Theorem frlmdim 33638

Description: Dimension of a free left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmdim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmdim	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem frlmdim

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmdim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlvec 21798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LVec)
3		drngring 20752	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
6	1, 4, 5	frlmlbs 21834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
7	3, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
8	5	dimval 33627	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹)) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		drngnzr 20764	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	4, 1, 12	uvcf1 21829	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
14	11, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
15		hashf1rn 14387	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹)) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
17		mptexg 7240	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
19	18	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
20		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	20	fnmpt 6708	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
23		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	4, 23, 24	uvcfval 21821	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
26	25	fneq1d 6661	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼))
27	22, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
28		hashfn 14410	. . 3 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
30	9, 16, 29	3eqtr2d 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ifcif 4530   ↦ cmpt 5230  ran crn 5689   Fn wfn 6557  –1-1→wf1 6559  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ♯chash 14365  Basecbs 17244  0_gc0g 17485  1_rcur 20198  Ringcrg 20250  NzRingcnzr 20528  DivRingcdr 20745  LBasisclbs 21090  LVecclvec 21118   freeLMod cfrlm 21783   unitVec cuvc 21819  dimcldim 33625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-r1 9801  df-rank 9802  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-mri 17632  df-acs 17633  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-nzr 20529  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lmhm 21038  df-lbs 21091  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-uvc 21820  df-dim 33626

This theorem is referenced by:  rrxdim  33641  matdim  33642