Theorem 3exp7 43369

Description: 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3exp7	⊢ (3↑7) = ;;;2187

Proof of Theorem 3exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12664	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		6nn0 12667	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		6p1e7 12530	. 2 ⊢ (6 + 1) = 7
4		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		2nn0 12663	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
7		9nn0 12670	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8		2t3e6 12549	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
9		3exp3 17313	. . . 4 ⊢ (3↑3) = ;27
10	5, 4	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;27 = ;27
12		1nn0 12662	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		8nn0 12669	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
15		0nn0 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	5	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 2 = ;02
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;18 = ;18
18	10	nn0cni 12658	. . . . . . . . 9 ⊢ ;27 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · ;27) = 0
20		6cn 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		ax-1cn 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	20, 21, 3	addcomli 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
23	19, 22	oveq12i 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = (0 + 7)
24		7cn 12477	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11537	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 7) = 7
26	23, 25	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;27) + (1 + 6)) = 7
27	13	dec0h 12881	. . . . . . 7 ⊢ 8 = ;08
28		2t2e4 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29		2cn 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29	addlidi 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
31	28, 30	oveq12i 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = (4 + 2)
32		4p2e6 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 2) = 6
33	31, 32	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 2)) = 6
34		4nn0 12665	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		7t2e14 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 2) = ;14
36	24, 29, 35	mulcomli 11357	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 7) = ;14
37		1p1e2 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38		8cn 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
39		4cn 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		8p4e12 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 4) = ;12
41	38, 39, 40	addcomli 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 8) = ;12
42	12, 34, 13, 36, 37, 5, 41	decaddci 12920	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 7) + 8) = ;22
43	5, 4, 15, 13, 11, 27, 5, 5, 5, 33, 42	decma2c 12912	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;27) + 8) = ;62
44	15, 5, 12, 13, 16, 17, 10, 5, 2, 26, 43	decmac 12911	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;27) + ;18) = ;72
45		4p4e8 12537	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 4) = 8
46	12, 34, 34, 35, 45	decaddi 12919	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 2) + 4) = ;18
47		7t7e49 12973	. . . . . 6 ⊢ (7 · 7) = ;49
48	4, 5, 4, 11, 7, 34, 46, 47	decmul2c 12925	. . . . 5 ⊢ (7 · ;27) = ;;189
49	10, 5, 4, 11, 7, 14, 44, 48	decmul1c 12924	. . . 4 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
50	1, 1, 8, 9, 49	numexp2x 17300	. . 3 ⊢ (3↑6) = ;;729
51		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;72 = ;72
52		7t3e21 12969	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
53		1p0e1 12505	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
54	5, 12, 15, 52, 53	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 0) = ;21
55	8	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
56		6p2e8 12541	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
57	55, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
58	4, 5, 15, 5, 51, 16, 1, 54, 57	decma 12910	. . 3 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
59		9t3e27 12982	. . 3 ⊢ (9 · 3) = ;27
60	1, 6, 7, 50, 4, 5, 58, 59	decmul1c 12924	. 2 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
61	1, 2, 3, 60	numexpp1 17299	1 ⊢ (3↑7) = ;;;2187

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43371