Theorem 3exp7 42094

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12399	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12402	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12268	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12403	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12398	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12603	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12405	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12206	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12200	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12286	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11121	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17003	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12603	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12397	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12404	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12603	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12396	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12610	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7358	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11301	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12610	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7358	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12649	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12641	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12640	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12275	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12648	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12702	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12654	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12653	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16990	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12698	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12244	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12648	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12279	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12639	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12711	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12653	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16989	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  6c6 12184  7c7 12185  8c8 12186  9c9 12187  ;cdc 12588  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42096