Theorem ablsimpg1gend 20330

Description: An abelian simple group is generated by any non-identity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpg1gend.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpg1gend.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpg1gend.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpg1gend.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpg1gend.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
ablsimpg1gend.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ablsimpg1gend.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
ablsimpg1gend.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpg1gend	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hint:   0 (𝑛)

Proof of Theorem ablsimpg1gend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
2		ablsimpg1gend.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		ablsimpg1gend.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		ablsimpg1gend.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		ablsimpg1gend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpg1gend.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7		ablsimpg1gend.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6	simpggrpd 20320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		ablsimpg1gend.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	3, 7, 1, 8, 9	cycsubgcld 19433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	3, 7, 1, 9	cycsubggend 19429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
12		ablsimpg1gend.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0 )
13	3, 4, 5, 6, 10, 11, 12	ablsimpnosubgd 20329	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐵)
14	2, 13	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
15	1, 14	elrnmpt2d 5949	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑛 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℤcz 12700  Basecbs 17396  0_gc0g 17619  ._gcmg 19286  Abelcabl 20004  SimpGrpcsimpg 20315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-seq 14152  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-nsg 19343  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-simpg 20316

This theorem is used by:  ablsimpgcygd  20331  ablsimpgfindlem1  20332  ablsimpgfind  20335