Theorem 3exp7 42878

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12537	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12540	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12403	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12541	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12536	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12543	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		2t3e6 12422	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
9		3exp3 17173	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
10	5, 4	deccl 12742	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
11		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
12		1nn0 12535	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		8nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12742	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
15		0nn0 12534	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	5	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
17		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
18	10	nn0cni 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
20		6cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		ax-1cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	20, 21, 3	addcomli 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
23	19, 22	oveq12i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
24		7cn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11413	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
26	23, 25	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
27	13	dec0h 12754	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
28		2t2e4 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29		2cn 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29	addlidi 11413	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
31	28, 30	oveq12i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
32		4p2e6 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
33	31, 32	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
34		4nn0 12538	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		7t2e14 12841	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
36	24, 29, 35	mulcomli 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
37		1p1e2 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38		8cn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
39		4cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		8p4e12 12814	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
41	38, 39, 40	addcomli 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
42	12, 34, 13, 36, 37, 5, 41	decaddci 12793	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
43	5, 4, 15, 13, 11, 27, 5, 5, 5, 33, 42	decma2c 12785	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
44	15, 5, 12, 13, 16, 17, 10, 5, 2, 26, 43	decmac 12784	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
45		4p4e8 12410	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
46	12, 34, 34, 35, 45	decaddi 12792	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
47		7t7e49 12846	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
48	4, 5, 4, 11, 7, 34, 46, 47	decmul2c 12798	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
49	10, 5, 4, 11, 7, 14, 44, 48	decmul1c 12797	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
50	1, 1, 8, 9, 49	numexp2x 17160	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
51		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
52		7t3e21 12842	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
53		1p0e1 12378	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
54	5, 12, 15, 52, 53	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
55	8	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
56		6p2e8 12414	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
57	55, 56	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
58	4, 5, 15, 5, 51, 16, 1, 54, 57	decma 12783	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
59		9t3e27 12855	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
60	1, 6, 7, 50, 4, 5, 58, 59	decmul1c 12797	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
61	1, 2, 3, 60	numexpp1 17159	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  6c6 12314  7c7 12315  8c8 12316  9c9 12317  ;cdc 12727  ↑cexp 14115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-seq 14056  df-exp 14116

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  42880