Theorem qqh1 34021

Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh1	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12977	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3960	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34019	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
8	3, 7	mpan2 691	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9		gcd1 16552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 gcd 1) = 1
11		1div1e1 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	11	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 / 1)
13	10, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14		1nn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		qnumdenbi 16768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
17	13, 16	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
18	17	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (numer‘1) = 1
19	18	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
20	17	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (denom‘1) = 1
21	20	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
22	19, 21	oveq12i 7422	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23		drngring 20701	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	6, 24	zrh1 21478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
26	25, 25	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
27	23, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
28	4, 24	ringidcl 20230	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	4, 5, 24	dvr1 20372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r‘𝑅))
32	22, 31	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
34	8, 33	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℚcq 12969   gcd cgcd 16518  numercnumer 16757  denomcdenom 16758  Basecbs 17233  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  /_rcdvr 20365  DivRingcdr 20694  ℤRHomczrh 21465  chrcchr 21467  ℚHomcqqh 34006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-numer 16759  df-denom 16760  df-gz 16955  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-chr 21471  df-qqh 34007

This theorem is referenced by:  qqhrhm  34025