Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp7 42054
Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3exp7 (3↑7) = 2187

Proof of Theorem 3exp7
StepHypRef Expression
1 3nn0 12544 . 2 3 ∈ ℕ0
2 6nn0 12547 . 2 6 ∈ ℕ0
3 6p1e7 12414 . 2 (6 + 1) = 7
4 7nn0 12548 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5 2nn0 12543 . . . 4 2 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12748 . . 3 72 ∈ ℕ0
7 9nn0 12550 . . 3 9 ∈ ℕ0
8 3cn 12347 . . . . 5 3 ∈ ℂ
9 2cn 12341 . . . . 5 2 ∈ ℂ
10 3t2e6 12432 . . . . 5 (3 · 2) = 6
118, 9, 10mulcomli 11270 . . . 4 (2 · 3) = 6
12 3exp3 17129 . . . 4 (3↑3) = 27
135, 4deccl 12748 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
14 eqid 2737 . . . . 5 27 = 27
15 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 8nn0 12549 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12748 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
195dec0h 12755 . . . . . 6 2 = 02
20 eqid 2737 . . . . . 6 18 = 18
2113nn0cni 12538 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℂ
2221mul02i 11450 . . . . . . . 8 (0 · 27) = 0
23 6cn 12357 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
24 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2523, 24, 3addcomli 11453 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
2622, 25oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((0 · 27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27 7cn 12360 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
2827addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 7) = 7
2926, 28eqtri 2765 . . . . . 6 ((0 · 27) + (1 + 6)) = 7
3016dec0h 12755 . . . . . . 7 8 = 08
31 2t2e4 12430 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
329addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
3331, 32oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34 4p2e6 12419 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
3533, 34eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36 4nn0 12545 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
37 7t2e14 12842 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
3827, 9, 37mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
39 1p1e2 12391 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
40 8cn 12363 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
41 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
42 8p4e12 12815 . . . . . . . . 9 (8 + 4) = 12
4340, 41, 42addcomli 11453 . . . . . . . 8 (4 + 8) = 12
4415, 36, 16, 38, 39, 5, 43decaddci 12794 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 8) = 22
455, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44decma2c 12786 . . . . . 6 ((2 · 27) + 8) = 62
4618, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45decmac 12785 . . . . 5 ((2 · 27) + 18) = 72
47 4p4e8 12421 . . . . . . 7 (4 + 4) = 8
4815, 36, 36, 37, 47decaddi 12793 . . . . . 6 ((7 · 2) + 4) = 18
49 7t7e49 12847 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
504, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49decmul2c 12799 . . . . 5 (7 · 27) = 189
5113, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50decmul1c 12798 . . . 4 (27 · 27) = 729
521, 1, 11, 12, 51numexp2x 17116 . . 3 (3↑6) = 729
53 eqid 2737 . . . 4 72 = 72
54 7t3e21 12843 . . . . 5 (7 · 3) = 21
55 1p0e1 12390 . . . . 5 (1 + 0) = 1
565, 15, 18, 54, 55decaddi 12793 . . . 4 ((7 · 3) + 0) = 21
5711oveq1i 7441 . . . . 5 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58 6p2e8 12425 . . . . 5 (6 + 2) = 8
5957, 58eqtri 2765 . . . 4 ((2 · 3) + 2) = 8
604, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59decma 12784 . . 3 ((72 · 3) + 2) = 218
61 9t3e27 12856 . . 3 (9 · 3) = 27
621, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61decmul1c 12798 . 2 ((3↑6) · 3) = 2187
631, 2, 3, 62numexpp1 17115 1 (3↑7) = 2187
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42056
  Copyright terms: Public domain W3C validator