MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmulnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmulnc 11833
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmulnc.n 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
decmulnc (𝑁 · 𝐴𝐵) = (𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc
StepHypRef Expression
1 decmulnc.n . 2 𝑁 ∈ ℕ0
2 decmulnc.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
3 decmulnc.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
4 eqid 2817 . 2 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
51, 3nn0mulcli 11604 . 2 (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6 0nn0 11581 . 2 0 ∈ ℕ0
71, 2nn0mulcli 11604 . . . 4 (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
87nn0cni 11578 . . 3 (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
98addid1i 10515 . 2 ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
105dec0h 11788 . 2 (𝑁 · 𝐵) = 0(𝑁 · 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10decmul2c 11832 1 (𝑁 · 𝐴𝐵) = (𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6881  0cc0 10228   · cmul 10233  0cn0 11566  cdc 11766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-ltxr 10371  df-sub 10560  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-dec 11767
This theorem is referenced by:  11multnc  11834  sqn5i  37751
  Copyright terms: Public domain W3C validator