Theorem 3exp7 40855

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12485	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12488	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12355	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12489	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12687	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12491	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12288	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12373	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11218	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17020	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12687	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12483	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12687	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12482	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12694	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12301	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11397	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12694	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11397	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12486	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12781	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12332	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12733	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12725	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12724	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12362	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12732	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12786	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12738	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12737	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17007	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12782	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12331	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12732	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7413	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12366	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12723	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12795	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12737	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17006	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7403  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  6c6 12266  7c7 12267  8c8 12268  9c9 12269  ;cdc 12672  ↑cexp 14022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-seq 13962  df-exp 14023

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40857