Theorem drngnidl 20413

Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngnidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngnidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngnidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorrl 977	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
2		drngring 19913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
6		drngnidl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		drngnidl.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidlnz 20412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 )
10		simpll 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngnidl.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 6	lidlss 20394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐵)
15	14	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝐵)
16		simprr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ≠ 0 )
17		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	11, 7, 17, 18, 19	drnginvrl 19925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
21	10, 15, 16, 20	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) = (1r‘𝑅))
22	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑎 ∈ 𝑈)
24	11, 7, 19	drnginvrcl 19923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
25	10, 15, 16, 24	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
26		simprl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → 𝑏 ∈ 𝑎)
27	6, 11, 17	lidlmcl 20401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
28	22, 23, 25, 26, 27	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (((invr‘𝑅)‘𝑏)(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
29	21, 28	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
30	29	rexlimdvaa 3213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎))
31	30	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
32	9, 31	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑎)
33	6, 11, 18	lidl1el 20402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
34	2, 33	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝐵))
36	32, 35	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
37	36	olcd 870	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
38	1, 37	pm2.61dane 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
39		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
40	39	elpr 4581	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
41	38, 40	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
42	41	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
43	42	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
44	6, 7	lidl0 20403	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
45	6, 11	lidl1 20404	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)
46	44, 45	prssd 4752	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
47	2, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
48	43, 47	eqssd 3934	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LIdealclidl 20347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351

This theorem is referenced by:  drnglpir  20437