MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmac 11796
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decmac.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmac.f 𝐹 ∈ ℕ0
decmac.g 𝐺 ∈ ℕ0
decmac.e ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decmac.2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decmac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decmac
StepHypRef Expression
1 10nn0 11761 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 11746 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2787 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 11746 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2787 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decmac.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decmac.f . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
14 decmac.g . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
15 decmac.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16 decmac.2 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐺𝐹
17 dfdec10 11746 . . . 4 𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
1816, 17eqtri 2787 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18nummac 11789 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20 dfdec10 11746 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
2119, 20eqtr4i 2790 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6844  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  0cn0 11540  cdc 11743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-ltxr 10335  df-sub 10524  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-dec 11744
This theorem is referenced by:  decrmac  11802  2exp16  16074  37prm  16104  43prm  16105  83prm  16106  139prm  16107  163prm  16108  317prm  16109  631prm  16110  1259lem1  16114  1259lem2  16115  1259lem3  16116  1259lem4  16117  1259lem5  16118  1259prm  16119  2503lem1  16120  2503lem2  16121  2503lem3  16122  2503prm  16123  4001lem1  16124  4001lem2  16125  4001lem3  16126  log2ublem3  24969  log2ub  24970  257prm  42152  139prmALT  42190  127prm  42194
  Copyright terms: Public domain W3C validator