Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 31300
Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 12343 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 1z 12000 . . . 4 1 ∈ ℤ
31, 2sselii 3939 . . 3 1 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 31298 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
83, 7mpan2 690 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9 gcd1 15865 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 11319 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2831 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 474 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 11636 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
15 qnumdenbi 16073 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1458 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
1713, 16mpbi 233 . . . . . . 7 ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
1817simpli 487 . . . . . 6 (numer‘1) = 1
1918fveq2i 6655 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
2017simpri 489 . . . . . 6 (denom‘1) = 1
2120fveq2i 6655 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
2219, 21oveq12i 7152 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23 drngring 19500 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2822 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
256, 24zrh1 20204 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
2625, 25oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
284, 24ringidcl 19312 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
294, 5, 24dvr1 19433 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3023, 28, 29syl2anc2 588 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3127, 30eqtrd 2857 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r𝑅))
3222, 31syl5eq 2869 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
3332adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
348, 33eqtrd 2857 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   / cdiv 11286  cn 11625  cz 11969  cq 12336   gcd cgcd 15832  numercnumer 16062  denomcdenom 16063  Basecbs 16474  1rcur 19242  Ringcrg 19288  /rcdvr 19426  DivRingcdr 19493  ℤRHomczrh 20191  chrcchr 20193  ℚHomcqqh 31287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-numer 16064  df-denom 16065  df-gz 16255  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-od 18647  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-subrg 19524  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-chr 20197  df-qqh 31288
This theorem is referenced by:  qqhrhm  31304
  Copyright terms: Public domain W3C validator