Theorem frlmdim 33178

Description: Dimension of a free left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmdim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmdim	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem frlmdim

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmdim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlvec 21626	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LVec)
3		drngring 20586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
6	1, 4, 5	frlmlbs 21662	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
7	3, 6	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
8	5	dimval 33167	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹)) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
9	2, 7, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		drngnzr 20599	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	4, 1, 12	uvcf1 21657	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
14	11, 13	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹))
15		hashf1rn 14310	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼–1-1→(Base‘𝐹)) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
16	10, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
17		mptexg 7215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18	17	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
19	18	ralrimiva 3138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
20		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	20	fnmpt 6681	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼)
23		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	4, 23, 24	uvcfval 21649	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
26	25	fneq1d 6633	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) Fn 𝐼))
27	22, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
28		hashfn 14333	. . 3 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑅 unitVec 𝐼)) = (♯‘𝐼))
30	9, 16, 29	3eqtr2d 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  ran crn 5668   Fn wfn 6529  –1-1→wf1 6531  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ♯chash 14288  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  1_rcur 20078  Ringcrg 20130  NzRingcnzr 20406  DivRingcdr 20579  LBasisclbs 20914  LVecclvec 20942   freeLMod cfrlm 21611   unitVec cuvc 21647  dimcldim 33165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ocomp 17219  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-mri 17533  df-acs 17534  df-proset 18252  df-drs 18253  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-nzr 20407  df-subrg 20463  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lmhm 20862  df-lbs 20915  df-lvec 20943  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-uvc 21648  df-dim 33166

This theorem is referenced by:  rrxdim  33181  matdim  33182