MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmanc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmanc 12739
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decrmanc.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decrmanc.n ๐‘ โˆˆ โ„•0
decrmanc.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decrmanc.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decrmanc.e (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
decrmanc.f ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
Assertion
Ref Expression
decrmanc ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decrmanc
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 decrmanc.b . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
3 0nn0 12492 . 2 0 โˆˆ โ„•0
4 decrmanc.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
5 decrmanc.m . 2 ๐‘€ = ๐ด๐ต
64dec0h 12704 . 2 ๐‘ = 0๐‘
7 decrmanc.p . 2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
81, 7nn0mulcli 12515 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12489 . . . 4 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
109addridi 11406 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = (๐ด ยท ๐‘ƒ)
11 decrmanc.e . . 3 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
1210, 11eqtri 2759 . 2 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = ๐ธ
13 decrmanc.f . 2 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13decma 12733 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7412  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„•0cn0 12477  cdc 12682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-dec 12683
This theorem is referenced by:  decmul1  12746  37prm  17059  2503lem1  17075  4001lem1  17079  4001lem2  17080  4001lem3  17081  log2ub  26691  decpmulnc  41502
  Copyright terms: Public domain W3C validator