Theorem 3exp7 42709

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12521	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12524	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12387	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12525	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12520	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12527	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12321	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12405	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11217	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17150	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12725	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12725	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12737	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11397	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12737	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12403	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11397	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12797	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12776	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12768	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12767	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12394	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12775	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12829	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12781	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12780	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17137	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12825	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12362	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12775	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12398	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12766	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12838	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12780	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17136	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  6c6 12298  7c7 12299  8c8 12300  9c9 12301  ;cdc 12710  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42711