Theorem decltc 12722

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decltc.s	⊢ 𝐶 < ;10
decltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decltc	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12709	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decltc.s	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
7		decltc.l	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 12719	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) < ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
9		dfdec10 12696	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10		dfdec10 12696	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
11	8, 9, 10	3brtr4i 5172	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264  ℕ₀cn0 12488  ;cdc 12693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694

This theorem is referenced by:  declth  12723  3decltc  12726  2expltfac  17047  11prm  17069  13prm  17070  17prm  17071  19prm  17072  37prm  17075  43prm  17076  83prm  17077  317prm  17080  631prm  17081  2503prm  17094  4001prm  17099  log2ub  26855  bclbnd  27187  bpos1  27190  bposlem8  27198  9p10ne21  30254  hgt750lemd  34203  hgt750lem  34206  3lexlogpow5ineq1  41449  3lexlogpow5ineq2  41450  3lexlogpow2ineq1  41453  3lexlogpow5ineq5  41455  aks4d1p1  41471  fmtno4nprmfac193  46827  127prm  46852  tgoldbach  47070