Theorem dec0h 12848

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec0u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dec0h	⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Proof of Theorem dec0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12843	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		dec0u.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	num0h 12833	. 2 ⊢ 𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
4		dfdec10 12824	. 2 ⊢ ;0𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2786	1 ⊢ 𝐴 = ;0𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  ℕ₀cn0 12613  ;cdc 12821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-dec 12822

This theorem is used by:  declei  12862  decrmanc  12883  decrmac  12884  decaddi  12886  decaddci  12887  decmulnc  12893  dec5dvds2  17252  2exp16  17277  37prm  17308  43prm  17309  83prm  17310  139prm  17311  163prm  17312  317prm  17313  631prm  17314  1259lem1  17318  1259lem2  17319  1259lem3  17320  1259lem4  17321  1259lem5  17322  2503lem1  17324  2503lem2  17325  2503lem3  17326  2503prm  17327  4001lem1  17328  4001lem2  17329  4001lem3  17330  4001lem4  17331  log2ublem3  27285  log2ub  27286  1mhdrd  33532  hgt750lem2  35331  12gcd5e1  43162  60gcd7e1  43164  420gcd8e4  43165  60lcm7e420  43169  420lcm8e840  43170  3exp7  43212  3lexlogpow5ineq1  43213  3lexlogpow5ineq5  43219  aks4d1p1  43235  ex-decpmul  43472  wallispi2lem2  47190  139prmALT  48789  127prm  48792  nfermltl2rev  48949