Theorem 3exp7 42041

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12460	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12463	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12329	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12464	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12459	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12466	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12267	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12261	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12347	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11183	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17062	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12671	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11363	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11362	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12671	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7399	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12461	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12710	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12702	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12701	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12336	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12709	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12763	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12715	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12714	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17049	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12759	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12305	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12340	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12700	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12772	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12714	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17048	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42043