Theorem qqh1 34684

Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh1	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 13107	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		1z 12750	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3910	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34682	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9		gcd1 16727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 gcd 1) = 1
11		1div1e1 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	11	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 / 1)
13	10, 12	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14		1nn 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		qnumdenbi 16946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
17	13, 16	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
18	17	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ (numer‘1) = 1
19	18	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
20	17	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ (denom‘1) = 1
21	20	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
22	19, 21	oveq12i 7452	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23		drngring 21014	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	6, 24	zrh1 21845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
26	25, 25	oveq12d 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
27	23, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
28	4, 24	ringidcl 20521	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	4, 5, 24	dvr1 20664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r‘𝑅))
32	22, 31	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
33	32	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
34	8, 33	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   / cdiv 11997  ℕcn 12359  ℤcz 12717  ℚcq 13099   gcd cgcd 16690  numercnumer 16935  denomcdenom 16936  Basecbs 17413  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  /_rcdvr 20657  DivRingcdr 21007  ℤRHomczrh 21832  chrcchr 21834  ℚHomcqqh 34669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-gcd 16691  df-numer 16937  df-denom 16938  df-gz 17134  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-od 19769  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-zrh 21836  df-chr 21838  df-qqh 34670

This theorem is used by:  qqhrhm  34688