Theorem drngnidl 21198

Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngnidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngnidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngnidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorrl 982	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2		drngring 20669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6		drngnidl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		drngnidl.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidlnz 21197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
10		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngnidl.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 6	lidlss 21167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐵)
15	14	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ≠ 0 )
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	11, 7, 17, 18, 19	drnginvrl 20689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
21	10, 15, 16, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
22	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑎 ∈ 𝑈)
24	11, 7, 19	drnginvrcl 20686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
25	10, 15, 16, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝑎)
27	6, 11, 17	lidlmcl 21180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
28	22, 23, 25, 26, 27	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
29	21, 28	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
30	29	rexlimdvaa 3138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎))
31	30	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
32	9, 31	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
33	6, 11, 18	lidl1el 21181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
34	2, 33	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
37	36	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
38	1, 37	pm2.61dane 3019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
40	39	elpr 4605	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
41	38, 40	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
42	41	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
43	42	ssrdv 3939	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
44	6, 7	lidl0 21185	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
45	6, 11	lidl1 21188	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)
46	44, 45	prssd 4778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
47	2, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
48	43, 47	eqssd 3951	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {csn 4580  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  inv_rcinvr 20323  DivRingcdr 20662  LIdealclidl 21161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163

This theorem is referenced by:  drnglpir  21287  drngidl  33514  drngidlhash  33515  drng0mxidl  33557  drngmxidl  33558