Theorem drngid 20855

Description: A division ring's unity is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drngid.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
drngid	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem drngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
4		drngid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	2, 3, 4	unitgrpid 20472	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
7		drngid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drngid.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	isdrng 20840	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
10	9	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
11	10	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		drngid.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
14	13	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294  0_gc0g 17496  mulGrpcmgp 20220  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  Unitcui 20442  DivRingcdr 20836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-drng 20838

This theorem is used by:  drngid2  20865