Theorem 3exp7 42054

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12544	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12547	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12414	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12548	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12543	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12550	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		3cn 12347	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		2cn 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3t2e6 12432	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
11	8, 9, 10	mulcomli 11270	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
12		3exp3 17129	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
13	5, 4	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
15		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		8nn0 12549	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	5	dec0h 12755	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
21	13	nn0cni 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
22	21	mul02i 11450	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
23		6cn 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		ax-1cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 3	addcomli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
26	22, 25	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27		7cn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11449	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
29	26, 28	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
30	16	dec0h 12755	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
31		2t2e4 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
32	9	addlidi 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
33	31, 32	oveq12i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34		4p2e6 12419	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
35	33, 34	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36		4nn0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
37		7t2e14 12842	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
38	27, 9, 37	mulcomli 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
39		1p1e2 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
40		8cn 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
41		4cn 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		8p4e12 12815	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
43	40, 41, 42	addcomli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
44	15, 36, 16, 38, 39, 5, 43	decaddci 12794	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
45	5, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44	decma2c 12786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
46	18, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45	decmac 12785	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
47		4p4e8 12421	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
48	15, 36, 36, 37, 47	decaddi 12793	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
49		7t7e49 12847	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
50	4, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49	decmul2c 12799	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
51	13, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50	decmul1c 12798	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
52	1, 1, 11, 12, 51	numexp2x 17116	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
53		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
54		7t3e21 12843	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
55		1p0e1 12390	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
56	5, 15, 18, 54, 55	decaddi 12793	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
57	11	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58		6p2e8 12425	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
59	57, 58	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
60	4, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59	decma 12784	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
61		9t3e27 12856	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
62	1, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61	decmul1c 12798	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
63	1, 2, 3, 62	numexpp1 17115	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42056