MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmanc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmanc 12147
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decrmanc.p 𝑃 ∈ ℕ0
decrmanc.e (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
decrmanc.f ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
decrmanc ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmanc
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decrmanc.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11904 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decrmanc.n . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decrmanc.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 12112 . 2 𝑁 = 0𝑁
7 decrmanc.p . 2 𝑃 ∈ ℕ0
81, 7nn0mulcli 11927 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
98nn0cni 11901 . . . 4 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
109addid1i 10820 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
11 decrmanc.e . . 3 (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
1210, 11eqtri 2824 . 2 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐸
13 decrmanc.f . 2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13decma 12141 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535  0cn0 11889  cdc 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091
This theorem is referenced by:  decmul1  12154  37prm  16450  2503lem1  16466  4001lem1  16470  4001lem2  16471  4001lem3  16472  log2ub  25539  decpmulnc  39478
  Copyright terms: Public domain W3C validator