtocl3ga 3570 . . . . . . 7 ((((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))))
178114, 38, 126, 177syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))))
179178pm2.43i 52 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
180108oveq1d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) = (((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
181134recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
18237, 181, 57, 66div23d 12027 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿) = (((π‘‡β€˜π‘§) / 𝐿) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
183180, 182eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) = (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿))
184183oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) = (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)))
185179, 184breqtrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)))
186182, 180eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿) = ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
187186oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)) = (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
188 jensenlem.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))
18951, 56, 59, 65divgt0d 12149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑆 / 𝐿))
190 lemul2 12067 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ∈ ℝ ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 / 𝐿))) β†’ ((πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) ≀ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))))
191132, 144, 115, 189, 190syl112anc 1375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) ≀ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))))
192188, 191mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) ≀ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)))
193133, 145, 149, 192leadd1dd 11828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
194187, 193eqbrtrd 5171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆))) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
195131, 137, 150, 185, 194letrd 11371 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))) ≀ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
196113fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)) = (πΉβ€˜(((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (π‘‹β€˜π‘§)))))
197143recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) ∈ β„‚)
198135recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) ∈ β„‚)
199197, 198, 57, 66divdird 12028 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) / 𝐿) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)))
20016, 73sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
20142ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
20277, 201syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
203200, 202remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
204203recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
20572, 204syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
20683fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))
20782, 206oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) = ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))))
20868, 69, 71, 8, 205, 35, 46, 198, 207gsumunsn 19828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
20942feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
210 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
21177, 87, 209, 210fmptco 7127 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
2125, 73, 202, 86, 211offval2 7690 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))))
213212reseq1d 5981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
2146resmptd 6041 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))))
215213, 214eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))))
216215oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))))
217212reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))) β†Ύ 𝐡))
2187resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))))
219217, 218eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))))
220219oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))))
221220oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
222208, 216, 2213eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
223222oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) / 𝐿))
224197, 100, 57, 101, 66dmdcand 12019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿))
225224, 183oveq12d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))) = (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝐿) + (((π‘‡β€˜π‘§) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§))) / 𝐿)))
226199, 223, 2253eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) Β· ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐡)) / 𝑆)) + ((1 βˆ’ (𝑆 / 𝐿)) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘§)))))
227195, 196, 2263brtr4d 5181 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿))
228130, 227jca 513 1 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,)cico 13326  [,]cicc 13327   Ξ£g cgsu 17386  SubGrpcsubg 19000  CMndccmn 19648  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  β„‚fldccnfld 20944  β„fldcrefld 21157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-cnfld 20945  df-refld 21158
This theorem is referenced by:  jensen  26493
  Copyright terms: Public domain W3C validator