Theorem 3exp7 42048

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12467	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12470	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12336	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12471	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12466	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12473	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12274	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12268	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12354	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11190	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17069	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12472	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11369	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12678	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12341	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12765	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12738	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12717	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12709	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12708	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12343	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12716	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12770	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12722	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12721	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17056	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12766	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12312	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12716	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12347	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12707	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12779	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12721	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17055	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42050