Theorem ablsimpg1gend 20372

Description: An abelian simple group is generated by any non-identity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpg1gend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpg1gend.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpg1gend.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpg1gend.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpg1gend.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpg1gend.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ablsimpg1gend.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
ablsimpg1gend.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpg1gend	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hint:   0 (𝑛)

Proof of Theorem ablsimpg1gend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		ablsimpg1gend.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		ablsimpg1gend.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		ablsimpg1gend.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		ablsimpg1gend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpg1gend.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7		ablsimpg1gend.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6	simpggrpd 20362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		ablsimpg1gend.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	3, 7, 1, 8, 9	cycsubgcld 19474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	3, 7, 1, 9	cycsubggend 19470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
12		ablsimpg1gend.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
13	3, 4, 5, 6, 10, 11, 12	ablsimpnosubgd 20371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐵)
14	2, 13	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
15	1, 14	elrnmpt2d 5960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℤcz 12733  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  ._gcmg 19327  Abelcabl 20046  SimpGrpcsimpg 20357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-simpg 20358

This theorem is used by:  ablsimpgcygd  20373  ablsimpgfindlem1  20374  ablsimpgfind  20377