MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem2 26919
Description: Lemma for jensen 26920. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
jensen.7 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
jensenlem.1 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
jensenlem.2 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
jensenlem.l 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
jensenlem.3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
jensenlem.4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
jensenlem.5 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
Assertion
Ref Expression
jensenlem2 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 21319 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 21317 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
3 ringabl 20216 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 jensen.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 jensenlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
76unssad 4187 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐴)
85, 7ssfid 9291 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 resubdrg 21539 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
109simpli 483 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
11 subrgsubg 20515 . . . . . . . 8 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
13 remulcl 11223 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
15 jensen.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
16 rge0ssre 13465 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
17 fss 6739 . . . . . . . . . 10 ((𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑇:𝐴⟶ℝ)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐴⟶ℝ)
19 jensen.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
20 jensen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
2119, 20fssd 6740 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐴⟶ℝ)
22 inidm 4219 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐴) = 𝐴
2314, 18, 21, 5, 5, 22off 7703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇f · 𝑋):𝐴⟶ℝ)
2423, 7fssresd 6764 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
25 c0ex 11238 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ V)
2724, 8, 26fdmfifsupp 9398 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) finSupp 0)
281, 4, 8, 12, 24, 27gsumsubgcl 19874 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
2928recnd 11272 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
30 ax-resscn 11195 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3116, 30sstri 3989 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
326unssbd 4188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
33 vex 3475 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3433snss 4790 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
3532, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧𝐴)
3615, 35ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞))
3731, 36sselid 3978 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
3819, 35ffvelcdmd 7095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ 𝐷)
3920, 38sseldd 3981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℝ)
4039recnd 11272 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℂ)
4137, 40mulcld 11264 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
42 jensen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
43 jensen.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
44 jensen.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
45 jensen.8 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
46 jensenlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
47 jensenlem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
48 jensenlem.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
4920, 42, 43, 5, 15, 19, 44, 45, 46, 6, 47, 48jensenlem1 26918 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
50 jensenlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
5150rpred 13048 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
52 elrege0 13463 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑇𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑇𝑧)))
5352simplbi 497 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5436, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5551, 54readdcld 11273 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + (𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5649, 55eqeltrd 2829 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5756recnd 11272 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
58 0red 11247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5950rpgt0d 13051 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑆)
6052simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6136, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6251, 54addge01d 11832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑇𝑧) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧))))
6361, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧)))
6463, 49breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐿)
6558, 51, 56, 59, 64ltletrd 11404 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐿)
6665gt0ne0d 11808 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
6729, 41, 57, 66divdird 12058 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
68 cnfldbas 21282 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
69 cnfldadd 21284 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
70 ringcmn 20217 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
712, 70mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
727sselda 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
7315ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7472, 73syldan 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7531, 74sselid 3978 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
7620adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ⊆ ℝ)
7719ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
7872, 77syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
7976, 78sseldd 3981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
8079recnd 11272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8175, 80mulcld 11264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) ∈ ℂ)
82 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑧))
83 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑧))
8482, 83oveq12d 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) = ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)))
8568, 69, 71, 8, 81, 35, 46, 41, 84gsumunsn 19914 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
8615feqmptd 6967 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑇𝑥)))
8719feqmptd 6967 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑋𝑥)))
885, 73, 77, 86, 87offval2 7705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · 𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
8988reseq1d 5984 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
906resmptd 6044 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9189, 90eqtrd 2768 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9291oveq2d 7436 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9388reseq1d 5984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵))
947resmptd 6044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9593, 94eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9695oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9796oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
9885, 92, 973eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
9998oveq1d 7435 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿))
10051recnd 11272 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
10150rpne0d 13053 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
10229, 100, 57, 101, 66dmdcand 12049 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
10357, 100, 57, 66divsubdird 12059 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)))
104100, 37, 49mvrladdd 11657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑆) = (𝑇𝑧))
105104oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
10657, 66dividd 12018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 / 𝐿) = 1)
107106oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
108103, 105, 1073eqtr3rd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
109108oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
11037, 40, 57, 66div23d 12057 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
111109, 110eqtr4d 2771 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿))
112102, 111oveq12d 7438 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
11367, 99, 1123eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
114 jensenlem.4 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
11551, 56, 66redivcld 12072 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ)
11650rpge0d 13052 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
117 divge0 12113 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
11851, 116, 56, 65, 117syl22anc 838 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
11957mulridd 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 1) = 𝐿)
12064, 119breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝐿 · 1))
121 1red 11245 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122 ledivmul 12120 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
