Theorem 3exp7 39646

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11957	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 11960	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 11827	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 11961	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 11956	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12157	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 11963	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 11760	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 11754	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 11845	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 10693	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 16488	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12157	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 11955	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 11962	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12157	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 11954	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12164	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 11951	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 10872	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 11770	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 10875	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7167	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 11773	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10871	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2781	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12164	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 11843	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addid2i 10871	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7167	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 11832	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 11958	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 10693	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 11804	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 11776	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 10875	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12195	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12194	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 11834	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12202	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12256	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12208	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12207	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16475	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12252	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 11803	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12202	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7165	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 11838	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12193	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12265	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12207	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16474	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585  2c2 11734  3c3 11735  4c4 11736  6c6 11738  7c7 11739  8c8 11740  9c9 11741  ;cdc 12142  ↑cexp 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-seq 13424  df-exp 13485

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  39648