Theorem cycsubggend 18834

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 includes its generator. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggend.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggend.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
cycsubggend.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cycsubggend	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   · (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggend.3	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		1zzd 12361	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cycsubggend.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝑛 = 1)
5	4	oveq1d 7282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝑛 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
6	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		cycsubggend.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		cycsubggend.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	7, 8	mulg1 18721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	5, 10	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝐴 = (𝑛 · 𝐴))
12	1, 2, 3, 11	elrnmptdv 5864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5156  ran crn 5585  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  1c1 10882  ℤcz 12329  Basecbs 16922  ._gcmg 18710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-seq 13732  df-mulg 18711

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  19718