Theorem drngid 19518

Description: A division ring's unit is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drngid.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
drngid	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem drngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19511	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
4		drngid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	2, 3, 4	unitgrpid 19421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
7		drngid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drngid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	isdrng 19508	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
10	9	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		drngid.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	syl6eqr 2876	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
14	13	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  0_gc0g 16715  mulGrpcmgp 19241  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  Unitcui 19391  DivRingcdr 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-drng 19506

This theorem is referenced by:  drngid2  19520