MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngnidl 20846
Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngnidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngnidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 animorrl 979 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
2 drngring 20314 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž β‰  { 0 })
6 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
7 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
86, 7lidlnz 20845 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
93, 4, 5, 8syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
10 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1211, 6lidlss 20825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1413sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
1514adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
16 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 β‰  0 )
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2011, 7, 17, 18, 19drnginvrl 20332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
2110, 15, 16, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
222ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
2411, 7, 19drnginvrcl 20329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2510, 15, 16, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ π‘Ž)
276, 11, 17lidlmcl 20832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2822, 23, 25, 26, 27syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2921, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
3029rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž))
3130imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
329, 31syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
336, 11, 18lidl1el 20833 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
342, 33sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3534adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž = 𝐡)
3736olcd 872 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
381, 37pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
39 vex 3478 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
4039elpr 4650 . . . . 5 (π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡} ↔ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
4138, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡})
4241ex 413 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡}))
4342ssrdv 3987 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ βŠ† {{ 0 }, 𝐡})
446, 7lidl0 20836 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)
456, 11lidl1 20837 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
4644, 45prssd 4824 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
472, 46syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
4843, 47eqssd 3998 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049  invrcinvr 20193  DivRingcdr 20307  LIdealclidl 20775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779
This theorem is referenced by:  drnglpir  20883  drngidl  32539  drngidlhash  32540  drng0mxidl  32580  drngmxidl  32581
  Copyright terms: Public domain W3C validator