MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec0h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec0h 11801
Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dec0u.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
dec0h 𝐴 = 0𝐴

Proof of Theorem dec0h
StepHypRef Expression
1 10nn0 11797 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 dec0u.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
31, 2num0h 11791 . 2 𝐴 = ((10 · 0) + 𝐴)
4 dfdec10 11782 . 2 0𝐴 = ((10 · 0) + 𝐴)
53, 4eqtr4i 2842 1 𝐴 = 0𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  0cn0 11579  cdc 11779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-om 7306  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-ltxr 10374  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-dec 11780
This theorem is referenced by:  declei  11815  decrmanc  11836  decrmac  11837  decaddi  11839  decaddci  11840  decmulnc  11846  dec5dvds2  16006  2exp16  16029  37prm  16059  43prm  16060  83prm  16061  139prm  16062  163prm  16063  317prm  16064  631prm  16065  1259lem1  16069  1259lem2  16070  1259lem3  16071  1259lem4  16072  1259lem5  16073  2503lem1  16075  2503lem2  16076  2503lem3  16077  2503prm  16078  4001lem1  16079  4001lem2  16080  4001lem3  16081  4001lem4  16082  log2ublem3  24912  log2ub  24913  birthday  24918  1mhdrd  29972  hgt750lem2  31078  wallispi2lem2  40786  139prmALT  42104  127prm  42108
  Copyright terms: Public domain W3C validator