Theorem 3exp7 42820

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12517	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12520	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12383	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12521	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12516	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12523	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		2t3e6 12402	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
9		3exp3 17146	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
10	5, 4	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
12		1nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		8nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
15		0nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	5	dec0h 12733	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
18	10	nn0cni 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
20		6cn 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		ax-1cn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	20, 21, 3	addcomli 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
23	19, 22	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
24		7cn 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11393	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
26	23, 25	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
27	13	dec0h 12733	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
28		2t2e4 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29		2cn 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29	addlidi 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
31	28, 30	oveq12i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
32		4p2e6 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
33	31, 32	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
34		4nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		7t2e14 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
36	24, 29, 35	mulcomli 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
37		1p1e2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38		8cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
39		4cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		8p4e12 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
41	38, 39, 40	addcomli 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
42	12, 34, 13, 36, 37, 5, 41	decaddci 12772	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
43	5, 4, 15, 13, 11, 27, 5, 5, 5, 33, 42	decma2c 12764	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
44	15, 5, 12, 13, 16, 17, 10, 5, 2, 26, 43	decmac 12763	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
45		4p4e8 12390	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
46	12, 34, 34, 35, 45	decaddi 12771	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
47		7t7e49 12825	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
48	4, 5, 4, 11, 7, 34, 46, 47	decmul2c 12777	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
49	10, 5, 4, 11, 7, 14, 44, 48	decmul1c 12776	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
50	1, 1, 8, 9, 49	numexp2x 17133	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
51		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
52		7t3e21 12821	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
53		1p0e1 12358	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
54	5, 12, 15, 52, 53	decaddi 12771	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
55	8	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
56		6p2e8 12394	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
57	55, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
58	4, 5, 15, 5, 51, 16, 1, 54, 57	decma 12762	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
59		9t3e27 12834	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
60	1, 6, 7, 50, 4, 5, 58, 59	decmul1c 12776	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
61	1, 2, 3, 60	numexpp1 17132	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  6c6 12294  7c7 12295  8c8 12296  9c9 12297  ;cdc 12706  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42822