Theorem mulg1 19009

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12154	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 19003	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1z 12519	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fvconst2g 7146	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
10	1, 9	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
11	8, 10	seq1i 13936	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = 𝑋)
12	7, 11	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025  ℕcn 12143  seqcseq 13922  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._gcmg 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-mulg 18996

This theorem is referenced by:  mulg2  19011  mulgnn0p1  19013  mulgm1  19022  mulgp1  19035  mulgnnass  19037  cycsubmcl  19128  cycsubggend  19132  cycsubgcl  19133  odm1inv  19480  odbezout  19485  od1  19486  odeq1  19487  gex1  19518  gsumsnfd  19878  ablfacrp  19995  pgpfac1lem2  20004  pgpfac1lem3  20006  ablsimpgfindlem1  20036  omndmul2  20060  srgbinom  20164  mulgrhm  21430  zlmlmod  21475  frgpcyg  21526  freshmansdream  21527  ofldchr  21529  evlslem1  22035  psdmvr  22110  psdpw  22111  m2detleiblem5  22567  cayhamlem1  22808  cpmadugsumlemB  22816  ply1remlem  26124  fta1blem  26130  xrsmulgzz  33040  isarchi3  33218  archirngz  33220  archiabllem1a  33222  elrgspnlem2  33274  elrgspnlem3  33275  elrgspnsubrunlem1  33278  evl1deg1  33606  evl1deg2  33607  evl1deg3  33608  coe1vr1  33621  deg1vr  33622  cos9thpiminply  33894  primrootscoprbij  42295  aks6d1c1p8  42308  ringexp0nn  42327  aks6d1c5lem3  42330  aks6d1c6lem1  42363  ply1vr1smo  48571