Theorem 3exp7 42026

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12402	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12405	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12271	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12406	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12401	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12606	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12408	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12209	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12203	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12289	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11124	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17003	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12606	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12400	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12407	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12606	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12399	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12613	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11304	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12613	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12248	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12652	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12644	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12643	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12278	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12651	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12705	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12657	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12656	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16990	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12701	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12247	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12651	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12282	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12642	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12714	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12656	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16989	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  6c6 12187  7c7 12188  8c8 12189  9c9 12190  ;cdc 12591  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42028