Theorem 3exp7 39713

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12006	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12009	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 11876	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12010	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12005	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12206	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12012	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 11809	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 11803	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 11894	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 10740	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 16540	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12206	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12004	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12011	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12206	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12003	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12213	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 10919	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 10685	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 10922	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7194	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 11822	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10918	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12213	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 11892	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addid2i 10918	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7194	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 11881	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12007	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 10740	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 11853	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 10922	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12252	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12244	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12243	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 11883	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12251	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12305	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12257	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12256	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16527	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12301	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 11852	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12251	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7192	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 11887	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12242	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12314	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12256	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16526	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632  2c2 11783  3c3 11784  4c4 11785  6c6 11787  7c7 11788  8c8 11789  9c9 11790  ;cdc 12191  ↑cexp 13533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-seq 13473  df-exp 13534

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  39715