12351, 121, 56, 65, 122syl112anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
124120, 123mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ≤ 1)
125 elicc01 13475 . . . . . 6 ((𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑆 / 𝐿) ∧ (𝑆 / 𝐿) ≤ 1))
126115, 118, 124, 125syl3anbrc 1341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))
127114, 38, 1263jca 1126 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)))
12820, 43cvxcl 26916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))) → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
129127, 128mpdan 686 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
130113, 129eqeltrd 2829 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷)
13142, 129ffvelcdmd 7095 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
13242, 114ffvelcdmd 7095 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
133115, 132remulcld 11274 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ∈ ℝ)
13442, 38ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℝ)
13554, 134remulcld 11274 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
136135, 56, 66redivcld 12072 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) ∈ ℝ)
137133, 136readdcld 11273 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ∈ ℝ)
138 fco 6747 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ 𝑋:𝐴𝐷) → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
13942, 19, 138syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
14014, 18, 139, 5, 5, 22off 7703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · (𝐹𝑋)):𝐴⟶ℝ)
141140, 7fssresd 6764 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
142141, 8, 26fdmfifsupp 9398 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) finSupp 0)
1431, 4, 8, 12, 141, 142gsumsubgcl 19874 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
144143, 51, 101redivcld 12072 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ)
145115, 144remulcld 11274 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
146 1re 11244 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
147 resubcl 11554 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ) → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
148146, 115, 147sylancr 586 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
149148, 134remulcld 11274 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
150145, 149readdcld 11273 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
151 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
152151fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
153 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
154153oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · (𝐹𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
155154oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
156152, 155breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
157156imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
158 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))
159158oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))))
160159fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))))
161 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
162161oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
163162oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
164160, 163breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
165164imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
166 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
167 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (1 − 𝑡) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
168167oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))
169166, 168oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
170169fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
171 oveq1 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) = ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
172167oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
173171, 172oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
174170, 173breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ↔ (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
175174imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
17645expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
177157, 165, 175, 176vtocl3ga 3567 . . . . . . 7 ((((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
178114, 38, 126, 177syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
179178pm2.43i 52 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
180108oveq1d 7435 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
181134recnd 11272 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
18237, 181, 57, 66div23d 12057 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
183180, 182eqtr4d 2771 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿))
184183oveq2d 7436 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
185179, 184breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
186182, 180eqtr4d 2771 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
187186oveq2d 7436 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
188 jensenlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
18951, 56, 59, 65divgt0d 12179 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑆 / 𝐿))
190 lemul2 12097 . . . . . . . 8 (((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ ∧ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 / 𝐿))) → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
191132, 144, 115, 189, 190syl112anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
192188, 191mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
193133, 145, 149, 192leadd1dd 11858 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
194187, 193eqbrtrd 5170 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
195131, 137, 150, 185, 194letrd 11401 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
196113fveq2d 6901 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
197143recnd 11272 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
198135recnd 11272 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℂ)
199197, 198, 57, 66divdird 12058 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
20016, 73sselid 3978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ ℝ)
20142ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
20277, 201syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
203200, 202remulcld 11274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℝ)
204203recnd 11272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
20572, 204syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
20683fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑋𝑥)) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
20782, 206oveq12d 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) = ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
20868, 69, 71, 8, 205, 35, 46, 198, 207gsumunsn 19914 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
20942feqmptd 6967 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
210 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑥)))
21177, 87, 209, 210fmptco 7138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑥))))
2125, 73, 202, 86, 211offval2 7705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇f · (𝐹𝑋)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
213212reseq1d 5984 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
2146resmptd 6044 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
215213, 214eqtrd 2768 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
216215oveq2d 7436 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
217212reseq1d 5984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵))
2187resmptd 6044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
219217, 218eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
220219oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
221220oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
222208, 216, 2213eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
223222oveq1d 7435 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿))
224197, 100, 57, 101, 66dmdcand 12049 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
225224, 183oveq12d 7438 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
226199, 223, 2253eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
227195, 196, 2263brtr4d 5180 . 2 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿))
228130, 227jca 511 1 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇f · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇f · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  cun 3945  wss 3947  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5680  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  f cof 7683  Fincfn 8963  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  +∞cpnf 11275   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474   / cdiv 11901  +crp 13006  [,)cico 13358  [,]cicc 13359   Σg cgsu 17421  SubGrpcsubg 19074  CMndccmn 19734  Abelcabl 19735  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  fldccnfld 21278  fldcrefld 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-cnfld 21279  df-refld 21536
This theorem is referenced by:  jensen  26920
  Copyright terms: Public domain W3C validator