Theorem declth 12209

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declth.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declth.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
declth.e	⊢ 𝐶 ≤ 9
declth.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
declth	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem declth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declt.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		declt.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		declth.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		declth.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		declth.e	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
6	3, 5	le9lt10 12206	. 2 ⊢ 𝐶 < ;10
7		declth.l	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	decltc 12208	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030   < clt 10753   ≤ cle 10754  9c9 11778  ℕ₀cn0 11976  ;cdc 12179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180

This theorem is referenced by:  3declth  12211  decleh  12214  60gcd7e1  39633