Theorem 3exp7 40918

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12490	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12493	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12360	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12494	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12496	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12287	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12378	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11223	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17025	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12699	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11403	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11402	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12699	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12365	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12786	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12759	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12738	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12730	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12729	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12367	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12737	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12791	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12743	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12742	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17012	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12787	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12336	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12371	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12728	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12800	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12742	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17011	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ;cdc 12677  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40920