Theorem drngnidl 21406

Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngnidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngnidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngnidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorrl 996	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2		drngring 20863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6		drngnidl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		drngnidl.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidlnz 21405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
10		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngnidl.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 6	lidlss 21365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐵)
15	14	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ≠ 0 )
17		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	11, 7, 17, 18, 19	drnginvrl 20889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
21	10, 15, 16, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
22	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑎 ∈ 𝑈)
24	11, 7, 19	drnginvrcl 20886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
25	10, 15, 16, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝑎)
27	6, 11, 17	lidlmcl 21379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
28	22, 23, 25, 26, 27	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
29	21, 28	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
30	29	rexlimdvaa 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎))
31	30	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
32	9, 31	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
33	6, 11, 18	lidl1el 21380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
34	2, 33	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
36	32, 35	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
37	36	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
38	1, 37	pm2.61dane 3047	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
40	39	elpr 4616	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
41	38, 40	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
42	41	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
43	42	ssrdv 3944	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
44	6, 7	lidl0 21385	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
45	6, 11	lidl1 21388	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)
46	44, 45	prssd 4790	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
47	2, 46	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
48	43, 47	eqssd 3955	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  ._rcmulr 17328  0_gc0g 17509  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  inv_rcinvr 20494  DivRingcdr 20856  LIdealclidl 21359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-lidl 21361

This theorem is used by:  drngidl  21414  drnglpir  21529  drngidlhash  33764  drng0mxidl  33781  drngmxidl  33782  drngprmrng  49138