Theorem dec0h 12733

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec0u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dec0h	⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Proof of Theorem dec0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12728	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		dec0u.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	num0h 12718	. 2 ⊢ 𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
4		dfdec10 12709	. 2 ⊢ ;0𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2789	1 ⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-dec 12707

This theorem is referenced by:  declei  12747  decrmanc  12768  decrmac  12769  decaddi  12771  decaddci  12772  decmulnc  12778  dec5dvds2  17120  2exp16  17145  37prm  17176  43prm  17177  83prm  17178  139prm  17179  163prm  17180  317prm  17181  631prm  17182  1259lem1  17186  1259lem2  17187  1259lem3  17188  1259lem4  17189  1259lem5  17190  2503lem1  17192  2503lem2  17193  2503lem3  17194  2503prm  17195  4001lem1  17196  4001lem2  17197  4001lem3  17198  4001lem4  17199  log2ublem3  27113  log2ub  27114  1mhdrd  33235  hgt750lem2  35039  12gcd5e1  42770  60gcd7e1  42772  420gcd8e4  42773  60lcm7e420  42777  420lcm8e840  42778  3exp7  42820  3lexlogpow5ineq1  42821  3lexlogpow5ineq5  42827  aks4d1p1  42843  ex-decpmul  43067  wallispi2lem2  46786  139prmALT  48348  127prm  48351  nfermltl2rev  48508