Theorem decltc 12671

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decltc.s	⊢ 𝐶 < ;10
decltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decltc	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12658	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decltc.s	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
7		decltc.l	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 12668	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) < ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
9		dfdec10 12645	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10		dfdec10 12645	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
11	8, 9, 10	3brtr4i 5109	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643

This theorem is referenced by:  declth  12672  3decltc  12675  2expltfac  17061  11prm  17083  13prm  17084  17prm  17085  19prm  17086  37prm  17089  43prm  17090  83prm  17091  317prm  17094  631prm  17095  2503prm  17108  4001prm  17113  log2ub  26938  bclbnd  27268  bpos1  27271  bposlem8  27279  9p10ne21  30565  hgt750lemd  34839  hgt750lem  34842  3lexlogpow5ineq1  42546  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow2ineq1  42550  3lexlogpow5ineq5  42552  aks4d1p1  42568  fmtno4nprmfac193  48059  127prm  48084  tgoldbach  48315