Theorem ablsimpg1gend 20221

Description: An abelian simple group is generated by any non-identity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpg1gend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpg1gend.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpg1gend.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpg1gend.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpg1gend.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpg1gend.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ablsimpg1gend.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
ablsimpg1gend.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpg1gend	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hint:   0 (𝑛)

Proof of Theorem ablsimpg1gend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		ablsimpg1gend.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		ablsimpg1gend.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		ablsimpg1gend.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		ablsimpg1gend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpg1gend.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7		ablsimpg1gend.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6	simpggrpd 20211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		ablsimpg1gend.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	3, 7, 1, 8, 9	cycsubgcld 19324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	3, 7, 1, 9	cycsubggend 19320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
12		ablsimpg1gend.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
13	3, 4, 5, 6, 10, 11, 12	ablsimpnosubgd 20220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐵)
14	2, 13	eleqtrrd 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
15	1, 14	elrnmpt2d 5958	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤcz 12606  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  ._gcmg 19177  Abelcabl 19895  SimpGrpcsimpg 20206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-seq 14056  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-nsg 19234  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-simpg 20207

This theorem is used by:  ablsimpgcygd  20222  ablsimpgfindlem1  20223  ablsimpgfind  20226