Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 33457
Description: The image of 1 by the β„šHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 12938 . . . 4 β„€ βŠ† β„š
2 1z 12590 . . . 4 1 ∈ β„€
31, 2sselii 3972 . . 3 1 ∈ β„š
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
74, 5, 6qqhvval 33455 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 1 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
83, 7mpan2 688 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
9 gcd1 16468 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 11902 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 12221 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
15 qnumdenbi 16681 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1457 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1))
1713, 16mpbi 229 . . . . . . 7 ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)
1817simpli 483 . . . . . 6 (numerβ€˜1) = 1
1918fveq2i 6885 . . . . 5 (πΏβ€˜(numerβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2017simpri 485 . . . . . 6 (denomβ€˜1) = 1
2120fveq2i 6885 . . . . 5 (πΏβ€˜(denomβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2219, 21oveq12i 7414 . . . 4 ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1))
23 drngring 20586 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2724 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
256, 24zrh1 21369 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
2625, 25oveq12d 7420 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
284, 24ringidcl 20157 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
294, 5, 24dvr1 20301 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3023, 28, 29syl2anc2 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3127, 30eqtrd 2764 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = (1rβ€˜π‘…))
3222, 31eqtrid 2776 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
348, 33eqtrd 2764 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   / cdiv 11869  β„•cn 12210  β„€cz 12556  β„šcq 12930   gcd cgcd 16434  numercnumer 16670  denomcdenom 16671  Basecbs 17145  1rcur 20078  Ringcrg 20130  /rcdvr 20294  DivRingcdr 20579  β„€RHomczrh 21356  chrcchr 21358  β„šHomcqqh 33444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16672  df-denom 16673  df-gz 16864  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-od 19440  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-rhm 20366  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20581  df-cnfld 21231  df-zring 21304  df-zrh 21360  df-chr 21362  df-qqh 33445
This theorem is referenced by:  qqhrhm  33461
  Copyright terms: Public domain W3C validator