Theorem qqh1 34169

Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring unity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh1	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12883	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		1z 12535	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3932	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34167	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
8	3, 7	mpan2 692	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9		gcd1 16469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 gcd 1) = 1
11		1div1e1 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 / 1)
13	10, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14		1nn 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		qnumdenbi 16685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
17	13, 16	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
18	17	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (numer‘1) = 1
19	18	fveq2i 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
20	17	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (denom‘1) = 1
21	20	fveq2i 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
22	19, 21	oveq12i 7382	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23		drngring 20686	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	6, 24	zrh1 21484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
26	25, 25	oveq12d 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
27	23, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
28	4, 24	ringidcl 20217	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	4, 5, 24	dvr1 20360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r‘𝑅))
32	22, 31	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r‘𝑅))
34	8, 33	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℚcq 12875   gcd cgcd 16435  numercnumer 16674  denomcdenom 16675  Basecbs 17150  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  /_rcdvr 20353  DivRingcdr 20679  ℤRHomczrh 21471  chrcchr 21473  ℚHomcqqh 34154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-numer 16676  df-denom 16677  df-gz 16872  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-cnfld 21327  df-zring 21419  df-zrh 21475  df-chr 21477  df-qqh 34155

This theorem is referenced by:  qqhrhm  34173