Theorem decltc 12370

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decltc.s	⊢ 𝐶 < ;10
decltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decltc	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12357	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decltc.s	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
7		decltc.l	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 12367	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) < ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
9		dfdec10 12344	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10		dfdec10 12344	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
11	8, 9, 10	3brtr4i 5100	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5070  (class class class)co 7252  0cc0 10777  1c1 10778   + caddc 10780   · cmul 10782   < clt 10915  ℕ₀cn0 12138  ;cdc 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342

This theorem is referenced by:  declth  12371  3decltc  12374  2expltfac  16697  11prm  16719  13prm  16720  17prm  16721  19prm  16722  37prm  16725  43prm  16726  83prm  16727  317prm  16730  631prm  16731  2503prm  16744  4001prm  16749  log2ub  25979  bclbnd  26308  bpos1  26311  bposlem8  26319  9p10ne21  28710  hgt750lemd  32503  hgt750lem  32506  3lexlogpow5ineq1  39969  3lexlogpow5ineq2  39970  3lexlogpow2ineq1  39973  3lexlogpow5ineq5  39975  aks4d1p1  39990  fmtno4nprmfac193  44887  127prm  44912  tgoldbach  45130