MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmac 12602
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decma.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decma.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
decma.d ๐ท โˆˆ โ„•0
decma.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decma.n ๐‘ = ๐ถ๐ท
decmac.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decmac.f ๐น โˆˆ โ„•0
decmac.g ๐บ โˆˆ โ„•0
decmac.e ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
decmac.2 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐บ๐น
Assertion
Ref Expression
decmac ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decmac
StepHypRef Expression
1 10nn0 12568 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
2 decma.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decma.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 decma.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 decma.d . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 decma.m . . . 4 ๐‘€ = ๐ด๐ต
7 dfdec10 12553 . . . 4 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7eqtri 2765 . . 3 ๐‘€ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
9 decma.n . . . 4 ๐‘ = ๐ถ๐ท
10 dfdec10 12553 . . . 4 ๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
119, 10eqtri 2765 . . 3 ๐‘ = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
12 decmac.p . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
13 decmac.f . . 3 ๐น โˆˆ โ„•0
14 decmac.g . . 3 ๐บ โˆˆ โ„•0
15 decmac.e . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
16 decmac.2 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐บ๐น
17 dfdec10 12553 . . . 4 ๐บ๐น = ((10 ยท ๐บ) + ๐น)
1816, 17eqtri 2765 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((10 ยท ๐บ) + ๐น)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18nummac 12595 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
20 dfdec10 12553 . 2 ๐ธ๐น = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
2119, 20eqtr4i 2768 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989  โ„•0cn0 12346  cdc 12550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-ltxr 11127  df-sub 11320  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-dec 12551
This theorem is referenced by:  decrmac  12608  2exp16  16897  37prm  16927  43prm  16928  83prm  16929  139prm  16930  163prm  16931  317prm  16932  631prm  16933  1259lem1  16937  1259lem2  16938  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  1259prm  16942  2503lem1  16943  2503lem2  16944  2503lem3  16945  2503prm  16946  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem3  16949  log2ublem3  26220  log2ub  26221  3exp7  40405  3lexlogpow5ineq1  40406  3lexlogpow5ineq5  40412  aks4d1p1  40428  235t711  40673  257prm  45502  139prmALT  45537  127prm  45540
  Copyright terms: Public domain W3C validator