Theorem 3exp7 39968

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12156	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12159	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12026	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12160	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12155	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12356	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12162	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 11959	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 11953	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12044	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 10890	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 16696	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12356	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12154	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12161	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12356	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12153	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12363	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12150	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11069	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 11969	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11072	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7264	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 11972	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11068	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12363	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12042	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addid2i 11068	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7264	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12031	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12157	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 10890	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12003	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 11975	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 11963	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11072	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12402	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12394	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12393	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12033	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12401	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12455	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12407	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12406	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16683	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12451	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12002	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12401	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7262	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12037	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12392	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12464	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12406	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16682	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1543  (class class class)co 7252  0cc0 10777  1c1 10778   + caddc 10780   · cmul 10782  2c2 11933  3c3 11934  4c4 11935  6c6 11937  7c7 11938  8c8 11939  9c9 11940  ;cdc 12341  ↑cexp 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-uz 12487  df-seq 13625  df-exp 13686

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  39970