Theorem 3exp7 43240

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12631	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12634	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12497	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12635	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12630	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12637	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		2t3e6 12516	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
9		3exp3 17278	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
10	5, 4	deccl 12836	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
12		1nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		8nn0 12636	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12836	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
15		0nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	5	dec0h 12848	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
18	10	nn0cni 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11506	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
20		6cn 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		ax-1cn 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	20, 21, 3	addcomli 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
23	19, 22	oveq12i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
24		7cn 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11505	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
26	23, 25	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
27	13	dec0h 12848	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
28		2t2e4 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29		2cn 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29	addlidi 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
31	28, 30	oveq12i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
32		4p2e6 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
33	31, 32	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
34		4nn0 12632	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		7t2e14 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
36	24, 29, 35	mulcomli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
37		1p1e2 12473	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38		8cn 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
39		4cn 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		8p4e12 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
41	38, 39, 40	addcomli 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
42	12, 34, 13, 36, 37, 5, 41	decaddci 12887	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
43	5, 4, 15, 13, 11, 27, 5, 5, 5, 33, 42	decma2c 12879	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
44	15, 5, 12, 13, 16, 17, 10, 5, 2, 26, 43	decmac 12878	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
45		4p4e8 12504	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
46	12, 34, 34, 35, 45	decaddi 12886	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
47		7t7e49 12940	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
48	4, 5, 4, 11, 7, 34, 46, 47	decmul2c 12892	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
49	10, 5, 4, 11, 7, 14, 44, 48	decmul1c 12891	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
50	1, 1, 8, 9, 49	numexp2x 17265	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
51		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
52		7t3e21 12936	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
53		1p0e1 12472	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
54	5, 12, 15, 52, 53	decaddi 12886	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
55	8	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
56		6p2e8 12508	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
57	55, 56	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
58	4, 5, 15, 5, 51, 16, 1, 54, 57	decma 12877	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
59		9t3e27 12949	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
60	1, 6, 7, 50, 4, 5, 58, 59	decmul1c 12891	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
61	1, 2, 3, 60	numexpp1 17264	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  6c6 12408  7c7 12409  8c8 12410  9c9 12411  ;cdc 12821  ↑cexp 14211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43242