Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp7 40539
Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3exp7 (3↑7) = 2187

Proof of Theorem 3exp7
StepHypRef Expression
1 3nn0 12438 . 2 3 ∈ ℕ0
2 6nn0 12441 . 2 6 ∈ ℕ0
3 6p1e7 12308 . 2 (6 + 1) = 7
4 7nn0 12442 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5 2nn0 12437 . . . 4 2 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12640 . . 3 72 ∈ ℕ0
7 9nn0 12444 . . 3 9 ∈ ℕ0
8 3cn 12241 . . . . 5 3 ∈ ℂ
9 2cn 12235 . . . . 5 2 ∈ ℂ
10 3t2e6 12326 . . . . 5 (3 · 2) = 6
118, 9, 10mulcomli 11171 . . . 4 (2 · 3) = 6
12 3exp3 16971 . . . 4 (3↑3) = 27
135, 4deccl 12640 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
14 eqid 2737 . . . . 5 27 = 27
15 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 8nn0 12443 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12640 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
195dec0h 12647 . . . . . 6 2 = 02
20 eqid 2737 . . . . . 6 18 = 18
2113nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℂ
2221mul02i 11351 . . . . . . . 8 (0 · 27) = 0
23 6cn 12251 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
24 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2523, 24, 3addcomli 11354 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
2622, 25oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((0 · 27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27 7cn 12254 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
2827addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 7) = 7
2926, 28eqtri 2765 . . . . . 6 ((0 · 27) + (1 + 6)) = 7
3016dec0h 12647 . . . . . . 7 8 = 08
31 2t2e4 12324 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
329addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
3331, 32oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34 4p2e6 12313 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
3533, 34eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36 4nn0 12439 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
37 7t2e14 12734 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
3827, 9, 37mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
39 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
40 8cn 12257 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
41 4cn 12245 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
42 8p4e12 12707 . . . . . . . . 9 (8 + 4) = 12
4340, 41, 42addcomli 11354 . . . . . . . 8 (4 + 8) = 12
4415, 36, 16, 38, 39, 5, 43decaddci 12686 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 8) = 22
455, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44decma2c 12678 . . . . . 6 ((2 · 27) + 8) = 62
4618, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45decmac 12677 . . . . 5 ((2 · 27) + 18) = 72
47 4p4e8 12315 . . . . . . 7 (4 + 4) = 8
4815, 36, 36, 37, 47decaddi 12685 . . . . . 6 ((7 · 2) + 4) = 18
49 7t7e49 12739 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
504, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49decmul2c 12691 . . . . 5 (7 · 27) = 189
5113, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50decmul1c 12690 . . . 4 (27 · 27) = 729
521, 1, 11, 12, 51numexp2x 16958 . . 3 (3↑6) = 729
53 eqid 2737 . . . 4 72 = 72
54 7t3e21 12735 . . . . 5 (7 · 3) = 21
55 1p0e1 12284 . . . . 5 (1 + 0) = 1
565, 15, 18, 54, 55decaddi 12685 . . . 4 ((7 · 3) + 0) = 21
5711oveq1i 7372 . . . . 5 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58 6p2e8 12319 . . . . 5 (6 + 2) = 8
5957, 58eqtri 2765 . . . 4 ((2 · 3) + 2) = 8
604, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59decma 12676 . . 3 ((72 · 3) + 2) = 218
61 9t3e27 12748 . . 3 (9 · 3) = 27
621, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61decmul1c 12690 . 2 ((3↑6) · 3) = 2187
631, 2, 3, 62numexpp1 16957 1 (3↑7) = 2187
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40541
  Copyright terms: Public domain W3C validator