Theorem drngnidl 20500

Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngnidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngnidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngnidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorrl 978	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2		drngring 19998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6		drngnidl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		drngnidl.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidlnz 20499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
10		simpll 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngnidl.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 6	lidlss 20481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐵)
15	14	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		simprr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ≠ 0 )
17		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	11, 7, 17, 18, 19	drnginvrl 20010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
21	10, 15, 16, 20	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
22	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑎 ∈ 𝑈)
24	11, 7, 19	drnginvrcl 20008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
25	10, 15, 16, 24	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝑎)
27	6, 11, 17	lidlmcl 20488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
28	22, 23, 25, 26, 27	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
29	21, 28	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
30	29	rexlimdvaa 3214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎))
31	30	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
32	9, 31	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
33	6, 11, 18	lidl1el 20489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
34	2, 33	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
35	34	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
36	32, 35	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
37	36	olcd 871	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
38	1, 37	pm2.61dane 3032	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
40	39	elpr 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
41	38, 40	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
42	41	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
43	42	ssrdv 3927	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
44	6, 7	lidl0 20490	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
45	6, 11	lidl1 20491	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)
46	44, 45	prssd 4755	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
47	2, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
48	43, 47	eqssd 3938	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991  LIdealclidl 20432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436

This theorem is referenced by:  drnglpir  20524