MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngnidl 20715
Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngnidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngnidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})

Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 animorrl 980 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
2 drngring 20204 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
5 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž β‰  { 0 })
6 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
7 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
86, 7lidlnz 20714 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
93, 4, 5, 8syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
10 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1211, 6lidlss 20696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1413sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
1514adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 β‰  0 )
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2011, 7, 17, 18, 19drnginvrl 20220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
2110, 15, 16, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
2411, 7, 19drnginvrcl 20217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2510, 15, 16, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ π‘Ž)
276, 11, 17lidlmcl 20703 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2822, 23, 25, 26, 27syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2921, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
3029rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž))
3130imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
329, 31syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
336, 11, 18lidl1el 20704 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
342, 33sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3534adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž = 𝐡)
3736olcd 873 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
381, 37pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
39 vex 3448 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
4039elpr 4610 . . . . 5 (π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡} ↔ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
4138, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡})
4241ex 414 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡}))
4342ssrdv 3951 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ βŠ† {{ 0 }, 𝐡})
446, 7lidl0 20705 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)
456, 11lidl1 20706 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
4644, 45prssd 4783 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
472, 46syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
4843, 47eqssd 3962 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  1rcur 19918  Ringcrg 19969  invrcinvr 20105  DivRingcdr 20197  LIdealclidl 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651
This theorem is referenced by:  drnglpir  20739
  Copyright terms: Public domain W3C validator