Theorem dec0h 12194

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec0u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dec0h	⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Proof of Theorem dec0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12190	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		dec0u.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	num0h 12184	. 2 ⊢ 𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
4		dfdec10 12175	. 2 ⊢ ;0𝐴 = ((;10 · 0) + 𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2764	1 ⊢ 𝐴 = ;0𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  ℕ₀cn0 11969  ;cdc 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-dec 12173

This theorem is referenced by:  declei  12208  decrmanc  12229  decrmac  12230  decaddi  12232  decaddci  12233  decmulnc  12239  dec5dvds2  16494  2exp16  16520  37prm  16550  43prm  16551  83prm  16552  139prm  16553  163prm  16554  317prm  16555  631prm  16556  1259lem1  16560  1259lem2  16561  1259lem3  16562  1259lem4  16563  1259lem5  16564  2503lem1  16566  2503lem2  16567  2503lem3  16568  2503prm  16569  4001lem1  16570  4001lem2  16571  4001lem3  16572  4001lem4  16573  log2ublem3  25678  log2ub  25679  1mhdrd  30757  hgt750lem2  32194  12gcd5e1  39620  60gcd7e1  39622  420gcd8e4  39623  60lcm7e420  39627  420lcm8e840  39628  3exp7  39670  3lexlogpow5ineq1  39671  3lexlogpow5ineq5  39677  aks4d1p1  39692  ex-decpmul  39880  wallispi2lem2  43139  139prmALT  44566  127prm  44569  nfermltl2rev  44713