Theorem qqh1 32960

Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh1	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12939	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		1z 12591	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3979	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 32958	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
8	3, 7	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9		gcd1 16468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 gcd 1) = 1
11		1div1e1 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	11	eqcomi 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 / 1)
13	10, 12	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14		1nn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		qnumdenbi 16679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
17	13, 16	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
18	17	simpli 484	. . . . . 6 ⊢ (numer‘1) = 1
19	18	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
20	17	simpri 486	. . . . . 6 ⊢ (denom‘1) = 1
21	20	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
22	19, 21	oveq12i 7420	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23		drngring 20363	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	6, 24	zrh1 21061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
26	25, 25	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
27	23, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
28	4, 24	ringidcl 20082	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	4, 5, 24	dvr1 20220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r‘𝑅))
32	22, 31	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
33	32	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
34	8, 33	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   / cdiv 11870  ℕcn 12211  ℤcz 12557  ℚcq 12931   gcd cgcd 16434  numercnumer 16668  denomcdenom 16669  Basecbs 17143  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  /_rcdvr 20213  DivRingcdr 20356  ℤRHomczrh 21048  chrcchr 21050  ℚHomcqqh 32947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-gz 16862  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-od 19395  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-chr 21054  df-qqh 32948

This theorem is referenced by:  qqhrhm  32964