Theorem dec0h 12613

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec0u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dec0h	⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Proof of Theorem dec0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12609	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		dec0u.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	num0h 12603	. 2 ⊢ 𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
4		dfdec10 12594	. 2 ⊢ ;0𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2755	1 ⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384  ;cdc 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-dec 12592

This theorem is referenced by:  declei  12627  decrmanc  12648  decrmac  12649  decaddi  12651  decaddci  12652  decmulnc  12658  dec5dvds2  16977  2exp16  17002  37prm  17032  43prm  17033  83prm  17034  139prm  17035  163prm  17036  317prm  17037  631prm  17038  1259lem1  17042  1259lem2  17043  1259lem3  17044  1259lem4  17045  1259lem5  17046  2503lem1  17048  2503lem2  17049  2503lem3  17050  2503prm  17051  4001lem1  17052  4001lem2  17053  4001lem3  17054  4001lem4  17055  log2ublem3  26856  log2ub  26857  1mhdrd  32856  hgt750lem2  34620  12gcd5e1  41976  60gcd7e1  41978  420gcd8e4  41979  60lcm7e420  41983  420lcm8e840  41984  3exp7  42026  3lexlogpow5ineq1  42027  3lexlogpow5ineq5  42033  aks4d1p1  42049  ex-decpmul  42279  wallispi2lem2  46053  139prmALT  47580  127prm  47583  nfermltl2rev  47727