Theorem ablsimpg1gend 20061

Description: An abelian simple group is generated by any non-identity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpg1gend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpg1gend.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpg1gend.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpg1gend.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpg1gend.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpg1gend.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ablsimpg1gend.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
ablsimpg1gend.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpg1gend	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hint:   0 (𝑛)

Proof of Theorem ablsimpg1gend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		ablsimpg1gend.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		ablsimpg1gend.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		ablsimpg1gend.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		ablsimpg1gend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpg1gend.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7		ablsimpg1gend.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6	simpggrpd 20051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		ablsimpg1gend.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	3, 7, 1, 8, 9	cycsubgcld 19163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	3, 7, 1, 9	cycsubggend 19159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
12		ablsimpg1gend.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
13	3, 4, 5, 6, 10, 11, 12	ablsimpnosubgd 20060	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐵)
14	2, 13	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
15	1, 14	elrnmpt2d 5961	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5227  ran crn 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℤcz 12583  Basecbs 17174  0_gc0g 17415  ._gcmg 19022  Abelcabl 19735  SimpGrpcsimpg 20046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-simpg 20047

This theorem is referenced by:  ablsimpgcygd  20062  ablsimpgfindlem1  20063  ablsimpgfind  20066