Theorem 3exp7 42066

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12519	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12522	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12388	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12523	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12518	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12525	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12321	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12406	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11244	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17111	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12730	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11424	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11423	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12730	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12404	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11423	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12393	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12365	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12790	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12769	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12761	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12760	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12395	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12768	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12822	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12774	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12773	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17098	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12818	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12364	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12768	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12399	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12759	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12831	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12773	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17097	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  ;cdc 12708  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42068