Theorem mulg1 19011

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 19005	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1z 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fvconst2g 7148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
10	1, 9	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
11	8, 10	seq1i 13938	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = 𝑋)
12	7, 11	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027  ℕcn 12145  seqcseq 13924  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._gcmg 18997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-mulg 18998

This theorem is referenced by:  mulg2  19013  mulgnn0p1  19015  mulgm1  19024  mulgp1  19037  mulgnnass  19039  cycsubmcl  19130  cycsubggend  19134  cycsubgcl  19135  odm1inv  19482  odbezout  19487  od1  19488  odeq1  19489  gex1  19520  gsumsnfd  19880  ablfacrp  19997  pgpfac1lem2  20006  pgpfac1lem3  20008  ablsimpgfindlem1  20038  omndmul2  20062  srgbinom  20166  mulgrhm  21432  zlmlmod  21477  frgpcyg  21528  freshmansdream  21529  ofldchr  21531  evlslem1  22037  psdmvr  22112  psdpw  22113  m2detleiblem5  22569  cayhamlem1  22810  cpmadugsumlemB  22818  ply1remlem  26126  fta1blem  26132  xrsmulgzz  33091  isarchi3  33269  archirngz  33271  archiabllem1a  33273  elrgspnlem2  33325  elrgspnlem3  33326  elrgspnsubrunlem1  33329  evl1deg1  33657  evl1deg2  33658  evl1deg3  33659  coe1vr1  33672  deg1vr  33673  cos9thpiminply  33945  primrootscoprbij  42356  aks6d1c1p8  42369  ringexp0nn  42388  aks6d1c5lem3  42391  aks6d1c6lem1  42424  ply1vr1smo  48629