Theorem qqh1 31835

Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh1	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12625	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		1z 12280	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 31833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
8	3, 7	mpan2 687	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9		gcd1 16163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 gcd 1) = 1
11		1div1e1 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	11	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 / 1)
13	10, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14		1nn 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		qnumdenbi 16376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
17	13, 16	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
18	17	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (numer‘1) = 1
19	18	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
20	17	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (denom‘1) = 1
21	20	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
22	19, 21	oveq12i 7267	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23		drngring 19913	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	6, 24	zrh1 20626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
26	25, 25	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
27	23, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
28	4, 24	ringidcl 19722	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	4, 5, 24	dvr1 19846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc2 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r‘𝑅))
32	22, 31	syl5eq 2791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
34	8, 33	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℚcq 12617   gcd cgcd 16129  numercnumer 16365  denomcdenom 16366  Basecbs 16840  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  /_rcdvr 19839  DivRingcdr 19906  ℤRHomczrh 20613  chrcchr 20615  ℚHomcqqh 31822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368  df-gz 16559  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-od 19051  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-chr 20619  df-qqh 31823

This theorem is referenced by:  qqhrhm  31839