Theorem drngring 19509

Description: A division ring is a ring. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
drngring	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem drngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 19506	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simplbi 500	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933  {csn 4567  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297  Unitcui 19389  DivRingcdr 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-iota 6314  df-fv 6363  df-drng 19504

This theorem is referenced by:  drnggrp  19510  drngid  19516  drngunz  19517  drnginvrcl  19519  drnginvrn0  19520  drnginvrl  19521  drnginvrr  19522  drngmul0or  19523  sdrgid  19575  sdrgacs  19580  cntzsdrg  19581  primefld  19584  abvtriv  19612  rlmlvec  19978  drngnidl  20002  drnglpir  20026  drngnzr  20035  drngdomn  20076  mpllvec  20233  qsssubdrg  20604  frlmlvec  20905  frlmphllem  20924  frlmphl  20925  cvsdivcl  23737  qcvs  23751  cphsubrglem  23781  rrxcph  23995  rrx0  24000  drnguc1p  24764  ig1peu  24765  ig1pcl  24769  ig1pdvds  24770  ig1prsp  24771  ply1lpir  24772  padicabv  26206  ofldchr  30887  reofld  30913  rearchi  30915  xrge0slmod  30917  sradrng  30988  drgext0gsca  30994  drgextlsp  30996  rgmoddim  31008  frlmdim  31009  matdim  31013  drngdimgt0  31016  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  fedgmul  31027  fldextid  31049  extdg1id  31053  ccfldsrarelvec  31056  zrhunitpreima  31219  elzrhunit  31220  qqhval2lem  31222  qqh0  31225  qqh1  31226  qqhf  31227  qqhghm  31229  qqhrhm  31230  qqhnm  31231  qqhucn  31233  zrhre  31260  qqhre  31261  lindsdom  34901  lindsenlbs  34902  matunitlindflem1  34903  matunitlindflem2  34904  matunitlindf  34905  dvalveclem  38176  dvhlveclem  38259  hlhilsrnglem  39104  0prjspnrel  39289  drhmsubc  44371  drngcat  44372  drhmsubcALTV  44389  drngcatALTV  44390  aacllem  44922