Theorem 3exp7 42014

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12436	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12439	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12305	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12440	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12435	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12442	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12243	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12237	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12323	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11159	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17038	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12441	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12647	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11338	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12647	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12282	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12686	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12678	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12677	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12312	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12685	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12739	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12691	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12690	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17025	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12735	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12281	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12685	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12316	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12676	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12748	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12690	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17024	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42016