Theorem cycsubggend 19136

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 includes its generator. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggend.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggend.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
cycsubggend.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cycsubggend	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   · (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggend.3	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		1zzd 12524	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cycsubggend.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝑛 = 1)
5	4	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝑛 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
6	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		cycsubggend.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		cycsubggend.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	7, 8	mulg1 19013	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	5, 10	eqtr2d 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → 𝐴 = (𝑛 · 𝐴))
12	1, 2, 3, 11	elrnmptdv 5913	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1c1 11029  ℤcz 12490  Basecbs 17138  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  20038