Theorem 3exp7 40510

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12431	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12434	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12301	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12435	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12430	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12633	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12437	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12234	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12228	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12319	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11164	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 16964	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12633	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12436	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12633	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12640	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11109	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11343	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12640	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addid2i 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12432	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12238	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12679	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12671	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12670	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12308	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12678	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12732	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12684	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12683	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 16951	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12728	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12277	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12678	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7367	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12312	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12669	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12741	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12683	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 16950	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  ;cdc 12618  ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40512