Theorem drngid 20908

Description: A division ring's unity is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drngid.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
drngid	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem drngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20896	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
4		drngid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	2, 3, 4	unitgrpid 20525	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
7		drngid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drngid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	isdrng 20893	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
10	9	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		drngid.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
14	13	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303   ↾_s cress 17324  0_gc0g 17526  mulGrpcmgp 20272  1_rcur 20319  Ringcrg 20371  Unitcui 20495  DivRingcdr 20889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-drng 20891

This theorem is used by:  drngid2  20918