Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp7 40510
Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3exp7 (3↑7) = 2187

Proof of Theorem 3exp7
StepHypRef Expression
1 3nn0 12431 . 2 3 ∈ ℕ0
2 6nn0 12434 . 2 6 ∈ ℕ0
3 6p1e7 12301 . 2 (6 + 1) = 7
4 7nn0 12435 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5 2nn0 12430 . . . 4 2 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12633 . . 3 72 ∈ ℕ0
7 9nn0 12437 . . 3 9 ∈ ℕ0
8 3cn 12234 . . . . 5 3 ∈ ℂ
9 2cn 12228 . . . . 5 2 ∈ ℂ
10 3t2e6 12319 . . . . 5 (3 · 2) = 6
118, 9, 10mulcomli 11164 . . . 4 (2 · 3) = 6
12 3exp3 16964 . . . 4 (3↑3) = 27
135, 4deccl 12633 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
14 eqid 2736 . . . . 5 27 = 27
15 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 8nn0 12436 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12633 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 0nn0 12428 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
195dec0h 12640 . . . . . 6 2 = 02
20 eqid 2736 . . . . . 6 18 = 18
2113nn0cni 12425 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℂ
2221mul02i 11344 . . . . . . . 8 (0 · 27) = 0
23 6cn 12244 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
24 ax-1cn 11109 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2523, 24, 3addcomli 11347 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
2622, 25oveq12i 7369 . . . . . . 7 ((0 · 27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27 7cn 12247 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
2827addid2i 11343 . . . . . . 7 (0 + 7) = 7
2926, 28eqtri 2764 . . . . . 6 ((0 · 27) + (1 + 6)) = 7
3016dec0h 12640 . . . . . . 7 8 = 08
31 2t2e4 12317 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
329addid2i 11343 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
3331, 32oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34 4p2e6 12306 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
3533, 34eqtri 2764 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36 4nn0 12432 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
37 7t2e14 12727 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
3827, 9, 37mulcomli 11164 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
39 1p1e2 12278 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
40 8cn 12250 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
41 4cn 12238 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
42 8p4e12 12700 . . . . . . . . 9 (8 + 4) = 12
4340, 41, 42addcomli 11347 . . . . . . . 8 (4 + 8) = 12
4415, 36, 16, 38, 39, 5, 43decaddci 12679 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 8) = 22
455, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44decma2c 12671 . . . . . 6 ((2 · 27) + 8) = 62
4618, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45decmac 12670 . . . . 5 ((2 · 27) + 18) = 72
47 4p4e8 12308 . . . . . . 7 (4 + 4) = 8
4815, 36, 36, 37, 47decaddi 12678 . . . . . 6 ((7 · 2) + 4) = 18
49 7t7e49 12732 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
504, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49decmul2c 12684 . . . . 5 (7 · 27) = 189
5113, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50decmul1c 12683 . . . 4 (27 · 27) = 729
521, 1, 11, 12, 51numexp2x 16951 . . 3 (3↑6) = 729
53 eqid 2736 . . . 4 72 = 72
54 7t3e21 12728 . . . . 5 (7 · 3) = 21
55 1p0e1 12277 . . . . 5 (1 + 0) = 1
565, 15, 18, 54, 55decaddi 12678 . . . 4 ((7 · 3) + 0) = 21
5711oveq1i 7367 . . . . 5 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58 6p2e8 12312 . . . . 5 (6 + 2) = 8
5957, 58eqtri 2764 . . . 4 ((2 · 3) + 2) = 8
604, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59decma 12669 . . 3 ((72 · 3) + 2) = 218
61 9t3e27 12741 . . 3 (9 · 3) = 27
621, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61decmul1c 12683 . 2 ((3↑6) · 3) = 2187
631, 2, 3, 62numexpp1 16950 1 (3↑7) = 2187
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  cdc 12618  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40512
  Copyright terms: Public domain W3C validator