Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngnidl 20016
 Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z 0 = (0g𝑅)
drngnidl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 animorrl 978 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2 drngring 19523 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎𝑈)
5 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑅)
86, 7lidlnz 20015 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏𝑎 𝑏0 )
93, 4, 5, 8syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏𝑎 𝑏0 )
10 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝑅)
1211, 6lidlss 19997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑈𝑎𝐵)
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎𝐵)
1413sselda 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐵)
1514adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏𝐵)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏0 )
17 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
18 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑅) = (1r𝑅)
19 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2011, 7, 17, 18, 19drnginvrl 19535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵𝑏0 ) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) = (1r𝑅))
2110, 15, 16, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) = (1r𝑅))
222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑎𝑈)
2411, 7, 19drnginvrcl 19533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵𝑏0 ) → ((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
2510, 15, 16, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → ((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏𝑎)
276, 11, 17lidlmcl 20004 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈) ∧ (((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵𝑏𝑎)) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
2822, 23, 25, 26, 27syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
2921, 28eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
3029rexlimdvaa 3245 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → (∃𝑏𝑎 𝑏0 → (1r𝑅) ∈ 𝑎))
3130imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ ∃𝑏𝑎 𝑏0 ) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
329, 31syldan 594 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
336, 11, 18lidl1el 20005 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
342, 33sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
3534adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
3632, 35mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
3736olcd 871 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
381, 37pm2.61dane 3074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39 vex 3445 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
4039elpr 4551 . . . . 5 (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
4138, 40sylibr 237 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
4241ex 416 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎𝑈𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
4342ssrdv 3923 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
446, 7lidl0 20006 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
456, 11lidl1 20007 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵𝑈)
4644, 45prssd 4718 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
472, 46syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
4843, 47eqssd 3934 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883  {csn 4528  {cpr 4530  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  .rcmulr 16578  0gc0g 16725  1rcur 19265  Ringcrg 19311  invrcinvr 19438  DivRingcdr 19516  LIdealclidl 19956 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-subg 18289  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-subrg 19547  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-lidl 19960 This theorem is referenced by:  drnglpir  20040
 Copyright terms: Public domain W3C validator