MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmanc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmanc 12608
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decrmanc.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decrmanc.n ๐‘ โˆˆ โ„•0
decrmanc.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decrmanc.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decrmanc.e (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
decrmanc.f ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
Assertion
Ref Expression
decrmanc ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decrmanc
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 decrmanc.b . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
3 0nn0 12362 . 2 0 โˆˆ โ„•0
4 decrmanc.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
5 decrmanc.m . 2 ๐‘€ = ๐ด๐ต
64dec0h 12573 . 2 ๐‘ = 0๐‘
7 decrmanc.p . 2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
81, 7nn0mulcli 12385 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12359 . . . 4 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
109addid1i 11276 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = (๐ด ยท ๐‘ƒ)
11 decrmanc.e . . 3 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
1210, 11eqtri 2766 . 2 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = ๐ธ
13 decrmanc.f . 2 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13decma 12602 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7350  0cc0 10985   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„•0cn0 12347  cdc 12551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-dec 12552
This theorem is referenced by:  decmul1  12615  37prm  16928  2503lem1  16944  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem3  16950  log2ub  26221  decpmulnc  40648
  Copyright terms: Public domain W3C validator