Theorem decmac 12864

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decmac.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12829	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12810	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12810	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decmac.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decmac.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decmac.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decmac.2	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 12810	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 12857	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 12810	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2787	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  ℕ₀cn0 12599  ;cdc 12807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-dec 12808

This theorem is used by:  decrmac  12870  2exp16  17261  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem1  17302  1259lem2  17303  1259lem3  17304  1259lem4  17305  1259lem5  17306  1259prm  17307  2503lem1  17308  2503lem2  17309  2503lem3  17310  2503prm  17311  4001lem1  17312  4001lem2  17313  4001lem3  17314  log2ublem3  27269  log2ub  27270  3exp7  43083  3lexlogpow5ineq1  43084  3lexlogpow5ineq5  43090  aks4d1p1  43106  235t711  43342  257prm  48615  139prmALT  48650  127prm  48653