Theorem drngid 20650

Description: A division ring's unity is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drngid.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
drngid	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem drngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20640	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
4		drngid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	2, 3, 4	unitgrpid 20289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
7		drngid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drngid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	isdrng 20637	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		drngid.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
14	13	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160  0_gc0g 17362  mulGrpcmgp 20044  1_rcur 20085  Ringcrg 20137  Unitcui 20259  DivRingcdr 20633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-drng 20635

This theorem is referenced by:  drngid2  20656