Theorem ablsimpg1gend 20138

Description: An abelian simple group is generated by any non-identity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpg1gend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpg1gend.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpg1gend.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpg1gend.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpg1gend.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpg1gend.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ablsimpg1gend.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
ablsimpg1gend.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpg1gend	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hint:   0 (𝑛)

Proof of Theorem ablsimpg1gend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		ablsimpg1gend.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		ablsimpg1gend.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		ablsimpg1gend.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		ablsimpg1gend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpg1gend.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7		ablsimpg1gend.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6	simpggrpd 20128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		ablsimpg1gend.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	3, 7, 1, 8, 9	cycsubgcld 19241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	3, 7, 1, 9	cycsubggend 19237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
12		ablsimpg1gend.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
13	3, 4, 5, 6, 10, 11, 12	ablsimpnosubgd 20137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐵)
14	2, 13	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
15	1, 14	elrnmpt2d 5938	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℤcz 12562  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  ._gcmg 19100  Abelcabl 19812  SimpGrpcsimpg 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-seq 14009  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-simpg 20124

This theorem is referenced by:  ablsimpgcygd  20139  ablsimpgfindlem1  20140  ablsimpgfind  20143