Theorem drngnidl 21184

Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngnidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngnidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngnidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorrl 982	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2		drngring 20655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6		drngnidl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		drngnidl.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidlnz 21183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
10		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngnidl.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 6	lidlss 21153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐵)
15	14	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ≠ 0 )
17		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	11, 7, 17, 18, 19	drnginvrl 20675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
21	10, 15, 16, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
22	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑎 ∈ 𝑈)
24	11, 7, 19	drnginvrcl 20672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
25	10, 15, 16, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝑎)
27	6, 11, 17	lidlmcl 21166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
28	22, 23, 25, 26, 27	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
29	21, 28	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
30	29	rexlimdvaa 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎))
31	30	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
32	9, 31	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
33	6, 11, 18	lidl1el 21167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
34	2, 33	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
37	36	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
38	1, 37	pm2.61dane 3016	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
40	39	elpr 4602	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
41	38, 40	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
42	41	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
43	42	ssrdv 3936	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
44	6, 7	lidl0 21171	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
45	6, 11	lidl1 21174	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)
46	44, 45	prssd 4775	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
47	2, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
48	43, 47	eqssd 3948	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  0_gc0g 17347  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  inv_rcinvr 20309  DivRingcdr 20648  LIdealclidl 21147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-subrg 20489  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-lidl 21149

This theorem is referenced by:  drnglpir  21273  drngidl  33407  drngidlhash  33408  drng0mxidl  33450  drngmxidl  33451