Theorem frlmdim 31722

Description: Dimension of a free left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmdim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmdim	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem frlmdim

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmdim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlvec 20996	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LVec)
3		drngring 20026	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
6	1, 4, 5	frlmlbs 21032	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
7	3, 6	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
8	5	dimval 31714	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹)) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
9	2, 7, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		drngnzr 20561	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	4, 1, 12	uvcf1 21027	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
14	11, 13	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
15		hashf1rn 14095	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹)) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
16	10, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
17		mptexg 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18	17	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
19	18	ralrimiva 3137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
20		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	20	fnmpt 6591	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
23		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	4, 23, 24	uvcfval 21019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
26	25	fneq1d 6545	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼))
27	22, 26	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
28		hashfn 14118	. . 3 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
30	9, 16, 29	3eqtr2d 2779	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  Vcvv 3434  ifcif 4462   ↦ cmpt 5160  ran crn 5592   Fn wfn 6442  –1-1→wf1 6444  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  ♯chash 14072  Basecbs 16940  0_gc0g 17178  1_rcur 19765  Ringcrg 19811  DivRingcdr 20019  LBasisclbs 20364  LVecclvec 20392  NzRingcnzr 20556   freeLMod cfrlm 20981   unitVec cuvc 21017  dimcldim 31712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-reg 9379  ax-inf2 9427  ax-ac2 10247  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-tpos 8062  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-sup 9229  df-oi 9297  df-r1 9550  df-rank 9551  df-card 9725  df-acn 9728  df-ac 9900  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-xnn0 12334  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ocomp 17011  df-ds 17012  df-hom 17014  df-cco 17015  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-prds 17186  df-pws 17188  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-mri 17325  df-acs 17326  df-proset 18041  df-drs 18042  df-poset 18059  df-ipo 18274  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-sbg 18610  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-oppr 19890  df-dvdsr 19911  df-unit 19912  df-invr 19942  df-drng 20021  df-subrg 20050  df-lmod 20153  df-lss 20222  df-lsp 20262  df-lmhm 20312  df-lbs 20365  df-lvec 20393  df-sra 20462  df-rgmod 20463  df-nzr 20557  df-dsmm 20967  df-frlm 20982  df-uvc 21018  df-dim 31713

This theorem is referenced by:  rrxdim  31725  matdim  31726