MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubgcl 19083
Description: The set of integer powers of an element ๐ด of a group forms a subgroup containing ๐ด, called the cyclic group generated by the element ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubg.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubg.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
cycsubgcl ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubgcl
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubg.x . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 cycsubg.t . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
31, 2mulgcl 18971 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
433expa 1119 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
54an32s 651 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
6 cycsubg.f . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
75, 6fmptd 7114 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐น:โ„คโŸถ๐‘‹)
87frnd 6726 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โŠ† ๐‘‹)
97ffnd 6719 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐น Fn โ„ค)
10 1z 12592 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
11 fnfvelrn 7083 . . . . 5 ((๐น Fn โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ ran ๐น)
129, 10, 11sylancl 587 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ ran ๐น)
1312ne0d 4336 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โ‰  โˆ…)
14 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†” ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹))
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
161, 2, 15mulgdir 18986 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(๐‘› ยท ๐ด)))
1714, 16sylan2br 596 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(๐‘› ยท ๐ด)))
1817anass1rs 654 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(๐‘› ยท ๐ด)))
19 zaddcl 12602 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š + ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š + ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
21 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘š + ๐‘›) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด))
22 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) โˆˆ V
2321, 6, 22fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š + ๐‘›) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + ๐‘›)) = ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + ๐‘›)) = ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด))
25 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘š ยท ๐ด))
26 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š ยท ๐ด) โˆˆ V
2725, 6, 26fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท ๐ด))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท ๐ด))
29 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
30 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ V
3129, 6, 30fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐‘› ยท ๐ด))
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐‘› ยท ๐ด))
3328, 32oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) = ((๐‘š ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(๐‘› ยท ๐ด)))
3418, 24, 333eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + ๐‘›)) = ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)))
35 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . 11 ((๐น Fn โ„ค โˆง (๐‘š + ๐‘›) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + ๐‘›)) โˆˆ ran ๐น)
369, 19, 35syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + ๐‘›)) โˆˆ ran ๐น)
3734, 36eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น)
3837anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น)
3938ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น)
40 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)))
4140eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น))
4241ralrn 7090 . . . . . . . . 9 (๐น Fn โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น))
439, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น))
4443adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ ran ๐น))
4539, 44mpbird 257 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
471, 2, 46mulgneg 18972 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-๐‘š ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘š ยท ๐ด)))
48473expa 1119 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-๐‘š ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘š ยท ๐ด)))
4948an32s 651 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘š ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘š ยท ๐ด)))
50 znegcl 12597 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
52 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -๐‘š โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (-๐‘š ยท ๐ด))
53 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (-๐‘š ยท ๐ด) โˆˆ V
5452, 6, 53fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (-๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜-๐‘š) = (-๐‘š ยท ๐ด))
5551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜-๐‘š) = (-๐‘š ยท ๐ด))
5627adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท ๐ด))
5756fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘š ยท ๐ด)))
5849, 55, 573eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜-๐‘š) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)))
59 fnfvelrn 7083 . . . . . . . 8 ((๐น Fn โ„ค โˆง -๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜-๐‘š) โˆˆ ran ๐น)
609, 50, 59syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜-๐‘š) โˆˆ ran ๐น)
6158, 60eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น)
6245, 61jca 513 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น))
6362ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น))
64 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” ((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น))
6665ralbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น))
67 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)))
6867eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น โ†” ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น))
6966, 68anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ข = (๐นโ€˜๐‘š) โ†’ ((โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น)))
7069ralrn 7090 . . . . 5 (๐น Fn โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ran ๐น(โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น)))
719, 70syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ran ๐น(โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น((๐นโ€˜๐‘š)(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐นโ€˜๐‘š)) โˆˆ ran ๐น)))
7263, 71mpbird 257 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ran ๐น(โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น))
731, 15, 46issubg2 19021 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†” (ran ๐น โŠ† ๐‘‹ โˆง ran ๐น โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ran ๐น(โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น))))
7473adantr 482 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†” (ran ๐น โŠ† ๐‘‹ โˆง ran ๐น โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ran ๐น(โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ ran ๐น โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ ran ๐น))))
758, 13, 72, 74mpbir3and 1343 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
76 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
77 ovex 7442 . . . . . 6 (1 ยท ๐ด) โˆˆ V
7876, 6, 77fvmpt 6999 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
7910, 78ax-mp 5 . . . 4 (๐นโ€˜1) = (1 ยท ๐ด)
801, 2mulg1 18961 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
8180adantl 483 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
8279, 81eqtrid 2785 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜1) = ๐ด)
8382, 12eqeltrrd 2835 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ ran ๐น)
8475, 83jca 513 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (ran ๐น โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ran ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  -cneg 11445  โ„คcz 12558  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003
This theorem is referenced by:  cycsubg  19085  cycsubgcld  19086  oddvds2  19434  cycsubgcyg  19769
  Copyright terms: Public domain W3C validator