Theorem 3exp7 42035

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12542	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12545	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12412	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12546	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12541	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12548	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12345	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12430	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11268	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17126	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11447	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12753	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12813	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12792	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12784	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12783	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12419	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12845	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12797	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12796	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17113	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12841	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12388	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12423	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12782	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12854	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12796	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17112	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42037