Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp7 40855
Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3exp7 (3↑7) = 2187

Proof of Theorem 3exp7
StepHypRef Expression
1 3nn0 12485 . 2 3 ∈ ℕ0
2 6nn0 12488 . 2 6 ∈ ℕ0
3 6p1e7 12355 . 2 (6 + 1) = 7
4 7nn0 12489 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5 2nn0 12484 . . . 4 2 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12687 . . 3 72 ∈ ℕ0
7 9nn0 12491 . . 3 9 ∈ ℕ0
8 3cn 12288 . . . . 5 3 ∈ ℂ
9 2cn 12282 . . . . 5 2 ∈ ℂ
10 3t2e6 12373 . . . . 5 (3 · 2) = 6
118, 9, 10mulcomli 11218 . . . 4 (2 · 3) = 6
12 3exp3 17020 . . . 4 (3↑3) = 27
135, 4deccl 12687 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
14 eqid 2733 . . . . 5 27 = 27
15 1nn0 12483 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 8nn0 12490 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12687 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 0nn0 12482 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
195dec0h 12694 . . . . . 6 2 = 02
20 eqid 2733 . . . . . 6 18 = 18
2113nn0cni 12479 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℂ
2221mul02i 11398 . . . . . . . 8 (0 · 27) = 0
23 6cn 12298 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
24 ax-1cn 11163 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2523, 24, 3addcomli 11401 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
2622, 25oveq12i 7415 . . . . . . 7 ((0 · 27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
27 7cn 12301 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
2827addlidi 11397 . . . . . . 7 (0 + 7) = 7
2926, 28eqtri 2761 . . . . . 6 ((0 · 27) + (1 + 6)) = 7
3016dec0h 12694 . . . . . . 7 8 = 08
31 2t2e4 12371 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
329addlidi 11397 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
3331, 32oveq12i 7415 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
34 4p2e6 12360 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
3533, 34eqtri 2761 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
36 4nn0 12486 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
37 7t2e14 12781 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
3827, 9, 37mulcomli 11218 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
39 1p1e2 12332 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
40 8cn 12304 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
41 4cn 12292 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
42 8p4e12 12754 . . . . . . . . 9 (8 + 4) = 12
4340, 41, 42addcomli 11401 . . . . . . . 8 (4 + 8) = 12
4415, 36, 16, 38, 39, 5, 43decaddci 12733 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 8) = 22
455, 4, 18, 16, 14, 30, 5, 5, 5, 35, 44decma2c 12725 . . . . . 6 ((2 · 27) + 8) = 62
4618, 5, 15, 16, 19, 20, 13, 5, 2, 29, 45decmac 12724 . . . . 5 ((2 · 27) + 18) = 72
47 4p4e8 12362 . . . . . . 7 (4 + 4) = 8
4815, 36, 36, 37, 47decaddi 12732 . . . . . 6 ((7 · 2) + 4) = 18
49 7t7e49 12786 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
504, 5, 4, 14, 7, 36, 48, 49decmul2c 12738 . . . . 5 (7 · 27) = 189
5113, 5, 4, 14, 7, 17, 46, 50decmul1c 12737 . . . 4 (27 · 27) = 729
521, 1, 11, 12, 51numexp2x 17007 . . 3 (3↑6) = 729
53 eqid 2733 . . . 4 72 = 72
54 7t3e21 12782 . . . . 5 (7 · 3) = 21
55 1p0e1 12331 . . . . 5 (1 + 0) = 1
565, 15, 18, 54, 55decaddi 12732 . . . 4 ((7 · 3) + 0) = 21
5711oveq1i 7413 . . . . 5 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
58 6p2e8 12366 . . . . 5 (6 + 2) = 8
5957, 58eqtri 2761 . . . 4 ((2 · 3) + 2) = 8
604, 5, 18, 5, 53, 19, 1, 56, 59decma 12723 . . 3 ((72 · 3) + 2) = 218
61 9t3e27 12795 . . 3 (9 · 3) = 27
621, 6, 7, 52, 4, 5, 60, 61decmul1c 12737 . 2 ((3↑6) · 3) = 2187
631, 2, 3, 62numexpp1 17006 1 (3↑7) = 2187
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7403  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  6c6 12266  7c7 12267  8c8 12268  9c9 12269  cdc 12672  cexp 14022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-seq 13962  df-exp 14023
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40857
  Copyright terms: Public domain W3C validator