Theorem dec0h 12754

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec0u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dec0h	⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Proof of Theorem dec0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12749	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		dec0u.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	num0h 12739	. 2 ⊢ 𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
4		dfdec10 12730	. 2 ⊢ ;0𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2791	1 ⊢ 𝐴 = ;0𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  ℕ₀cn0 12519  ;cdc 12727

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-dec 12728

This theorem is used by:  declei  12768  decrmanc  12789  decrmac  12790  decaddi  12792  decaddci  12793  decmulnc  12799  dec5dvds2  17147  2exp16  17172  37prm  17203  43prm  17204  83prm  17205  139prm  17206  163prm  17207  317prm  17208  631prm  17209  1259lem1  17213  1259lem2  17214  1259lem3  17215  1259lem4  17216  1259lem5  17217  2503lem1  17219  2503lem2  17220  2503lem3  17221  2503prm  17222  4001lem1  17223  4001lem2  17224  4001lem3  17225  4001lem4  17226  log2ublem3  27164  log2ub  27165  1mhdrd  33305  hgt750lem2  35104  12gcd5e1  42828  60gcd7e1  42830  420gcd8e4  42831  60lcm7e420  42835  420lcm8e840  42836  3exp7  42878  3lexlogpow5ineq1  42879  3lexlogpow5ineq5  42885  aks4d1p1  42901  ex-decpmul  43125  wallispi2lem2  46844  139prmALT  48406  127prm  48409  nfermltl2rev  48566