Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 33581
Description: The image of 1 by the β„šHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 12965 . . . 4 β„€ βŠ† β„š
2 1z 12617 . . . 4 1 ∈ β„€
31, 2sselii 3976 . . 3 1 ∈ β„š
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
74, 5, 6qqhvval 33579 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 1 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
83, 7mpan2 690 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
9 gcd1 16497 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 11929 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2737 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 12248 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
15 qnumdenbi 16710 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1458 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1))
1713, 16mpbi 229 . . . . . . 7 ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)
1817simpli 483 . . . . . 6 (numerβ€˜1) = 1
1918fveq2i 6895 . . . . 5 (πΏβ€˜(numerβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2017simpri 485 . . . . . 6 (denomβ€˜1) = 1
2120fveq2i 6895 . . . . 5 (πΏβ€˜(denomβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2219, 21oveq12i 7427 . . . 4 ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1))
23 drngring 20625 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
256, 24zrh1 21432 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
2625, 25oveq12d 7433 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
284, 24ringidcl 20196 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
294, 5, 24dvr1 20340 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3023, 28, 29syl2anc2 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3127, 30eqtrd 2768 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = (1rβ€˜π‘…))
3222, 31eqtrid 2780 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
348, 33eqtrd 2768 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134   / cdiv 11896  β„•cn 12237  β„€cz 12583  β„šcq 12957   gcd cgcd 16463  numercnumer 16699  denomcdenom 16700  Basecbs 17174  1rcur 20115  Ringcrg 20167  /rcdvr 20333  DivRingcdr 20618  β„€RHomczrh 21419  chrcchr 21421  β„šHomcqqh 33568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-numer 16701  df-denom 16702  df-gz 16893  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-od 19477  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-cnfld 21274  df-zring 21367  df-zrh 21423  df-chr 21425  df-qqh 33569
This theorem is referenced by:  qqhrhm  33585
  Copyright terms: Public domain W3C validator