MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngnidl 20854
Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngnidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngnidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 animorrl 980 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
2 drngring 20364 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
5 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž β‰  { 0 })
6 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
7 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
86, 7lidlnz 20853 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
93, 4, 5, 8syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
10 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1211, 6lidlss 20833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1413sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
1514adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 β‰  0 )
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2011, 7, 17, 18, 19drnginvrl 20382 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
2110, 15, 16, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
2411, 7, 19drnginvrcl 20379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2510, 15, 16, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ π‘Ž)
276, 11, 17lidlmcl 20840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2822, 23, 25, 26, 27syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2921, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
3029rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž))
3130imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
329, 31syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
336, 11, 18lidl1el 20841 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
342, 33sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3534adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž = 𝐡)
3736olcd 873 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
381, 37pm2.61dane 3030 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
39 vex 3479 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
4039elpr 4652 . . . . 5 (π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡} ↔ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
4138, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡})
4241ex 414 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡}))
4342ssrdv 3989 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ βŠ† {{ 0 }, 𝐡})
446, 7lidl0 20844 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)
456, 11lidl1 20845 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
4644, 45prssd 4826 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
472, 46syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
4843, 47eqssd 4000 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  1rcur 20004  Ringcrg 20056  invrcinvr 20201  DivRingcdr 20357  LIdealclidl 20783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787
This theorem is referenced by:  drnglpir  20891  drngidl  32551  drngidlhash  32552  drng0mxidl  32592  drngmxidl  32593
  Copyright terms: Public domain W3C validator