Theorem 3exp7 42010

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12571	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12574	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12441	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12575	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12577	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12374	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12459	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11299	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17139	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12576	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11478	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12780	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11478	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12446	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12572	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12418	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12819	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12811	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12810	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12448	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12818	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12872	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12824	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12823	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17126	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12868	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12417	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12452	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12809	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12881	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12823	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17125	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42012