Theorem 3exp7 40913

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12489	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12492	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12359	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12493	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12488	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12495	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12292	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12377	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11222	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17024	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12691	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12691	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12486	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12698	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11402	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11405	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11401	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12698	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12785	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11405	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12737	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12729	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12728	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12366	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12736	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12790	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12742	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12741	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17011	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12786	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12335	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12736	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12370	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12727	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12799	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12741	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17010	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40915