Theorem decrmanc 12716

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmanc.e	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
decrmanc.f	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmanc	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmanc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12469	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12681	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	1, 7	nn0mulcli 12492	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12466	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
10	9	addridi 11383	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
11		decrmanc.e	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
12	10, 11	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐸
13		decrmanc.f	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13	decma 12710	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  0cc0 11092   + caddc 11095   · cmul 11097  ℕ₀cn0 12454  ;cdc 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-dec 12660

This theorem is referenced by:  decmul1  12723  37prm  17036  2503lem1  17052  4001lem1  17056  4001lem2  17057  4001lem3  17058  log2ub  26381  decpmulnc  40987