Theorem 3exp7 42503

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12444	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12447	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12313	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12448	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12443	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12648	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12450	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12251	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12245	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12331	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11143	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17051	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12648	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12648	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12441	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12655	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12264	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11323	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12655	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12318	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12445	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12742	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12694	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12686	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12685	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12320	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12693	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12747	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12699	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12698	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17038	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12743	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12289	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12693	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12324	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12684	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12756	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12698	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17037	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  2c2 12225  3c3 12226  4c4 12227  6c6 12229  7c7 12230  8c8 12231  9c9 12232  ;cdc 12633  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42505