MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngnidl 20860
Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngnidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngnidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 animorrl 979 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
2 drngring 20368 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž β‰  { 0 })
6 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
7 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
86, 7lidlnz 20859 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
93, 4, 5, 8syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 )
10 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1211, 6lidlss 20839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
1413sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
1514adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
16 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 β‰  0 )
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2011, 7, 17, 18, 19drnginvrl 20386 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
2110, 15, 16, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) = (1rβ€˜π‘…))
222ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
2411, 7, 19drnginvrcl 20383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2510, 15, 16, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ 𝑏 ∈ π‘Ž)
276, 11, 17lidlmcl 20846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2822, 23, 25, 26, 27syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ π‘Ž)
2921, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑏 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  0 )) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
3029rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž))
3130imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ π‘Ž 𝑏 β‰  0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
329, 31syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž)
336, 11, 18lidl1el 20847 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
342, 33sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3534adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ž ↔ π‘Ž = 𝐡))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ π‘Ž = 𝐡)
3736olcd 872 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž β‰  { 0 }) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
381, 37pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
39 vex 3478 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
4039elpr 4651 . . . . 5 (π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡} ↔ (π‘Ž = { 0 } ∨ π‘Ž = 𝐡))
4138, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡})
4241ex 413 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ {{ 0 }, 𝐡}))
4342ssrdv 3988 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ βŠ† {{ 0 }, 𝐡})
446, 7lidl0 20850 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)
456, 11lidl1 20851 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
4644, 45prssd 4825 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
472, 46syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {{ 0 }, 𝐡} βŠ† π‘ˆ)
4843, 47eqssd 3999 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  0gc0g 17387  1rcur 20006  Ringcrg 20058  invrcinvr 20205  DivRingcdr 20361  LIdealclidl 20789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793
This theorem is referenced by:  drnglpir  20897  drngidl  32596  drngidlhash  32597  drng0mxidl  32637  drngmxidl  32638
  Copyright terms: Public domain W3C validator