Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 32630
Description: The image of 1 by the β„šHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 12889 . . . 4 β„€ βŠ† β„š
2 1z 12541 . . . 4 1 ∈ β„€
31, 2sselii 3945 . . 3 1 ∈ β„š
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
74, 5, 6qqhvval 32628 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 1 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
83, 7mpan2 690 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))))
9 gcd1 16416 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 11853 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 12172 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
15 qnumdenbi 16627 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1462 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1))
1713, 16mpbi 229 . . . . . . 7 ((numerβ€˜1) = 1 ∧ (denomβ€˜1) = 1)
1817simpli 485 . . . . . 6 (numerβ€˜1) = 1
1918fveq2i 6849 . . . . 5 (πΏβ€˜(numerβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2017simpri 487 . . . . . 6 (denomβ€˜1) = 1
2120fveq2i 6849 . . . . 5 (πΏβ€˜(denomβ€˜1)) = (πΏβ€˜1)
2219, 21oveq12i 7373 . . . 4 ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1))
23 drngring 20226 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
256, 24zrh1 20936 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
2625, 25oveq12d 7379 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)))
284, 24ringidcl 19997 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
294, 5, 24dvr1 20126 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3023, 28, 29syl2anc2 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((1rβ€˜π‘…) / (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
3127, 30eqtrd 2773 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜1) / (πΏβ€˜1)) = (1rβ€˜π‘…))
3222, 31eqtrid 2785 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
3332adantr 482 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜1)) / (πΏβ€˜(denomβ€˜1))) = (1rβ€˜π‘…))
348, 33eqtrd 2773 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜1) = (1rβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„šcq 12881   gcd cgcd 16382  numercnumer 16616  denomcdenom 16617  Basecbs 17091  1rcur 19921  Ringcrg 19972  /rcdvr 20119  DivRingcdr 20219  β„€RHomczrh 20923  chrcchr 20925  β„šHomcqqh 32617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-numer 16618  df-denom 16619  df-gz 16810  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-od 19318  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-chr 20929  df-qqh 32618
This theorem is referenced by:  qqhrhm  32634
  Copyright terms: Public domain W3C validator