Theorem 3exp7 42246

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12417	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12420	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12286	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12421	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12416	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12620	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12423	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12224	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12218	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12304	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11139	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17017	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12620	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12415	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12620	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12414	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12627	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11082	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11319	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12627	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12291	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12687	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12658	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12657	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12293	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12665	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12719	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12671	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12670	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17004	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12715	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12262	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12665	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12297	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12656	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12728	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12670	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17003	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  6c6 12202  7c7 12203  8c8 12204  9c9 12205  ;cdc 12605  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42248