Theorem 3exp7 43103

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12624	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12627	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12490	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12628	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12623	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12829	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12630	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		2t3e6 12509	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
9		3exp3 17269	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
10	5, 4	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
12		1nn0 12622	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		8nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
15		0nn0 12621	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	5	dec0h 12841	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
18	10	nn0cni 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
20		6cn 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		ax-1cn 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	20, 21, 3	addcomli 11502	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
23	19, 22	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
24		7cn 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11498	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
26	23, 25	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
27	13	dec0h 12841	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
28		2t2e4 12506	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29		2cn 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29	addlidi 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
31	28, 30	oveq12i 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
32		4p2e6 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
33	31, 32	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
34		4nn0 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		7t2e14 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
36	24, 29, 35	mulcomli 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
37		1p1e2 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38		8cn 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
39		4cn 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		8p4e12 12901	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
41	38, 39, 40	addcomli 11502	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
42	12, 34, 13, 36, 37, 5, 41	decaddci 12880	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
43	5, 4, 15, 13, 11, 27, 5, 5, 5, 33, 42	decma2c 12872	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
44	15, 5, 12, 13, 16, 17, 10, 5, 2, 26, 43	decmac 12871	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
45		4p4e8 12497	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
46	12, 34, 34, 35, 45	decaddi 12879	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
47		7t7e49 12933	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
48	4, 5, 4, 11, 7, 34, 46, 47	decmul2c 12885	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
49	10, 5, 4, 11, 7, 14, 44, 48	decmul1c 12884	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
50	1, 1, 8, 9, 49	numexp2x 17256	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
51		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
52		7t3e21 12929	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
53		1p0e1 12465	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
54	5, 12, 15, 52, 53	decaddi 12879	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
55	8	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
56		6p2e8 12501	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
57	55, 56	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
58	4, 5, 15, 5, 51, 16, 1, 54, 57	decma 12870	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
59		9t3e27 12942	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
60	1, 6, 7, 50, 4, 5, 58, 59	decmul1c 12884	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
61	1, 2, 3, 60	numexpp1 17255	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  7c7 12402  8c8 12403  9c9 12404  ;cdc 12814  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43105